MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrf 24874
Description: A Dirichlet character is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrf.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrf.x (𝜑𝑋𝐷)
Assertion
Ref Expression
dchrf (𝜑𝑋:𝐵⟶ℂ)

Proof of Theorem dchrf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrf.x . . 3 (𝜑𝑋𝐷)
2 dchrmhm.g . . . 4 𝐺 = (DChr‘𝑁)
3 dchrmhm.z . . . 4 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4 dchrf.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑍)
5 eqid 2621 . . . 4 (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
6 dchrmhm.b . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐺)
72, 6dchrrcl 24872 . . . . 5 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
81, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
92, 3, 4, 5, 8, 6dchrelbas3 24870 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐷 ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))))))
101, 9mpbid 222 . 2 (𝜑 → (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)∀𝑦 ∈ (Unit‘𝑍)(𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))))
1110simpld 475 1 (𝜑𝑋:𝐵⟶ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wf 5845  cfv 5849  (class class class)co 6607  cc 9881  0cc0 9883  1c1 9884   · cmul 9888  cn 10967  Basecbs 15784  .rcmulr 15866  1rcur 18425  Unitcui 18563  ℤ/nczn 19773  DChrcdchr 24864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-addf 9962  ax-mulf 9963
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-tpos 7300  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-ec 7692  df-qs 7696  df-map 7807  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-sup 8295  df-inf 8296  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-n0 11240  df-z 11325  df-dec 11441  df-uz 11635  df-fz 12272  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-starv 15880  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-ip 15883  df-tset 15884  df-ple 15885  df-ds 15888  df-unif 15889  df-0g 16026  df-imas 16092  df-qus 16093  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-mhm 17259  df-grp 17349  df-minusg 17350  df-sbg 17351  df-subg 17515  df-nsg 17516  df-eqg 17517  df-cmn 18119  df-abl 18120  df-mgp 18414  df-ur 18426  df-ring 18473  df-cring 18474  df-oppr 18547  df-dvdsr 18565  df-unit 18566  df-subrg 18702  df-lmod 18789  df-lss 18855  df-lsp 18894  df-sra 19094  df-rgmod 19095  df-lidl 19096  df-rsp 19097  df-2idl 19154  df-cnfld 19669  df-zring 19741  df-zn 19777  df-dchr 24865
This theorem is referenced by:  dchrzrhcl  24877  dchrmulcl  24881  dchrmulid2  24884  dchrinvcl  24885  dchrabl  24886  dchrfi  24887  dchrghm  24888  dchreq  24890  dchrresb  24891  dchrabs  24892  dchrinv  24893  dchr1re  24895  dchrsum2  24900  dchrsum  24901  sumdchr2  24902  dchrhash  24903  dchr2sum  24905  sum2dchr  24906  dchrisumlem1  25085  rpvmasum2  25108  dchrisum0re  25109
  Copyright terms: Public domain W3C validator