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Theorem ufileu 21646
Description: If the ultrafilter containing a given filter is unique, the filter is an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
ufileu (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ↔ ∃!𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝑋

Proof of Theorem ufileu
Dummy variables 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ufilfil 21631 . . . . 5 (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
2 ufilmax 21634 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐹𝑓) → 𝐹 = 𝑓)
323expa 1262 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝐹𝑓) → 𝐹 = 𝑓)
43eqcomd 2627 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝐹𝑓) → 𝑓 = 𝐹)
54ex 450 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝐹𝑓𝑓 = 𝐹))
61, 5sylan2 491 . . . 4 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → (𝐹𝑓𝑓 = 𝐹))
76ralrimiva 2961 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝐹))
8 ssid 3608 . . . 4 𝐹𝐹
9 sseq2 3611 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝐹𝑓𝐹𝐹))
109eqreu 3384 . . . 4 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝐹𝐹 ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝐹)) → ∃!𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓)
118, 10mp3an2 1409 . . 3 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝐹)) → ∃!𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓)
127, 11mpdan 701 . 2 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ∃!𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓)
13 reu6 3381 . . 3 (∃!𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓 ↔ ∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔))
14 ibibr 358 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 = 𝑔𝐹𝑓) ↔ (𝑓 = 𝑔 → (𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)))
1514pm5.74ri 261 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑔 → (𝐹𝑓 ↔ (𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)))
16 sseq2 3611 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑔 → (𝐹𝑓𝐹𝑔))
1715, 16bitr3d 270 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑔 → ((𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) ↔ 𝐹𝑔))
1817rspcva 3296 . . . . . . . 8 ((𝑔 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → 𝐹𝑔)
1918adantll 749 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → 𝐹𝑔)
20 ufilfil 21631 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑔 ∈ (Fil‘𝑋))
21 filelss 21579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑔) → 𝑥𝑋)
2221ex 450 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥𝑔𝑥𝑋))
2320, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥𝑔𝑥𝑋))
2423ad2antlr 762 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → (𝑥𝑔𝑥𝑋))
25 filsspw 21578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
2625ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
27 difss 3720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋
28 filtop 21582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋𝐹)
2928ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → 𝑋𝐹)
30 difexg 4773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑋𝐹 → (𝑋𝑥) ∈ V)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝑥) ∈ V)
32 elpwg 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋𝑥) ∈ V → ((𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ((𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋))
3427, 33mpbiri 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
3534snssd 4314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → {(𝑋𝑥)} ⊆ 𝒫 𝑋)
3626, 35unssd 3772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ⊆ 𝒫 𝑋)
37 ssun1 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐹 ⊆ (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})
38 filn0 21589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
3938ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → 𝐹 ≠ ∅)
40 ssn0 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹 ⊆ (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ≠ ∅)
4137, 39, 40sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ≠ ∅)
42 filelss 21579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑓𝐹) → 𝑓𝑋)
4342ad2ant2rl 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋𝑓𝐹)) → 𝑓𝑋)
44 df-ss 3573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑓𝑋 ↔ (𝑓𝑋) = 𝑓)
4543, 44sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋𝑓𝐹)) → (𝑓𝑋) = 𝑓)
4645sseq1d 3616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋𝑓𝐹)) → ((𝑓𝑋) ⊆ 𝑥𝑓𝑥))
47 filss 21580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑓𝐹𝑥𝑋𝑓𝑥)) → 𝑥𝐹)
48473exp2 1282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑓𝐹 → (𝑥𝑋 → (𝑓𝑥𝑥𝐹))))
4948com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥𝑋 → (𝑓𝐹 → (𝑓𝑥𝑥𝐹))))
5049impd 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ((𝑥𝑋𝑓𝐹) → (𝑓𝑥𝑥𝐹)))
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) → ((𝑥𝑋𝑓𝐹) → (𝑓𝑥𝑥𝐹)))
5251imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋𝑓𝐹)) → (𝑓𝑥𝑥𝐹))
5346, 52sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋𝑓𝐹)) → ((𝑓𝑋) ⊆ 𝑥𝑥𝐹))
5453con3d 148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋𝑓𝐹)) → (¬ 𝑥𝐹 → ¬ (𝑓𝑋) ⊆ 𝑥))
5554expr 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑓𝐹 → (¬ 𝑥𝐹 → ¬ (𝑓𝑋) ⊆ 𝑥)))
5655com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑋) → (¬ 𝑥𝐹 → (𝑓𝐹 → ¬ (𝑓𝑋) ⊆ 𝑥)))
5756impr 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑓𝐹 → ¬ (𝑓𝑋) ⊆ 𝑥))
5857imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) ∧ 𝑓𝐹) → ¬ (𝑓𝑋) ⊆ 𝑥)
59 ineq2 3791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑔 = (𝑋𝑥) → (𝑓𝑔) = (𝑓 ∩ (𝑋𝑥)))
6059neeq1d 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑔 = (𝑋𝑥) → ((𝑓𝑔) ≠ ∅ ↔ (𝑓 ∩ (𝑋𝑥)) ≠ ∅))
6160ralsng 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑋𝑥) ∈ V → (∀𝑔 ∈ {(𝑋𝑥)} (𝑓𝑔) ≠ ∅ ↔ (𝑓 ∩ (𝑋𝑥)) ≠ ∅))
62 inssdif0 3926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑓𝑋) ⊆ 𝑥 ↔ (𝑓 ∩ (𝑋𝑥)) = ∅)
6362necon3bbii 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (¬ (𝑓𝑋) ⊆ 𝑥 ↔ (𝑓 ∩ (𝑋𝑥)) ≠ ∅)
6461, 63syl6bbr 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋𝑥) ∈ V → (∀𝑔 ∈ {(𝑋𝑥)} (𝑓𝑔) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑓𝑋) ⊆ 𝑥))
6531, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (∀𝑔 ∈ {(𝑋𝑥)} (𝑓𝑔) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑓𝑋) ⊆ 𝑥))
6665adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) ∧ 𝑓𝐹) → (∀𝑔 ∈ {(𝑋𝑥)} (𝑓𝑔) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑓𝑋) ⊆ 𝑥))
6758, 66mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) ∧ 𝑓𝐹) → ∀𝑔 ∈ {(𝑋𝑥)} (𝑓𝑔) ≠ ∅)
6867ralrimiva 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ∀𝑓𝐹𝑔 ∈ {(𝑋𝑥)} (𝑓𝑔) ≠ ∅)
69 filfbas 21575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
7069ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
71 difssd 3721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋)
72 ssdif0 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑋𝑥 ↔ (𝑋𝑥) = ∅)
73 eqss 3602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 = 𝑋 ↔ (𝑥𝑋𝑋𝑥))
7473simplbi2 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥𝑋 → (𝑋𝑥𝑥 = 𝑋))
75 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐹𝑋𝐹))
7675notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 = 𝑋 → (¬ 𝑥𝐹 ↔ ¬ 𝑋𝐹))
7776biimpcd 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑥𝐹 → (𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑋𝐹))
7874, 77sylan9 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹) → (𝑋𝑥 → ¬ 𝑋𝐹))
7978adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝑥 → ¬ 𝑋𝐹))
8072, 79syl5bir 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ((𝑋𝑥) = ∅ → ¬ 𝑋𝐹))
8180necon2ad 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝐹 → (𝑋𝑥) ≠ ∅))
8229, 81mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝑥) ≠ ∅)
83 snfbas 21593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋𝑥) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋𝑥) ≠ ∅ ∧ 𝑋𝐹) → {(𝑋𝑥)} ∈ (fBas‘𝑋))
8471, 82, 29, 83syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → {(𝑋𝑥)} ∈ (fBas‘𝑋))
85 fbunfip 21596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ {(𝑋𝑥)} ∈ (fBas‘𝑋)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})) ↔ ∀𝑓𝐹𝑔 ∈ {(𝑋𝑥)} (𝑓𝑔) ≠ ∅))
8670, 84, 85syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})) ↔ ∀𝑓𝐹𝑔 ∈ {(𝑋𝑥)} (𝑓𝑔) ≠ ∅))
8768, 86mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})))
88 fsubbas 21594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋𝐹 → ((fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})))))
8929, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ((fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})))))
9036, 41, 87, 89mpbir3and 1243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋))
91 fgcl 21605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ∈ (Fil‘𝑋))
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ∈ (Fil‘𝑋))
93 filssufil 21639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓)
95 r19.29 3066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) ∧ ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)((𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓))
96 biimp 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) → (𝐹𝑓𝑓 = 𝑔))
97 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
98 snex 4874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 {(𝑋𝑥)} ∈ V
99 unexg 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ {(𝑋𝑥)} ∈ V) → (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ∈ V)
10097, 98, 99sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ∈ V)
101 ssfii 8277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ∈ V → (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})))
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})))
103 ssfg 21599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋) → (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))))
10490, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))))
105102, 104sstrd 3597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))))
106105unssad 3773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))))
107 sstr2 3594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) → ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓𝐹𝑓))
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓𝐹𝑓))
109108imim1d 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ((𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) → ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓𝑓 = 𝑔)))
110 sseq2 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ↔ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑔))
111110biimpcd 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓 → (𝑓 = 𝑔 → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑔))
112111a2i 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓𝑓 = 𝑔) → ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓 → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑔))
11396, 109, 112syl56 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ((𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) → ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓 → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑔)))
114113impd 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (((𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑔))
115114rexlimdvw 3028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)((𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑔))
11695, 115syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ((∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) ∧ ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑔))
11794, 116mpan2d 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑔))
118117imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑔)
119118an32s 845 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))) ⊆ 𝑔)
120 snidg 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋𝑥) ∈ V → (𝑋𝑥) ∈ {(𝑋𝑥)})
12131, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝑥) ∈ {(𝑋𝑥)})
122 elun2 3764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋𝑥) ∈ {(𝑋𝑥)} → (𝑋𝑥) ∈ (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))
123121, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝑥) ∈ (𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))
124105, 123sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝑥) ∈ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))))
125124adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝑥) ∈ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋𝑥)}))))
126119, 125sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (𝑋𝑥) ∈ 𝑔)
127 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋))
128 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → 𝑥𝑋)
129 ufilb 21633 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (¬ 𝑥𝑔 ↔ (𝑋𝑥) ∈ 𝑔))
130127, 128, 129syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → (¬ 𝑥𝑔 ↔ (𝑋𝑥) ∈ 𝑔))
131126, 130mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝐹)) → ¬ 𝑥𝑔)
132131expr 642 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) ∧ 𝑥𝑋) → (¬ 𝑥𝐹 → ¬ 𝑥𝑔))
133132con4d 114 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝑔𝑥𝐹))
134133ex 450 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → (𝑥𝑋 → (𝑥𝑔𝑥𝐹)))
135134com23 86 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → (𝑥𝑔 → (𝑥𝑋𝑥𝐹)))
13624, 135mpdd 43 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → (𝑥𝑔𝑥𝐹))
137136ssrdv 3593 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → 𝑔𝐹)
13819, 137eqssd 3604 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → 𝐹 = 𝑔)
139 simplr 791 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋))
140138, 139eqeltrd 2698 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔)) → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
141140ex 450 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)) → (∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋)))
142141rexlimdva 3025 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹𝑓𝑓 = 𝑔) → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋)))
14313, 142syl5bi 232 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∃!𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓𝐹 ∈ (UFil‘𝑋)))
14412, 143impbid2 216 1 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ↔ ∃!𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  ∃!wreu 2909  Vcvv 3189  cdif 3556  cun 3557  cin 3558  wss 3559  c0 3896  𝒫 cpw 4135  {csn 4153  cfv 5852  (class class class)co 6610  ficfi 8268  fBascfbas 19666  filGencfg 19667  Filcfil 21572  UFilcufil 21626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-ac2 9237
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-rpss 6897  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-fin 7911  df-fi 8269  df-card 8717  df-ac 8891  df-cda 8942  df-fbas 19675  df-fg 19676  df-fil 21573  df-ufil 21628
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