Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemi1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemi1 36423
Description: Part of proof of Lemma I of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 18-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemi.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemi.l = (le‘𝐾)
cdlemi.j = (join‘𝐾)
cdlemi.m = (meet‘𝐾)
cdlemi.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemi.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemi.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemi.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemi.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemi1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) (𝑃 (𝑅𝐺)))

Proof of Theorem cdlemi1
StepHypRef Expression
1 cdlemi.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cdlemi.l . 2 = (le‘𝐾)
3 simp1l 1105 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
4 hllat 34968 . . 3 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
53, 4syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
6 simp1 1081 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 simp2l 1107 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑈𝐸)
8 simp2r 1108 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐺𝑇)
9 cdlemi.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 cdlemi.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11 cdlemi.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
129, 10, 11tendocl 36372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝐺𝑇) → (𝑈𝐺) ∈ 𝑇)
136, 7, 8, 12syl3anc 1366 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑈𝐺) ∈ 𝑇)
14 simp3l 1109 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃𝐴)
15 cdlemi.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
161, 15atbase 34894 . . . 4 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
1714, 16syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃𝐵)
181, 9, 10ltrncl 35729 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐺) ∈ 𝑇𝑃𝐵) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐵)
196, 13, 17, 18syl3anc 1366 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐵)
20 cdlemi.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
211, 9, 10, 20trlcl 35769 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐺) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈𝐺)) ∈ 𝐵)
226, 13, 21syl2anc 694 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝑈𝐺)) ∈ 𝐵)
23 cdlemi.j . . . 4 = (join‘𝐾)
241, 23latjcl 17098 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵 ∧ (𝑅‘(𝑈𝐺)) ∈ 𝐵) → (𝑃 (𝑅‘(𝑈𝐺))) ∈ 𝐵)
255, 17, 22, 24syl3anc 1366 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 (𝑅‘(𝑈𝐺))) ∈ 𝐵)
261, 9, 10, 20trlcl 35769 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐵)
276, 8, 26syl2anc 694 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐵)
281, 23latjcl 17098 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵 ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐵) → (𝑃 (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵)
295, 17, 27, 28syl3anc 1366 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵)
301, 2, 23latlej2 17108 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵 ∧ ((𝑈𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐵) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) (𝑃 ((𝑈𝐺)‘𝑃)))
315, 17, 19, 30syl3anc 1366 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) (𝑃 ((𝑈𝐺)‘𝑃)))
32 cdlemi.m . . . . . . 7 = (meet‘𝐾)
332, 23, 32, 15, 9, 10, 20trlval2 35768 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐺) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝑈𝐺)) = ((𝑃 ((𝑈𝐺)‘𝑃)) 𝑊))
3413, 33syld3an2 1413 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝑈𝐺)) = ((𝑃 ((𝑈𝐺)‘𝑃)) 𝑊))
3534oveq2d 6706 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 (𝑅‘(𝑈𝐺))) = (𝑃 ((𝑃 ((𝑈𝐺)‘𝑃)) 𝑊)))
361, 23latjcl 17098 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵 ∧ ((𝑈𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐵) → (𝑃 ((𝑈𝐺)‘𝑃)) ∈ 𝐵)
375, 17, 19, 36syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 ((𝑈𝐺)‘𝑃)) ∈ 𝐵)
38 simp1r 1106 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊𝐻)
391, 9lhpbase 35602 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
4038, 39syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊𝐵)
411, 2, 23latlej1 17107 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵 ∧ ((𝑈𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐵) → 𝑃 (𝑃 ((𝑈𝐺)‘𝑃)))
425, 17, 19, 41syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃 (𝑃 ((𝑈𝐺)‘𝑃)))
431, 2, 23, 32, 15atmod3i1 35468 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴 ∧ (𝑃 ((𝑈𝐺)‘𝑃)) ∈ 𝐵𝑊𝐵) ∧ 𝑃 (𝑃 ((𝑈𝐺)‘𝑃))) → (𝑃 ((𝑃 ((𝑈𝐺)‘𝑃)) 𝑊)) = ((𝑃 ((𝑈𝐺)‘𝑃)) (𝑃 𝑊)))
443, 14, 37, 40, 42, 43syl131anc 1379 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 ((𝑃 ((𝑈𝐺)‘𝑃)) 𝑊)) = ((𝑃 ((𝑈𝐺)‘𝑃)) (𝑃 𝑊)))
45 eqid 2651 . . . . . . . 8 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
462, 23, 45, 15, 9lhpjat2 35625 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑊) = (1.‘𝐾))
47463adant2 1100 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑊) = (1.‘𝐾))
4847oveq2d 6706 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑃 ((𝑈𝐺)‘𝑃)) (𝑃 𝑊)) = ((𝑃 ((𝑈𝐺)‘𝑃)) (1.‘𝐾)))
49 hlol 34966 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
503, 49syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ OL)
511, 32, 45olm11 34832 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 ((𝑈𝐺)‘𝑃)) ∈ 𝐵) → ((𝑃 ((𝑈𝐺)‘𝑃)) (1.‘𝐾)) = (𝑃 ((𝑈𝐺)‘𝑃)))
5250, 37, 51syl2anc 694 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑃 ((𝑈𝐺)‘𝑃)) (1.‘𝐾)) = (𝑃 ((𝑈𝐺)‘𝑃)))
5348, 52eqtrd 2685 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑃 ((𝑈𝐺)‘𝑃)) (𝑃 𝑊)) = (𝑃 ((𝑈𝐺)‘𝑃)))
5435, 44, 533eqtrd 2689 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 (𝑅‘(𝑈𝐺))) = (𝑃 ((𝑈𝐺)‘𝑃)))
5531, 54breqtrrd 4713 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) (𝑃 (𝑅‘(𝑈𝐺))))
562, 9, 10, 20, 11tendotp 36366 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝐺𝑇) → (𝑅‘(𝑈𝐺)) (𝑅𝐺))
576, 7, 8, 56syl3anc 1366 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝑈𝐺)) (𝑅𝐺))
581, 2, 23latjlej2 17113 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅‘(𝑈𝐺)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐵𝑃𝐵)) → ((𝑅‘(𝑈𝐺)) (𝑅𝐺) → (𝑃 (𝑅‘(𝑈𝐺))) (𝑃 (𝑅𝐺))))
595, 22, 27, 17, 58syl13anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑅‘(𝑈𝐺)) (𝑅𝐺) → (𝑃 (𝑅‘(𝑈𝐺))) (𝑃 (𝑅𝐺))))
6057, 59mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 (𝑅‘(𝑈𝐺))) (𝑃 (𝑅𝐺)))
611, 2, 5, 19, 25, 29, 55, 60lattrd 17105 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) (𝑃 (𝑅𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  lecple 15995  joincjn 16991  meetcmee 16992  1.cp1 17085  Latclat 17092  OLcol 34779  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  LHypclh 35588  LTrncltrn 35705  trLctrl 35763  TEndoctendo 36357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-map 7901  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764  df-tendo 36360
This theorem is referenced by:  cdlemi2  36424  cdlemi  36425
  Copyright terms: Public domain W3C validator