Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia1dim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia1dim2 35831
Description: Two expressions for a 1-dimensional subspace of partial vector space A (when 𝐹 is a nonzero vector i.e. non-identity translation). (Contributed by NM, 15-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dia1dim2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia1dim2.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia1dim2.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dva1dim2.u 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dia1dim2.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dva1dim2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
dia1dim2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = (𝑁‘{𝐹}))

Proof of Theorem dia1dim2
Dummy variables 𝑔 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dia1dim2.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 eqid 2621 . . . . . . 7 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
3 dva1dim2.u . . . . . . 7 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2621 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
5 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
61, 2, 3, 4, 5dvabase 35775 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
76adantr 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
87rexeqdv 3134 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∃𝑠 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑔 = (𝑠( ·𝑠𝑈)𝐹) ↔ ∃𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑔 = (𝑠( ·𝑠𝑈)𝐹)))
9 dia1dim2.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10 eqid 2621 . . . . . . . 8 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
111, 9, 2, 3, 10dvavsca 35785 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝐹𝑇)) → (𝑠( ·𝑠𝑈)𝐹) = (𝑠𝐹))
1211anass1rs 848 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑠( ·𝑠𝑈)𝐹) = (𝑠𝐹))
1312eqeq2d 2631 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑔 = (𝑠( ·𝑠𝑈)𝐹) ↔ 𝑔 = (𝑠𝐹)))
1413rexbidva 3042 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∃𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑔 = (𝑠( ·𝑠𝑈)𝐹) ↔ ∃𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑔 = (𝑠𝐹)))
158, 14bitrd 268 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∃𝑠 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑔 = (𝑠( ·𝑠𝑈)𝐹) ↔ ∃𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑔 = (𝑠𝐹)))
1615abbidv 2738 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → {𝑔 ∣ ∃𝑠 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑔 = (𝑠( ·𝑠𝑈)𝐹)} = {𝑔 ∣ ∃𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑔 = (𝑠𝐹)})
171, 3dvalvec 35795 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
1817adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝑈 ∈ LVec)
19 lveclmod 19025 . . . 4 (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
2018, 19syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝑈 ∈ LMod)
21 simpr 477 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
22 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
231, 9, 3, 22dvavbase 35781 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝑈) = 𝑇)
2423adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (Base‘𝑈) = 𝑇)
2521, 24eleqtrrd 2701 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑈))
26 dva1dim2.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
274, 5, 22, 10, 26lspsn 18921 . . 3 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑁‘{𝐹}) = {𝑔 ∣ ∃𝑠 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑔 = (𝑠( ·𝑠𝑈)𝐹)})
2820, 25, 27syl2anc 692 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑁‘{𝐹}) = {𝑔 ∣ ∃𝑠 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑔 = (𝑠( ·𝑠𝑈)𝐹)})
29 dia1dim2.r . . 3 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
30 dia1dim2.i . . 3 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
311, 9, 29, 2, 30dia1dim 35830 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = {𝑔 ∣ ∃𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑔 = (𝑠𝐹)})
3216, 28, 313eqtr4rd 2666 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = (𝑁‘{𝐹}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {cab 2607  wrex 2908  {csn 4148  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  LModclmod 18784  LSpanclspn 18890  LVecclvec 19021  HLchlt 34117  LHypclh 34750  LTrncltrn 34867  trLctrl 34925  TEndoctendo 35520  DVecAcdveca 35770  DIsoAcdia 35797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-riotaBAD 33719
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-undef 7344  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-0g 16023  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-p1 16961  df-lat 16967  df-clat 17029  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-dvr 18604  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lvec 19022  df-oposet 33943  df-ol 33945  df-oml 33946  df-covers 34033  df-ats 34034  df-atl 34065  df-cvlat 34089  df-hlat 34118  df-llines 34264  df-lplanes 34265  df-lvols 34266  df-lines 34267  df-psubsp 34269  df-pmap 34270  df-padd 34562  df-lhyp 34754  df-laut 34755  df-ldil 34870  df-ltrn 34871  df-trl 34926  df-tgrp 35511  df-tendo 35523  df-edring 35525  df-dveca 35771  df-disoa 35798
This theorem is referenced by:  dia1dimid  35832  dia2dimlem5  35837  dia2dimlem10  35842
  Copyright terms: Public domain W3C validator