Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzss2 12419
 Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzss2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzuz 12376 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
21adantl 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3 elfzuz3 12377 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑘))
4 uztrn 11742 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑘))
53, 4sylan2 490 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑘))
6 elfzuzb 12374 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑘)))
72, 5, 6sylanbrc 699 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
87ex 449 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
98ssrdv 3642 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2030   ⊆ wss 3607  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℤ≥cuz 11725  ...cfz 12364 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-neg 10307  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365 This theorem is referenced by:  fzssp1  12422  elfz0add  12477  predfz  12503  fzoss2  12535  sermono  12873  seqsplit  12874  seqcaopr2  12877  seqf1olem2a  12879  seqf1olem2  12881  seqhomo  12888  seqz  12889  bcm1k  13142  seqcoll  13286  seqcoll2  13287  isercoll  14442  fsum0diaglem  14552  fsum0diag2  14559  cvgcmpce  14594  mertenslem1  14660  prodfn0  14670  prodfrec  14671  binomfallfaclem2  14815  bpoly4  14834  eulerthlem2  15534  pcfac  15650  vdwnnlem2  15747  strlemor1OLD  16016  strleun  16019  gsumzaddlem  18367  telgsumfzs  18432  imasdsf1olem  22225  plyaddlem1  24014  plymullem1  24015  coeeulem  24025  coeidlem  24038  coeid3  24041  coefv0  24049  coemulc  24056  vieta1lem2  24111  ppinprm  24923  chtnprm  24925  chpwordi  24928  chtublem  24981  bposlem1  25054  gausslemma2dlem2  25137  lgsquadlem3  25152  chebbnd1lem1  25203  vmadivsumb  25217  dchrvmasumiflem1  25235  mulog2sumlem2  25269  selbergb  25283  selberg2b  25286  chpdifbndlem1  25287  logdivbnd  25290  selberg3lem2  25292  pntrsumbnd  25300  pntlemq  25335  axlowdimlem16  25882  axlowdimlem17  25883  wlkres  26623  crctcshwlkn0lem2  26759  clwwlkvbij  27088  clwwlkvbijOLD  27089  ballotlemimin  30695  ballotlemsdom  30701  ballotlemsel1i  30702  ballotlemsima  30705  ballotlemfrc  30716  ballotlemfrceq  30718  fzssfzo  30741  fsum2dsub  30813  erdszelem7  31305  erdszelem8  31306  elfzm12  31695  poimirlem1  33540  poimirlem2  33541  poimirlem4  33543  poimirlem6  33545  poimirlem7  33546  poimirlem9  33548  poimirlem15  33554  poimirlem16  33555  poimirlem17  33556  poimirlem19  33558  poimirlem22  33561  poimirlem23  33562  poimirlem24  33563  poimirlem26  33565  poimirlem27  33566  poimirlem28  33567  poimirlem31  33570  mettrifi  33683  eldiophb  37637  eldioph2lem2  37641  diophrex  37656  fmul01  40130  fmulcl  40131  dvnprodlem2  40480  stoweidlem11  40546  stoweidlem17  40552  stoweidlem26  40561  iccpartres  41679  iccpartipre  41682
 Copyright terms: Public domain W3C validator