Theorem efgredlema 18866

Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 18857 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆∀𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆‘𝑎)) < (♯‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐵))
efgredlem.5	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))

Assertion

Ref	Expression
efgredlema	⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgredlema

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgredlem.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
2		efgredlem.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑆)
3		efgval.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
4		efgval.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
5		efgval2.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
6		efgval2.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
7		efgred.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
8		efgred.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	efgsval 18857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘𝐵) = (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)))
10	2, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) = (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)))
11		efgredlem.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐵))
12		efgredlem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑆)
13	3, 4, 5, 6, 7, 8	efgsval 18857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘𝐴) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
15	11, 14	eqtr3d 2858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
16	10, 15	eqtr3d 2858	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
17		oveq1 7163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) = 1 → ((♯‘𝐴) − 1) = (1 − 1))
18		1m1e0 11710	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
19	17, 18	syl6eq 2872	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐴) = 1 → ((♯‘𝐴) − 1) = 0)
20	19	fveq2d 6674	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐴) = 1 → (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) = (𝐴‘0))
21	16, 20	sylan9eq 2876	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) = 1) → (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐴‘0))
22	11	eleq1d 2897	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (𝑆‘𝐵) ∈ 𝐷))
23	3, 4, 5, 6, 7, 8	efgs1b 18862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐴) = 1))
24	12, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐴) = 1))
25	3, 4, 5, 6, 7, 8	efgs1b 18862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆‘𝐵) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐵) = 1))
26	2, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐵) = 1))
27	22, 24, 26	3bitr3d 311	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ (♯‘𝐵) = 1))
28	27	biimpa 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) = 1) → (♯‘𝐵) = 1)
29		oveq1 7163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐵) = 1 → ((♯‘𝐵) − 1) = (1 − 1))
30	29, 18	syl6eq 2872	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐵) = 1 → ((♯‘𝐵) − 1) = 0)
31	30	fveq2d 6674	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐵) = 1 → (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐵‘0))
32	28, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) = 1) → (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)) = (𝐵‘0))
33	21, 32	eqtr3d 2858	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) = 1) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
34	1, 33	mtand 814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝐴) = 1)
35	3, 4, 5, 6, 7, 8	efgsdm 18856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑢 ∈ (1..^(♯‘𝐴))(𝐴‘𝑢) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑢 − 1)))))
36	35	simp1bi 1141	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → 𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
37		eldifsn 4719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ ∅))
38		lennncl 13884	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
39	37, 38	sylbi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
40	12, 36, 39	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
41		elnn1uz2 12326	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐴) = 1 ∨ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)))
42	40, 41	sylib 220	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) = 1 ∨ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)))
43	42	ord 860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝐴) = 1 → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)))
44	34, 43	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2))
45		uz2m1nn 12324	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
46	44, 45	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
47	34, 27	mtbid 326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝐵) = 1)
48	3, 4, 5, 6, 7, 8	efgsdm 18856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑢 ∈ (1..^(♯‘𝐵))(𝐵‘𝑢) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(𝑢 − 1)))))
49	48	simp1bi 1141	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑆 → 𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
50		eldifsn 4719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐵 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ≠ ∅))
51		lennncl 13884	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
52	50, 51	sylbi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
53	2, 49, 52	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
54		elnn1uz2 12326	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐵) = 1 ∨ (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2)))
55	53, 54	sylib 220	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) = 1 ∨ (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2)))
56	55	ord 860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝐵) = 1 → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2)))
57	47, 56	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2))
58		uz2m1nn 12324	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
59	57, 58	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
60	46, 59	jca 514	1 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  {crab 3142   ∖ cdif 3933  ∅c0 4291  {csn 4567  ⟨cop 4573  ⟨cotp 4575  ∪ ciun 4919   class class class wbr 5066   ↦ cmpt 5146   I cid 5459   × cxp 5553  dom cdm 5555  ran crn 5556  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∈ cmpo 7158  1_oc1o 8095  2_oc2o 8096  0cc0 10537  1c1 10538   < clt 10675   − cmin 10870  ℕcn 11638  2c2 11693  ℤ_≥cuz 12244  ...cfz 12893  ..^cfzo 13034  ♯chash 13691  Word cword 13862   splice csplice 14111  ⟨“cs2 14203   ~_FG cefg 18832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-hash 13692  df-word 13863

This theorem is referenced by:  efgredlemf  18867  efgredlemg  18868  efgredlemd  18870  efgredlemc  18871  efgredlem  18873