Theorem efmnd1hash 18052

Description: The monoid of endofunctions on a singleton has cardinality 1. (Contributed by AV, 27-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
efmnd1bas.1	⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
efmnd1bas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
efmnd1bas.0	⊢ 𝐴 = {𝐼}

Assertion

Ref	Expression
efmnd1hash	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐵) = 1)

Proof of Theorem efmnd1hash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efmnd1bas.0	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝐼}
2		snfi 8587	. . . 4 ⊢ {𝐼} ∈ Fin
3	1, 2	eqeltri 2908	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Fin
4		efmnd1bas.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
5		efmnd1bas.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6	4, 5	efmndhash 18036	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐵) = ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)))
7	3, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘𝐵) = ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴))
8	1	fveq2i 6666	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐴) = (♯‘{𝐼})
9		hashsng 13727	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐼}) = 1)
10	8, 9	syl5eq 2867	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) = 1)
11	10, 10	oveq12d 7167	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)) = (1↑1))
12		1z 12006	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
13		1exp 13455	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1↑1) = 1)
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (1↑1) = 1
15	11, 14	syl6eq 2871	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)) = 1)
16	7, 15	syl5eq 2867	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐵) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  {csn 4560  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  Fincfn 8502  1c1 10531  ℤcz 11975  ↑cexp 13426  ♯chash 13687  Basecbs 16478  EndoFMndcefmnd 18028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-2o 8096  df-oadd 8099  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506  df-dju 9323  df-card 9361  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12890  df-seq 13367  df-exp 13427  df-hash 13688  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-plusg 16573  df-tset 16579  df-efmnd 18029

This theorem is referenced by: (None)