Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem filss 21567
 Description: A filter is closed under taking supersets. (Contributed by FL, 20-Jul-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filss ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝑋𝐴𝐵)) → 𝐵𝐹)

Proof of Theorem filss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfil 21561 . . . 4 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥𝐹)))
21simprbi 480 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥𝐹))
32adantr 481 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝑋𝐴𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥𝐹))
4 elfvdm 6177 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom Fil)
5 simp2 1060 . . 3 ((𝐴𝐹𝐵𝑋𝐴𝐵) → 𝐵𝑋)
6 elpw2g 4787 . . . 4 (𝑋 ∈ dom Fil → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋𝐵𝑋))
76biimpar 502 . . 3 ((𝑋 ∈ dom Fil ∧ 𝐵𝑋) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋)
84, 5, 7syl2an 494 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝑋𝐴𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋)
9 simpr1 1065 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝑋𝐴𝐵)) → 𝐴𝐹)
10 simpr3 1067 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝑋𝐴𝐵)) → 𝐴𝐵)
11 elpwg 4138 . . . . 5 (𝐴𝐹 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵𝐴𝐵))
129, 11syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝑋𝐴𝐵)) → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵𝐴𝐵))
1310, 12mpbird 247 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝑋𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)
14 inelcm 4004 . . 3 ((𝐴𝐹𝐴 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∩ 𝒫 𝐵) ≠ ∅)
159, 13, 14syl2anc 692 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝑋𝐴𝐵)) → (𝐹 ∩ 𝒫 𝐵) ≠ ∅)
16 pweq 4133 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐵)
1716ineq2d 3792 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) = (𝐹 ∩ 𝒫 𝐵))
1817neeq1d 2849 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ ↔ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐵) ≠ ∅))
19 eleq1 2686 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐹𝐵𝐹))
2018, 19imbi12d 334 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → (((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥𝐹) ↔ ((𝐹 ∩ 𝒫 𝐵) ≠ ∅ → 𝐵𝐹)))
2120rspccv 3292 . 2 (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥𝐹) → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 → ((𝐹 ∩ 𝒫 𝐵) ≠ ∅ → 𝐵𝐹)))
223, 8, 15, 21syl3c 66 1 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝑋𝐴𝐵)) → 𝐵𝐹)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907   ∩ cin 3554   ⊆ wss 3555  ∅c0 3891  𝒫 cpw 4130  dom cdm 5074  ‘cfv 5847  fBascfbas 19653  Filcfil 21559 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fv 5855  df-fil 21560 This theorem is referenced by:  filin  21568  filtop  21569  isfil2  21570  infil  21577  fgfil  21589  fgabs  21593  filconn  21597  filuni  21599  trfil2  21601  trfg  21605  isufil2  21622  ufprim  21623  ufileu  21633  filufint  21634  elfm3  21664  rnelfm  21667  fmfnfmlem2  21669  fmfnfmlem4  21671  flimopn  21689  flimrest  21697  flimfnfcls  21742  fclscmpi  21743  alexsublem  21758  metust  22273  cfil3i  22975  cfilfcls  22980  iscmet3lem2  22998  equivcfil  23005  relcmpcmet  23023  minveclem4  23111  fgmin  32007
 Copyright terms: Public domain W3C validator