Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decpmatcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decpmatcl 20494
 Description: Closure of the decomposition of a polynomial matrix: The matrix consisting of the coefficients in the polynomial entries of a polynomial matrix for the same power is a matrix. (Contributed by AV, 28-Sep-2019.) (Revised by AV, 2-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
decpmate.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
decpmate.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
decpmate.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
decpmatcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
decpmatcl.d 𝐷 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
decpmatcl ((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem decpmatcl
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 decpmate.c . . . 4 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
2 decpmate.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
31, 2decpmatval 20492 . . 3 ((𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))
433adant1 1077 . 2 ((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))
5 decpmatcl.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6 eqid 2621 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7 decpmatcl.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐴)
81, 2matrcl 20140 . . . . 5 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ V))
98simpld 475 . . . 4 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
1093ad2ant2 1081 . . 3 ((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Fin)
11 simp1 1059 . . 3 ((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑅𝑉)
12 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13 simp2 1060 . . . . 5 (((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
14 simp3 1061 . . . . 5 (((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
15 simp2 1060 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀𝐵)
16153ad2ant1 1080 . . . . 5 (((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑀𝐵)
171, 12, 2, 13, 14, 16matecld 20154 . . . 4 (((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
18 simp3 1061 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
19183ad2ant1 1080 . . . 4 (((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
20 eqid 2621 . . . . 5 (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑀𝑗))
21 decpmate.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
2220, 12, 21, 6coe1fvalcl 19504 . . . 4 (((𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
2317, 19, 22syl2anc 692 . . 3 (((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
245, 6, 7, 10, 11, 23matbas2d 20151 . 2 ((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)) ∈ 𝐷)
254, 24eqeltrd 2698 1 ((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) ∈ 𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186  ‘cfv 5849  (class class class)co 6607   ↦ cmpt2 6609  Fincfn 7902  ℕ0cn0 11239  Basecbs 15784  Poly1cpl1 19469  coe1cco1 19470   Mat cmat 20135   decompPMat cdecpmat 20489 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-ot 4159  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7244  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-ixp 7856  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-fsupp 8223  df-sup 8295  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-n0 11240  df-z 11325  df-dec 11441  df-uz 11635  df-fz 12272  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-ip 15883  df-tset 15884  df-ple 15885  df-ds 15888  df-hom 15890  df-cco 15891  df-0g 16026  df-prds 16032  df-pws 16034  df-sra 19094  df-rgmod 19095  df-psr 19278  df-opsr 19282  df-psr1 19472  df-ply1 19474  df-coe1 19475  df-dsmm 19998  df-frlm 20013  df-mat 20136  df-decpmat 20490 This theorem is referenced by:  decpmataa0  20495  decpmatmul  20499  pmatcollpw1  20503  pmatcollpw2  20505  pmatcollpwlem  20507  pmatcollpw  20508  pmatcollpwfi  20509  pmatcollpwscmatlem2  20517  pm2mpf1lem  20521  pm2mpcl  20524  pm2mpcoe1  20527  mp2pm2mplem5  20537  mp2pm2mp  20538  pm2mpghmlem2  20539  pm2mpghmlem1  20540  pm2mpghm  20543  pm2mpmhmlem2  20546
 Copyright terms: Public domain W3C validator