Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dih0vbN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dih0vbN 35387
Description: A vector is zero iff its span is the isomorphism of lattice zero. (Contributed by NM, 16-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dih0vb.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih0vb.o 0 = (0.‘𝐾)
dih0vb.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih0vb.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih0vb.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dih0vb.z 𝑍 = (0g𝑈)
dih0vb.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dih0vb.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dih0vb.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
dih0vbN (𝜑 → (𝑋 = 𝑍 ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝐼0 )))

Proof of Theorem dih0vbN
StepHypRef Expression
1 dih0vb.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dih0vb.o . . . . 5 0 = (0.‘𝐾)
3 dih0vb.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dih0vb.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
5 dih0vb.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 dih0vb.z . . . . 5 𝑍 = (0g𝑈)
72, 3, 4, 5, 6dih0 35385 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐼0 ) = {𝑍})
81, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐼0 ) = {𝑍})
98eqeq2d 2614 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝐼0 ) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = {𝑍}))
103, 5, 1dvhlmod 35215 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
11 dih0vb.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
12 dih0vb.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
13 dih0vb.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
1412, 6, 13lspsneq0 18774 . . 3 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = {𝑍} ↔ 𝑋 = 𝑍))
1510, 11, 14syl2anc 690 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = {𝑍} ↔ 𝑋 = 𝑍))
169, 15bitr2d 267 1 (𝜑 → (𝑋 = 𝑍 ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝐼0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  {csn 4119  cfv 5785  Basecbs 15636  0gc0g 15864  0.cp0 16801  LModclmod 18627  LSpanclspn 18733  HLchlt 33453  LHypclh 34086  DVecHcdvh 35183  DIsoHcdih 35333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864  ax-riotaBAD 33055
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-iin 4447  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-tpos 7211  df-undef 7258  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-1o 7419  df-oadd 7423  df-er 7601  df-map 7718  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-fin 7817  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-4 10923  df-5 10924  df-6 10925  df-n0 11135  df-z 11206  df-uz 11515  df-fz 12148  df-struct 15638  df-ndx 15639  df-slot 15640  df-base 15641  df-sets 15642  df-ress 15643  df-plusg 15722  df-mulr 15723  df-sca 15725  df-vsca 15726  df-0g 15866  df-preset 16692  df-poset 16710  df-plt 16722  df-lub 16738  df-glb 16739  df-join 16740  df-meet 16741  df-p0 16803  df-p1 16804  df-lat 16810  df-clat 16872  df-mgm 17006  df-sgrp 17048  df-mnd 17059  df-grp 17189  df-minusg 17190  df-mgp 18254  df-ur 18266  df-ring 18313  df-oppr 18387  df-dvdsr 18405  df-unit 18406  df-invr 18436  df-dvr 18447  df-drng 18513  df-lmod 18629  df-lss 18695  df-lsp 18734  df-lvec 18865  df-oposet 33279  df-ol 33281  df-oml 33282  df-covers 33369  df-ats 33370  df-atl 33401  df-cvlat 33425  df-hlat 33454  df-llines 33600  df-lplanes 33601  df-lvols 33602  df-lines 33603  df-psubsp 33605  df-pmap 33606  df-padd 33898  df-lhyp 34090  df-laut 34091  df-ldil 34206  df-ltrn 34207  df-trl 34262  df-tendo 34859  df-edring 34861  df-disoa 35134  df-dvech 35184  df-dib 35244  df-dih 35334
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator