MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrresb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrresb 24729
Description: A Dirichlet character is determined by its values on the unit group. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrresb.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrresb.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrresb.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrresb.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrresb.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrresb.Y (𝜑𝑌𝐷)
Assertion
Ref Expression
dchrresb (𝜑 → ((𝑋𝑈) = (𝑌𝑈) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem dchrresb
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrresb.g . . . . 5 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrresb.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchrresb.b . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2609 . . . . 5 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
5 dchrresb.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐷)
61, 2, 3, 4, 5dchrf 24712 . . . 4 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
7 ffn 5944 . . . 4 (𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ → 𝑋 Fn (Base‘𝑍))
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑𝑋 Fn (Base‘𝑍))
9 dchrresb.Y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐷)
101, 2, 3, 4, 9dchrf 24712 . . . 4 (𝜑𝑌:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
11 ffn 5944 . . . 4 (𝑌:(Base‘𝑍)⟶ℂ → 𝑌 Fn (Base‘𝑍))
1210, 11syl 17 . . 3 (𝜑𝑌 Fn (Base‘𝑍))
13 dchrresb.u . . . . 5 𝑈 = (Unit‘𝑍)
144, 13unitss 18432 . . . 4 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
15 fvreseq 6212 . . . 4 (((𝑋 Fn (Base‘𝑍) ∧ 𝑌 Fn (Base‘𝑍)) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)) → ((𝑋𝑈) = (𝑌𝑈) ↔ ∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = (𝑌𝑘)))
1614, 15mpan2 702 . . 3 ((𝑋 Fn (Base‘𝑍) ∧ 𝑌 Fn (Base‘𝑍)) → ((𝑋𝑈) = (𝑌𝑈) ↔ ∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = (𝑌𝑘)))
178, 12, 16syl2anc 690 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝑈) = (𝑌𝑈) ↔ ∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = (𝑌𝑘)))
181, 2, 3, 13, 5, 9dchreq 24728 . 2 (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = (𝑌𝑘)))
1917, 18bitr4d 269 1 (𝜑 → ((𝑋𝑈) = (𝑌𝑈) ↔ 𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  wss 3539  cres 5030   Fn wfn 5785  wf 5786  cfv 5790  cc 9791  Basecbs 15644  Unitcui 18411  ℤ/nczn 19618  DChrcdchr 24702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-addf 9872  ax-mulf 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-tpos 7217  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-ec 7609  df-qs 7613  df-map 7724  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-sup 8209  df-inf 8210  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-fz 12156  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-0g 15874  df-imas 15940  df-qus 15941  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-mhm 17107  df-grp 17197  df-minusg 17198  df-sbg 17199  df-subg 17363  df-nsg 17364  df-eqg 17365  df-cmn 17967  df-abl 17968  df-mgp 18262  df-ur 18274  df-ring 18321  df-cring 18322  df-oppr 18395  df-dvdsr 18413  df-unit 18414  df-invr 18444  df-subrg 18550  df-lmod 18637  df-lss 18703  df-lsp 18742  df-sra 18942  df-rgmod 18943  df-lidl 18944  df-rsp 18945  df-2idl 19002  df-cnfld 19517  df-zring 19587  df-zn 19622  df-dchr 24703
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator