MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgredlema Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgredlema 18242
Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 18233 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
efgredlem.5 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
Assertion
Ref Expression
efgredlema (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgredlema
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgredlem.5 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
2 efgredlem.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
3 efgval.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
4 efgval.r . . . . . . . . . 10 = ( ~FG𝐼)
5 efgval2.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
6 efgval2.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
7 efgred.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
8 efgred.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
93, 4, 5, 6, 7, 8efgsval 18233 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝐵) = (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)))
102, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)))
11 efgredlem.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
12 efgredlem.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
133, 4, 5, 6, 7, 8efgsval 18233 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝐴) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
1511, 14eqtr3d 2728 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
1610, 15eqtr3d 2728 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
17 oveq1 6740 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐴) = 1 → ((♯‘𝐴) − 1) = (1 − 1))
18 1m1e0 11170 . . . . . . . . 9 (1 − 1) = 0
1917, 18syl6eq 2742 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐴) = 1 → ((♯‘𝐴) − 1) = 0)
2019fveq2d 6276 . . . . . . 7 ((♯‘𝐴) = 1 → (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) = (𝐴‘0))
2116, 20sylan9eq 2746 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) = 1) → (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐴‘0))
2211eleq1d 2756 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (𝑆𝐵) ∈ 𝐷))
233, 4, 5, 6, 7, 8efgs1b 18238 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐴) = 1))
2412, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐴) = 1))
253, 4, 5, 6, 7, 8efgs1b 18238 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆𝐵) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐵) = 1))
262, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆𝐵) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐵) = 1))
2722, 24, 263bitr3d 298 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ (♯‘𝐵) = 1))
2827biimpa 502 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) = 1) → (♯‘𝐵) = 1)
29 oveq1 6740 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐵) = 1 → ((♯‘𝐵) − 1) = (1 − 1))
3029, 18syl6eq 2742 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐵) = 1 → ((♯‘𝐵) − 1) = 0)
3130fveq2d 6276 . . . . . . 7 ((♯‘𝐵) = 1 → (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐵‘0))
3228, 31syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) = 1) → (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐵‘0))
3321, 32eqtr3d 2728 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) = 1) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
341, 33mtand 694 . . . 4 (𝜑 → ¬ (♯‘𝐴) = 1)
353, 4, 5, 6, 7, 8efgsdm 18232 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑢 ∈ (1..^(♯‘𝐴))(𝐴𝑢) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑢 − 1)))))
3635simp1bi 1152 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
37 eldifsn 4393 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴 ≠ ∅))
38 lennncl 13400 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
3937, 38sylbi 207 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
4012, 36, 393syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
41 elnn1uz2 11847 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐴) = 1 ∨ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)))
4240, 41sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐴) = 1 ∨ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)))
4342ord 391 . . . 4 (𝜑 → (¬ (♯‘𝐴) = 1 → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)))
4434, 43mpd 15 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2))
45 uz2m1nn 11845 . . 3 ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
4644, 45syl 17 . 2 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
4734, 27mtbid 313 . . . 4 (𝜑 → ¬ (♯‘𝐵) = 1)
483, 4, 5, 6, 7, 8efgsdm 18232 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑢 ∈ (1..^(♯‘𝐵))(𝐵𝑢) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(𝑢 − 1)))))
4948simp1bi 1152 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
50 eldifsn 4393 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐵 ∈ Word 𝑊𝐵 ≠ ∅))
51 lennncl 13400 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ Word 𝑊𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
5250, 51sylbi 207 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
532, 49, 523syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
54 elnn1uz2 11847 . . . . . 6 ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐵) = 1 ∨ (♯‘𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
5553, 54sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐵) = 1 ∨ (♯‘𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
5655ord 391 . . . 4 (𝜑 → (¬ (♯‘𝐵) = 1 → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
5747, 56mpd 15 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ‘2))
58 uz2m1nn 11845 . . 3 ((♯‘𝐵) ∈ (ℤ‘2) → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
5957, 58syl 17 . 2 (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
6046, 59jca 555 1 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1564  wcel 2071  wne 2864  wral 2982  {crab 2986  cdif 3645  c0 3991  {csn 4253  cop 4259  cotp 4261   ciun 4596   class class class wbr 4728  cmpt 4805   I cid 5095   × cxp 5184  dom cdm 5186  ran crn 5187  cfv 5969  (class class class)co 6733  cmpt2 6735  1𝑜c1o 7641  2𝑜c2o 7642  0cc0 10017  1c1 10018   < clt 10155  cmin 10347  cn 11101  2c2 11151  cuz 11768  ...cfz 12408  ..^cfzo 12548  chash 13200  Word cword 13366   splice csplice 13371  ⟨“cs2 13675   ~FG cefg 18208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-rep 4847  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-cnex 10073  ax-resscn 10074  ax-1cn 10075  ax-icn 10076  ax-addcl 10077  ax-addrcl 10078  ax-mulcl 10079  ax-mulrcl 10080  ax-mulcom 10081  ax-addass 10082  ax-mulass 10083  ax-distr 10084  ax-i2m1 10085  ax-1ne0 10086  ax-1rid 10087  ax-rnegex 10088  ax-rrecex 10089  ax-cnre 10090  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092  ax-pre-ltadd 10093  ax-pre-mulgt0 10094
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-reu 2989  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-pss 3664  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-tp 4258  df-op 4260  df-uni 4513  df-int 4552  df-iun 4598  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-tr 4829  df-id 5096  df-eprel 5101  df-po 5107  df-so 5108  df-fr 5145  df-we 5147  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-pred 5761  df-ord 5807  df-on 5808  df-lim 5809  df-suc 5810  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-riota 6694  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-om 7151  df-1st 7253  df-2nd 7254  df-wrecs 7495  df-recs 7556  df-rdg 7594  df-1o 7648  df-oadd 7652  df-er 7830  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-fin 8044  df-card 8846  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-xr 10159  df-ltxr 10160  df-le 10161  df-sub 10349  df-neg 10350  df-nn 11102  df-2 11160  df-n0 11374  df-z 11459  df-uz 11769  df-fz 12409  df-fzo 12549  df-hash 13201  df-word 13374
This theorem is referenced by:  efgredlemf  18243  efgredlemg  18244  efgredlemd  18246  efgredlemc  18247  efgredlem  18249
  Copyright terms: Public domain W3C validator