Theorem filss 22461

Description: A filter is closed under taking supersets. (Contributed by FL, 20-Jul-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filss	⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝐹)

Proof of Theorem filss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 22455	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
2	1	simprbi 499	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹))
3	2	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹))
4		elfvdm 6702	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom Fil)
5		simp2 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
6		elpw2g 5247	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ dom Fil → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑋))
7	6	biimpar 480	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ dom Fil ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋)
8	4, 5, 7	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋)
9		simpr1 1190	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐹)
10		simpr3 1192	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
11	9, 10	elpwd 4547	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)
12		inelcm 4414	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∩ 𝒫 𝐵) ≠ ∅)
13	9, 11, 12	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → (𝐹 ∩ 𝒫 𝐵) ≠ ∅)
14		pweq 4555	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐵)
15	14	ineq2d 4189	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) = (𝐹 ∩ 𝒫 𝐵))
16	15	neeq1d 3075	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ ↔ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐵) ≠ ∅))
17		eleq1 2900	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐹 ↔ 𝐵 ∈ 𝐹))
18	16, 17	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹) ↔ ((𝐹 ∩ 𝒫 𝐵) ≠ ∅ → 𝐵 ∈ 𝐹)))
19	18	rspccv 3620	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 → ((𝐹 ∩ 𝒫 𝐵) ≠ ∅ → 𝐵 ∈ 𝐹)))
20	3, 8, 13, 19	syl3c 66	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  𝒫 cpw 4539  dom cdm 5555  ‘cfv 6355  fBascfbas 20533  Filcfil 22453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fv 6363  df-fil 22454

This theorem is referenced by:  filin  22462  filtop  22463  isfil2  22464  infil  22471  fgfil  22483  fgabs  22487  filconn  22491  filuni  22493  trfil2  22495  trfg  22499  isufil2  22516  ufprim  22517  ufileu  22527  filufint  22528  elfm3  22558  rnelfm  22561  fmfnfmlem2  22563  fmfnfmlem4  22565  flimopn  22583  flimrest  22591  flimfnfcls  22636  fclscmpi  22637  alexsublem  22652  metust  23168  cfil3i  23872  cfilfcls  23877  iscmet3lem2  23895  equivcfil  23902  relcmpcmet  23921  minveclem4  24035  fgmin  33718