Theorem fzss2 12948

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 12905	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		elfzuz3 12906	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
4		uztrn 12262	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
5	3, 4	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6		elfzuzb 12903	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
7	2, 5, 6	sylanbrc 585	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
8	7	ex 415	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
9	8	ssrdv 3973	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3936  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℤ_≥cuz 12244  ...cfz 12893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-neg 10873  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894

This theorem is referenced by:  fzssp1  12951  elfz0add  13007  predfz  13033  fzoss2  13066  sermono  13403  seqsplit  13404  seqcaopr2  13407  seqf1olem2a  13409  seqf1olem2  13411  seqhomo  13418  seqz  13419  bcm1k  13676  seqcoll  13823  seqcoll2  13824  isercoll  15024  fsum0diaglem  15131  fsum0diag2  15138  cvgcmpce  15173  mertenslem1  15240  prodfn0  15250  prodfrec  15251  binomfallfaclem2  15394  bpoly4  15413  eulerthlem2  16119  pcfac  16235  vdwnnlem2  16332  strleun  16591  gsumzaddlem  19041  telgsumfzs  19109  imasdsf1olem  22983  plyaddlem1  24803  plymullem1  24804  coeeulem  24814  coeidlem  24827  coeid3  24830  coefv0  24838  coemulc  24845  vieta1lem2  24900  ppinprm  25729  chtnprm  25731  chpwordi  25734  chtublem  25787  bposlem1  25860  gausslemma2dlem2  25943  lgsquadlem3  25958  chebbnd1lem1  26045  vmadivsumb  26059  dchrvmasumiflem1  26077  mulog2sumlem2  26111  selbergb  26125  selberg2b  26128  chpdifbndlem1  26129  logdivbnd  26132  selberg3lem2  26134  pntrsumbnd  26142  pntlemq  26177  axlowdimlem16  26743  axlowdimlem17  26744  wlkres  27452  crctcshwlkn0lem2  27589  clwwlkvbij  27892  prmdvdsbc  30532  splfv3  30632  freshmansdream  30859  ballotlemimin  31763  ballotlemsdom  31769  ballotlemsel1i  31770  ballotlemsima  31773  ballotlemfrc  31784  ballotlemfrceq  31786  fzssfzo  31809  fsum2dsub  31878  pfxwlk  32370  erdszelem7  32444  erdszelem8  32445  elfzm12  32918  poimirlem1  34908  poimirlem2  34909  poimirlem4  34911  poimirlem6  34913  poimirlem7  34914  poimirlem9  34916  poimirlem15  34922  poimirlem16  34923  poimirlem17  34924  poimirlem19  34926  poimirlem22  34929  poimirlem23  34930  poimirlem24  34931  poimirlem26  34933  poimirlem27  34934  poimirlem28  34935  poimirlem31  34938  mettrifi  35047  eldiophb  39403  eldioph2lem2  39407  diophrex  39421  fmul01  41910  fmulcl  41911  dvnprodlem2  42281  stoweidlem11  42345  stoweidlem17  42351  stoweidlem26  42360  iccpartres  43627  iccpartipre  43630