Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fldivmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fldivmod 42638
Description: Expressing the floor of a division by the modulo operator. (Contributed by AV, 6-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
fldivmod ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))

Proof of Theorem fldivmod
StepHypRef Expression
1 rerpdivcl 11899 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
21flcld 12639 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
32zcnd 11521 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
4 rpcn 11879 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ)
54adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
63, 5mulcld 10098 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) ∈ ℂ)
7 modcl 12712 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
87recnd 10106 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℂ)
96, 8pncand 10431 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) = ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵))
106, 8addcld 10097 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℂ)
1110, 8subcld 10430 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℂ)
12 rpne0 11886 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 0)
1312adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 0)
1411, 3, 5, 13divmul3d 10873 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ↔ ((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) = ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵)))
159, 14mpbird 247 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
16 flpmodeq 12713 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) = 𝐴)
1716oveq1d 6705 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) = (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)))
1817oveq1d 6705 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
1915, 18eqtr3d 2687 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977   · cmul 9979  cmin 10304   / cdiv 10722  +crp 11870  cfl 12631   mod cmo 12708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fl 12633  df-mod 12709
This theorem is referenced by:  dignn0flhalflem1  42734
  Copyright terms: Public domain W3C validator