Theorem flcld 13169

Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
flcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
flcld	⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		flcl 13166	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  ℝcr 10536  ℤcz 11982  ⌊cfl 13161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fl 13163

This theorem is referenced by:  flge  13176  flwordi  13183  flword2  13184  fladdz  13196  flhalf  13201  fldiv4p1lem1div2  13206  fldiv4lem1div2uz2  13207  fldiv4lem1div2  13208  ceicl  13212  quoremz  13224  intfracq  13228  fldiv  13229  moddiffl  13251  moddifz  13252  zmodcl  13260  modadd1  13277  modmuladd  13282  modmul1  13293  modsubdir  13309  iexpcyc  13570  absrdbnd  14701  limsupgre  14838  climrlim2  14904  dvdsmod  15678  divalgmod  15757  flodddiv4t2lthalf  15767  bitsp1  15780  bitsmod  15785  bitscmp  15787  bitsuz  15823  modgcd  15880  bezoutlem3  15889  isprm7  16052  hashdvds  16112  prmdiv  16122  odzdvds  16132  fldivp1  16233  pcfac  16235  pcbc  16236  prmreclem4  16255  vdwnnlem3  16333  mulgmodid  18266  odmod  18674  gexdvds  18709  zringlpirlem3  20633  zcld  23421  ovolunlem1a  24097  opnmbllem  24202  mbfi1fseqlem5  24320  dvfsumlem1  24623  dvfsumlem3  24625  sineq0  25109  efif1olem2  25127  ppiltx  25754  dvdsflf1o  25764  ppiub  25780  fsumvma2  25790  logfac2  25793  chpchtsum  25795  pcbcctr  25852  bposlem1  25860  bposlem3  25862  bposlem4  25863  bposlem5  25864  bposlem6  25865  gausslemma2dlem3  25944  gausslemma2dlem4  25945  gausslemma2dlem5  25947  lgseisenlem4  25954  lgseisen  25955  lgsquadlem1  25956  lgsquadlem2  25957  2lgslem1  25970  2lgslem2  25971  chebbnd1lem2  26046  chebbnd1lem3  26047  rplogsumlem2  26061  rpvmasumlem  26063  dchrisumlema  26064  dchrisumlem3  26067  dchrvmasumiflem1  26077  dchrisum0lem1  26092  rplogsum  26103  mulog2sumlem2  26111  pntrsumo1  26141  pntrlog2bndlem2  26154  pntrlog2bndlem4  26156  pntpbnd1  26162  pntpbnd2  26163  pntlemg  26174  pntlemq  26177  pntlemr  26178  pntlemf  26181  ostth2lem2  26210  dya2ub  31528  dya2icoseg  31535  dnibndlem13  33829  knoppndvlem19  33869  ltflcei  34895  opnmbllem0  34943  itg2addnclem2  34959  cntotbnd  35089  irrapxlem1  39439  irrapxlem2  39440  irrapxlem3  39441  irrapxlem4  39442  pellexlem5  39450  pellfund14  39515  hashnzfz2  40673  hashnzfzclim  40674  sineq0ALT  41291  lefldiveq  41579  ltmod  41939  ioodvbdlimc1lem2  42237  ioodvbdlimc2lem  42239  dirkertrigeqlem3  42405  dirkertrigeq  42406  dirkercncflem4  42411  fourierdlem4  42416  fourierdlem7  42419  fourierdlem19  42431  fourierdlem26  42438  fourierdlem41  42453  fourierdlem47  42458  fourierdlem48  42459  fourierdlem49  42460  fourierdlem51  42462  fourierdlem63  42474  fourierdlem65  42476  fourierdlem71  42482  fourierdlem89  42500  fourierdlem90  42501  fourierdlem91  42502  lighneallem2  43791  fldivmod  44598  modn0mul  44600  fllogbd  44640  fldivexpfllog2  44645  logbpw2m1  44647  fllog2  44648  nnpw2blen  44660  blen1b  44668  nnolog2flm1  44670  blennngt2o2  44672  blennn0e2  44674  digvalnn0  44679  dig2nn1st  44685  dig2nn0  44691  dig2bits  44694  dignn0flhalflem2  44696