Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgs1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgs1b 18081
 Description: Every extension sequence ending in an irreducible word is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgs1b (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (#‘𝐴) = 1))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgs1b
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifn 3716 . . . 4 ((𝑆𝐴) ∈ (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥)) → ¬ (𝑆𝐴) ∈ 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
2 efgred.d . . . 4 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
31, 2eleq2s 2716 . . 3 ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 → ¬ (𝑆𝐴) ∈ 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
4 efgval.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
5 efgval.r . . . . . . . . . 10 = ( ~FG𝐼)
6 efgval2.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
7 efgval2.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
8 efgred.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
94, 5, 6, 7, 2, 8efgsdm 18075 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑎 ∈ (1..^(#‘𝐴))(𝐴𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑎 − 1)))))
109simp1bi 1074 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
11 eldifsn 4292 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴 ≠ ∅))
12 lennncl 13272 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴 ≠ ∅) → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
1311, 12sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
1410, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
15 elnn1uz2 11717 . . . . . . 7 ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝐴) = 1 ∨ (#‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)))
1614, 15sylib 208 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((#‘𝐴) = 1 ∨ (#‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)))
1716ord 392 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (#‘𝐴) = 1 → (#‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)))
1810eldifad 3571 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ Word 𝑊)
1918adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ Word 𝑊)
20 wrdf 13257 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴:(0..^(#‘𝐴))⟶𝑊)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴:(0..^(#‘𝐴))⟶𝑊)
22 1z 11359 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
23 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (#‘𝐴) ∈ (ℤ‘2))
24 df-2 11031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 = (1 + 1)
2524fveq2i 6156 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℤ‘2) = (ℤ‘(1 + 1))
2623, 25syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (#‘𝐴) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
27 eluzp1m1 11663 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → ((#‘𝐴) − 1) ∈ (ℤ‘1))
2822, 26, 27sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝐴) − 1) ∈ (ℤ‘1))
29 nnuz 11675 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ = (ℤ‘1)
3028, 29syl6eleqr 2709 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
31 lbfzo0 12456 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)) ↔ ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
3230, 31sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → 0 ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)))
33 fzoend 12508 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)) → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)))
34 elfzofz 12434 . . . . . . . . . . 11 ((((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)) → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((#‘𝐴) − 1)))
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((#‘𝐴) − 1)))
36 eluzelz 11649 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝐴) ∈ (ℤ‘2) → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
3736adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
38 fzoval 12420 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝐴)) = (0...((#‘𝐴) − 1)))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (0..^(#‘𝐴)) = (0...((#‘𝐴) − 1)))
4035, 39eleqtrrd 2701 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐴)))
4121, 40ffvelrnd 6321 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊)
42 uz2m1nn 11715 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐴) ∈ (ℤ‘2) → ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
434, 5, 6, 7, 2, 8efgsdmi 18077 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))
4442, 43sylan2 491 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))
45 fveq2 6153 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) → (𝑇𝑎) = (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))
4645rneqd 5318 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) → ran (𝑇𝑎) = ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))
4746eliuni 4497 . . . . . . . 8 (((𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊 ∧ (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) → (𝑆𝐴) ∈ 𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎))
4841, 44, 47syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑆𝐴) ∈ 𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎))
49 fveq2 6153 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑥 → (𝑇𝑎) = (𝑇𝑥))
5049rneqd 5318 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑥 → ran (𝑇𝑎) = ran (𝑇𝑥))
5150cbviunv 4530 . . . . . . 7 𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎) = 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥)
5248, 51syl6eleq 2708 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑆𝐴) ∈ 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
5352ex 450 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((#‘𝐴) ∈ (ℤ‘2) → (𝑆𝐴) ∈ 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥)))
5417, 53syld 47 . . . 4 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (#‘𝐴) = 1 → (𝑆𝐴) ∈ 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥)))
5554con1d 139 . . 3 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (𝑆𝐴) ∈ 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥) → (#‘𝐴) = 1))
563, 55syl5 34 . 2 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 → (#‘𝐴) = 1))
579simp2bi 1075 . . . 4 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝐴‘0) ∈ 𝐷)
58 oveq1 6617 . . . . . . 7 ((#‘𝐴) = 1 → ((#‘𝐴) − 1) = (1 − 1))
59 1m1e0 11041 . . . . . . 7 (1 − 1) = 0
6058, 59syl6eq 2671 . . . . . 6 ((#‘𝐴) = 1 → ((#‘𝐴) − 1) = 0)
6160fveq2d 6157 . . . . 5 ((#‘𝐴) = 1 → (𝐴‘((#‘𝐴) − 1)) = (𝐴‘0))
6261eleq1d 2683 . . . 4 ((#‘𝐴) = 1 → ((𝐴‘((#‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷 ↔ (𝐴‘0) ∈ 𝐷))
6357, 62syl5ibrcom 237 . . 3 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((#‘𝐴) = 1 → (𝐴‘((#‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷))
644, 5, 6, 7, 2, 8efgsval 18076 . . . 4 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝐴) = (𝐴‘((#‘𝐴) − 1)))
6564eleq1d 2683 . . 3 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (𝐴‘((#‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷))
6663, 65sylibrd 249 . 2 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((#‘𝐴) = 1 → (𝑆𝐴) ∈ 𝐷))
6756, 66impbid 202 1 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (#‘𝐴) = 1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  {crab 2911   ∖ cdif 3556  ∅c0 3896  {csn 4153  ⟨cop 4159  ⟨cotp 4161  ∪ ciun 4490   ↦ cmpt 4678   I cid 4989   × cxp 5077  dom cdm 5079  ran crn 5080  ⟶wf 5848  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610   ↦ cmpt2 6612  1𝑜c1o 7505  2𝑜c2o 7506  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   − cmin 10218  ℕcn 10972  2c2 11022  ℤcz 11329  ℤ≥cuz 11639  ...cfz 12276  ..^cfzo 12414  #chash 13065  Word cword 13238   splice csplice 13243  ⟨“cs2 13531   ~FG cefg 18051 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-hash 13066  df-word 13246 This theorem is referenced by:  efgredlema  18085  efgredeu  18097
 Copyright terms: Public domain W3C validator