Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpfrac1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpfrac1 29727
Description: Prove a simple equivalence involving the decimal point. See df-dp 29724 and dpcl 29726. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
dpfrac1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = (𝐴𝐵 / 10))

Proof of Theorem dpfrac1
StepHypRef Expression
1 df-dp2 29706 . 2 𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / 10))
2 dpval 29725 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = 𝐴𝐵)
3 nn0cn 11340 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ)
4 recn 10064 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
5 dfdec10 11535 . . . . 5 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
65oveq1i 6700 . . . 4 (𝐴𝐵 / 10) = (((10 · 𝐴) + 𝐵) / 10)
7 10re 11555 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℝ
87recni 10090 . . . . . . . 8 10 ∈ ℂ
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → 10 ∈ ℂ)
10 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
119, 10mulcld 10098 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (10 · 𝐴) ∈ ℂ)
12 10pos 11553 . . . . . . . . 9 0 < 10
137, 12gt0ne0ii 10602 . . . . . . . 8 10 ≠ 0
148, 13pm3.2i 470 . . . . . . 7 (10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0)
15 divdir 10748 . . . . . . 7 (((10 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0)) → (((10 · 𝐴) + 𝐵) / 10) = (((10 · 𝐴) / 10) + (𝐵 / 10)))
1614, 15mp3an3 1453 . . . . . 6 (((10 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((10 · 𝐴) + 𝐵) / 10) = (((10 · 𝐴) / 10) + (𝐵 / 10)))
1711, 16sylan 487 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((10 · 𝐴) + 𝐵) / 10) = (((10 · 𝐴) / 10) + (𝐵 / 10)))
18 divcan3 10749 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0) → ((10 · 𝐴) / 10) = 𝐴)
198, 13, 18mp3an23 1456 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((10 · 𝐴) / 10) = 𝐴)
2019oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (((10 · 𝐴) / 10) + (𝐵 / 10)) = (𝐴 + (𝐵 / 10)))
2120adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((10 · 𝐴) / 10) + (𝐵 / 10)) = (𝐴 + (𝐵 / 10)))
2217, 21eqtrd 2685 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((10 · 𝐴) + 𝐵) / 10) = (𝐴 + (𝐵 / 10)))
236, 22syl5eq 2697 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵 / 10) = (𝐴 + (𝐵 / 10)))
243, 4, 23syl2an 493 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 / 10) = (𝐴 + (𝐵 / 10)))
251, 2, 243eqtr4a 2711 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = (𝐴𝐵 / 10))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   / cdiv 10722  0cn0 11330  cdc 11531  cdp2 29705  .cdp 29723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-dec 11532  df-dp2 29706  df-dp 29724
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator