Theorem cycsubggenodd 19226

Description: Relationship between the order of a subgroup and the order of a generator of the subgroup. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubggenodd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubggenodd.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubggenodd.3	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
cycsubggenodd.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
cycsubggenodd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
cycsubggenodd.6	⊢ (𝜑 → 𝐶 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
cycsubggenodd	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0))

Distinct variable groups:   · ,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝑂

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐶(𝑛)

Proof of Theorem cycsubggenodd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycsubggenodd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		cycsubggenodd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
3		cycsubggenodd.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		cycsubggenodd.3	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
5		cycsubggenodd.2	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6		eqid 2820	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
7	3, 4, 5, 6	dfod2 18686	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑂‘𝐴) = if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))), 0))
8	1, 2, 7	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))), 0))
9		cycsubggenodd.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)))
10	9	eqcomd 2826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) = 𝐶)
11	10	eleq1d 2896	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) ∈ Fin ↔ 𝐶 ∈ Fin))
12	10	fveq2d 6667	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))) = (♯‘𝐶))
13	11, 12	ifbieq1d 4483	. 2 ⊢ (𝜑 → if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))), 0) = if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0))
14	8, 13	eqtrd 2855	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ifcif 4460   ↦ cmpt 5139  ran crn 5549  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  Fincfn 8502  0cc0 10530  ℤcz 11975  ♯chash 13687  Basecbs 16478  Grpcgrp 18098  ._gcmg 18219  odcod 18647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-inf2 9097  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-oadd 8099  df-omul 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506  df-sup 8899  df-inf 8900  df-oi 8967  df-card 9361  df-acn 9364  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12890  df-fl 13159  df-mod 13235  df-seq 13367  df-exp 13427  df-hash 13688  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-dvds 15603  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18220  df-od 18651

This theorem is referenced by:  ablsimpgfind  19227  fincygsubgodd  19229