MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgsdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgsdm 18075
Description: Elementhood in the domain of 𝑆, the set of sequences of extensions starting at an irreducible word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgsdm (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑖,𝐹   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑖,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀   𝑖,𝑘,𝑇,𝑚,𝑡,𝑥   𝑦,𝑖,𝑧,𝑊   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑖,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑖   𝑖,𝐼,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑖,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgsdm
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6152 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘0) = (𝐹‘0))
21eleq1d 2683 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘0) ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘0) ∈ 𝐷))
3 fveq2 6153 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (#‘𝑓) = (#‘𝐹))
43oveq2d 6626 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (1..^(#‘𝑓)) = (1..^(#‘𝐹)))
5 fveq1 6152 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑖) = (𝐹𝑖))
6 fveq1 6152 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘(𝑖 − 1)) = (𝐹‘(𝑖 − 1)))
76fveq2d 6157 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
87rneqd 5318 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
95, 8eleq12d 2692 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))) ↔ (𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
104, 9raleqbidv 3144 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
112, 10anbi12d 746 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1)))) ↔ ((𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))))
12 efgval.w . . . . . 6 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
13 efgval.r . . . . . 6 = ( ~FG𝐼)
14 efgval2.m . . . . . 6 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
15 efgval2.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
16 efgred.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
17 efgred.s . . . . . 6 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
1812, 13, 14, 15, 16, 17efgsf 18074 . . . . 5 𝑆:{𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}⟶𝑊
1918fdmi 6014 . . . 4 dom 𝑆 = {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}
20 fveq1 6152 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑓 → (𝑡‘0) = (𝑓‘0))
2120eleq1d 2683 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑓 → ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ↔ (𝑓‘0) ∈ 𝐷))
22 fveq2 6153 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → (𝑡𝑘) = (𝑡𝑖))
23 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 − 1) = (𝑖 − 1))
2423fveq2d 6157 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (𝑡‘(𝑘 − 1)) = (𝑡‘(𝑖 − 1)))
2524fveq2d 6157 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))) = (𝑇‘(𝑡‘(𝑖 − 1))))
2625rneqd 5318 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))) = ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑖 − 1))))
2722, 26eleq12d 2692 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))) ↔ (𝑡𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑖 − 1)))))
2827cbvralv 3162 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑖 − 1))))
29 fveq2 6153 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑓 → (#‘𝑡) = (#‘𝑓))
3029oveq2d 6626 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑓 → (1..^(#‘𝑡)) = (1..^(#‘𝑓)))
31 fveq1 6152 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑓 → (𝑡𝑖) = (𝑓𝑖))
32 fveq1 6152 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝑓 → (𝑡‘(𝑖 − 1)) = (𝑓‘(𝑖 − 1)))
3332fveq2d 6157 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑓 → (𝑇‘(𝑡‘(𝑖 − 1))) = (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))))
3433rneqd 5318 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑓 → ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑖 − 1))) = ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))))
3531, 34eleq12d 2692 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑓 → ((𝑡𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑖 − 1))) ↔ (𝑓𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1)))))
3630, 35raleqbidv 3144 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑓 → (∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1)))))
3728, 36syl5bb 272 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑓 → (∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1)))))
3821, 37anbi12d 746 . . . . 5 (𝑡 = 𝑓 → (((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1)))) ↔ ((𝑓‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))))))
3938cbvrabv 3188 . . . 4 {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} = {𝑓 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑓‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))))}
4019, 39eqtri 2643 . . 3 dom 𝑆 = {𝑓 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑓‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))))}
4111, 40elrab2 3352 . 2 (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ ((𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))))
42 3anass 1040 . 2 ((𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))) ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ ((𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))))
4341, 42bitr4i 267 1 (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  {crab 2911  cdif 3556  c0 3896  {csn 4153  cop 4159  cotp 4161   ciun 4490  cmpt 4678   I cid 4989   × cxp 5077  dom cdm 5079  ran crn 5080  cfv 5852  (class class class)co 6610  cmpt2 6612  1𝑜c1o 7505  2𝑜c2o 7506  0cc0 9888  1c1 9889  cmin 10218  ...cfz 12276  ..^cfzo 12414  #chash 13065  Word cword 13238   splice csplice 13243  ⟨“cs2 13531   ~FG cefg 18051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-hash 13066  df-word 13246
This theorem is referenced by:  efgsdmi  18077  efgsrel  18079  efgs1  18080  efgs1b  18081  efgsp1  18082  efgsres  18083  efgsfo  18084  efgredlema  18085  efgredlemf  18086  efgredlemd  18089  efgredlemc  18090  efgredlem  18092  efgrelexlemb  18095  efgredeu  18097  efgred2  18098
  Copyright terms: Public domain W3C validator