Theorem cru 11616

Description: The representation of complex numbers in terms of real and imaginary parts is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cru	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))

Proof of Theorem cru

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplrl 775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℝ)
2	1	recnd 10655	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℂ)
3		simplll 773	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	recnd 10655	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))
6		ax-icn 10582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → i ∈ ℂ)
8		simpllr 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	recnd 10655	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	7, 9	mulcld 10647	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
11		simplrr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℝ)
12	11	recnd 10655	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℂ)
13	7, 12	mulcld 10647	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (i · 𝐷) ∈ ℂ)
14	4, 10, 2, 13	addsubeq4d 11034	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ (𝐶 − 𝐴) = ((i · 𝐵) − (i · 𝐷))))
15	5, 14	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (𝐶 − 𝐴) = ((i · 𝐵) − (i · 𝐷)))
16	8, 11	resubcld 11054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℝ)
17	7, 9, 12	subdid 11082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (i · (𝐵 − 𝐷)) = ((i · 𝐵) − (i · 𝐷)))
18	17, 15	eqtr4d 2859	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (i · (𝐵 − 𝐷)) = (𝐶 − 𝐴))
19	1, 3	resubcld 11054	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℝ)
20	18, 19	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (i · (𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ)
21		rimul 11615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 − 𝐷) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐷) = 0)
22	16, 20, 21	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (𝐵 − 𝐷) = 0)
23	9, 12, 22	subeq0d 10991	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐵 = 𝐷)
24	23	oveq2d 7158	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (i · 𝐵) = (i · 𝐷))
25	24	oveq1d 7157	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → ((i · 𝐵) − (i · 𝐷)) = ((i · 𝐷) − (i · 𝐷)))
26	13	subidd 10971	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → ((i · 𝐷) − (i · 𝐷)) = 0)
27	15, 25, 26	3eqtrd 2860	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (𝐶 − 𝐴) = 0)
28	2, 4, 27	subeq0d 10991	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐶 = 𝐴)
29	28	eqcomd 2827	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐴 = 𝐶)
30	29, 23	jca 514	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
31	30	ex 415	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
32		oveq2 7150	. . 3 ⊢ (𝐵 = 𝐷 → (i · 𝐵) = (i · 𝐷))
33		oveq12 7151	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ (i · 𝐵) = (i · 𝐷)) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))
34	32, 33	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))
35	31, 34	impbid1 227	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7142  ℂcc 10521  ℝcr 10522  0cc0 10523  ici 10525   + caddc 10526   · cmul 10528   − cmin 10856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-op 4560  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5446  df-po 5460  df-so 5461  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-div 11284

This theorem is referenced by:  crne0  11617  creur  11618  creui  11619  cnref1o  12371  efieq  15501