Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dignn0flhalflem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dignn0flhalflem1 42298
Description: Lemma 1 for dignn0flhalf 42301. (Contributed by AV, 7-Jun-2012.)
Assertion
Ref Expression
dignn0flhalflem1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 / (2↑𝑁)) − 1)) < (⌊‘((𝐴 − 1) / (2↑𝑁))))

Proof of Theorem dignn0flhalflem1
StepHypRef Expression
1 zre 11120 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
213ad2ant1 1074 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 2rp 11575 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
43a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
5 nnz 11138 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
64, 5rpexpcld 12758 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
76rpred 11610 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
873ad2ant3 1076 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
92, 8resubcld 10207 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
1063ad2ant3 1076 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
119, 10modcld 12400 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
129, 11resubcld 10207 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
13 peano2zm 11159 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
1413zred 11220 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
15143ad2ant1 1074 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
1615, 10modcld 12400 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
1715, 16resubcld 10207 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) − ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
18 1red 9808 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
1918, 16readdcld 9822 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
208, 11readdcld 9822 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑁) + ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
21 2nn 10938 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
23 nnnn0 11052 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2422, 23nnexpcld 12756 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
2524anim2i 590 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ))
26253adant2 1072 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ))
27 m1modmmod 42201 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) − (𝐴 mod (2↑𝑁))) = if((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0, ((2↑𝑁) − 1), -1))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) − (𝐴 mod (2↑𝑁))) = if((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0, ((2↑𝑁) − 1), -1))
29 nnz 11138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ)
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ))
31 zcn 11121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
32 xp1d2m1eqxm1d2 11039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 + 1) / 2) − 1) = ((𝐴 − 1) / 2))
3332eqcomd 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) / 2) = (((𝐴 + 1) / 2) − 1))
3431, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 − 1) / 2) = (((𝐴 + 1) / 2) − 1))
3534adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) / 2) = (((𝐴 + 1) / 2) − 1))
3635eleq1d 2576 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ (((𝐴 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ))
37 peano2z 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ → ((((𝐴 + 1) / 2) − 1) + 1) ∈ ℤ)
3831adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
39 1cnd 9809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
4038, 39addcld 9812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
4140halfcld 11030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℂ)
4241, 39npcand 10145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐴 + 1) / 2) − 1) + 1) = ((𝐴 + 1) / 2))
4342eleq1d 2576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐴 + 1) / 2) − 1) + 1) ∈ ℤ ↔ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
4437, 43syl5ib 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐴 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ → ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
4536, 44sylbid 228 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
46 mod0 12401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0 ↔ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ))
471, 6, 46syl2an 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0 ↔ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ))
4822nnzd 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
49 nnm1nn0 11087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
50 zexpcl 12601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
5148, 49, 50syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
5251adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
5352adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
54 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ) → (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ)
5553, 54zmulcld 11226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ) → ((2↑(𝑁 − 1)) · (𝐴 / (2↑𝑁))) ∈ ℤ)
5655ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ → ((2↑(𝑁 − 1)) · (𝐴 / (2↑𝑁))) ∈ ℤ))
575adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
5857zcnd 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
5958, 39negsubd 10147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 + -1) = (𝑁 − 1))
6059eqcomd 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) = (𝑁 + -1))
6160oveq1d 6440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) − 𝑁) = ((𝑁 + -1) − 𝑁))
6239negcld 10128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
6358, 62pncan2d 10143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + -1) − 𝑁) = -1)
6461, 63eqtrd 2548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) − 𝑁) = -1)
6564oveq2d 6441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑((𝑁 − 1) − 𝑁)) = (2↑-1))
66 2cnd 10846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
67 2ne0 10866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 ≠ 0
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ≠ 0)
69 1zzd 11147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
705, 69zsubcld 11225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
7170, 5jca 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
7271adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
73 expsub 12634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (2↑((𝑁 − 1) − 𝑁)) = ((2↑(𝑁 − 1)) / (2↑𝑁)))
7466, 68, 72, 73syl21anc 1316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑((𝑁 − 1) − 𝑁)) = ((2↑(𝑁 − 1)) / (2↑𝑁)))
75 expn1 12596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 ∈ ℂ → (2↑-1) = (1 / 2))
7666, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑-1) = (1 / 2))
7765, 74, 763eqtr3d 2556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 − 1)) / (2↑𝑁)) = (1 / 2))
7877oveq2d 6441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 · ((2↑(𝑁 − 1)) / (2↑𝑁))) = (𝐴 · (1 / 2)))
79 2cnd 10846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
8079, 49expcld 12734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
8180adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
823a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
8382, 57rpexpcld 12758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
8483rpcnne0d 11619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0))
85 div12 10454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ ((2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0)) → ((2↑(𝑁 − 1)) · (𝐴 / (2↑𝑁))) = (𝐴 · ((2↑(𝑁 − 1)) / (2↑𝑁))))
8681, 38, 84, 85syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 − 1)) · (𝐴 / (2↑𝑁))) = (𝐴 · ((2↑(𝑁 − 1)) / (2↑𝑁))))
8738, 66, 68divrecd 10551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 2) = (𝐴 · (1 / 2)))
8878, 86, 873eqtr4d 2558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 − 1)) · (𝐴 / (2↑𝑁))) = (𝐴 / 2))
8988eleq1d 2576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2↑(𝑁 − 1)) · (𝐴 / (2↑𝑁))) ∈ ℤ ↔ (𝐴 / 2) ∈ ℤ))
9056, 89sylibd 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (2↑𝑁)) ∈ ℤ → (𝐴 / 2) ∈ ℤ))
9147, 90sylbid 228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ))
92 zeo2 11202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
9392adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
9491, 93sylibd 227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0 → ¬ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
9594necon2ad 2701 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ≠ 0))
9630, 45, 953syld 57 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ≠ 0))
9796ex 448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ≠ 0)))
9897com23 83 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℤ → (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ≠ 0)))
99983imp 1248 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ≠ 0)
10099neneqd 2691 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ (𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0)
101100iffalsed 3950 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if((𝐴 mod (2↑𝑁)) = 0, ((2↑𝑁) − 1), -1) = -1)
10228, 101eqtrd 2548 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) − (𝐴 mod (2↑𝑁))) = -1)
103 neg1lt0 10880 . . . . . . . . . 10 -1 < 0
104 2re 10843 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
105 1lt2 10947 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 2
106 expgt1 12624 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑𝑁))
107104, 105, 106mp3an13 1406 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 1 < (2↑𝑁))
108 1red 9808 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
109108, 7posdifd 10361 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (1 < (2↑𝑁) ↔ 0 < ((2↑𝑁) − 1)))
110107, 109mpbid 220 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2↑𝑁) − 1))
111108renegcld 10206 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℝ)
112 0red 9794 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
1137, 108resubcld 10207 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℝ)
114 lttr 9862 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℝ) → ((-1 < 0 ∧ 0 < ((2↑𝑁) − 1)) → -1 < ((2↑𝑁) − 1)))
115111, 112, 113, 114syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((-1 < 0 ∧ 0 < ((2↑𝑁) − 1)) → -1 < ((2↑𝑁) − 1)))
116110, 115mpan2d 705 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (-1 < 0 → -1 < ((2↑𝑁) − 1)))
117103, 116mpi 20 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → -1 < ((2↑𝑁) − 1))
1181173ad2ant3 1076 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -1 < ((2↑𝑁) − 1))
119102, 118eqbrtrd 4503 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) − (𝐴 mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) − 1))
1202, 10modcld 12400 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
121 ltsubadd2b 42191 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) ∈ ℝ)) → ((((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) − (𝐴 mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) − 1) ↔ (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))))
12218, 8, 120, 16, 121syl22anc 1318 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) − (𝐴 mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) − 1) ↔ (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) + (𝐴 mod (2↑𝑁)))))
123119, 122mpbid 220 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) + (𝐴 mod (2↑𝑁))))
124 modid0 12422 . . . . . . . . . . . 12 ((2↑𝑁) ∈ ℝ+ → ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁)) = 0)
12510, 124syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁)) = 0)
126125oveq2d 6441 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) − ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁))) = ((𝐴 mod (2↑𝑁)) − 0))
127120recnd 9821 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 mod (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
128127subid1d 10130 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) − 0) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
129126, 128eqtrd 2548 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) − ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁))) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
130129oveq1d 6440 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 mod (2↑𝑁)) − ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((𝐴 mod (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)))
131 modsubmodmod 12455 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod (2↑𝑁)) − ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)))
1322, 8, 10, 131syl3anc 1317 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 mod (2↑𝑁)) − ((2↑𝑁) mod (2↑𝑁))) mod (2↑𝑁)) = ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)))
133 modabs2 12430 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
1342, 10, 133syl2anc 690 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
135130, 132, 1343eqtr3d 2556 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)) = (𝐴 mod (2↑𝑁)))
136135oveq2d 6441 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑁) + ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) = ((2↑𝑁) + (𝐴 mod (2↑𝑁))))
137123, 136breqtrrd 4509 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) < ((2↑𝑁) + ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))))
13819, 20, 2, 137ltsub2dd 10387 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − ((2↑𝑁) + ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)))) < (𝐴 − (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)))))
139313ad2ant1 1074 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
1408recnd 9821 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
14111recnd 9821 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
142139, 140, 141subsub4d 10172 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) = (𝐴 − ((2↑𝑁) + ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁)))))
143 1cnd 9809 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
14416recnd 9821 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
145139, 143, 144subsub4d 10172 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) − ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) = (𝐴 − (1 + ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁)))))
146138, 142, 1453brtr4d 4513 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) < ((𝐴 − 1) − ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))))
14712, 17, 10, 146ltdiv1dd 11667 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) < (((𝐴 − 1) − ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
1487recnd 9821 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
1491483ad2ant3 1076 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
15067a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
15179, 150, 5expne0d 12740 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ≠ 0)
1521513ad2ant3 1076 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) ≠ 0)
153 divsub1dir 42192 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0) → ((𝐴 / (2↑𝑁)) − 1) = ((𝐴 − (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)))
154153fveq2d 5990 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ≠ 0) → (⌊‘((𝐴 / (2↑𝑁)) − 1)) = (⌊‘((𝐴 − (2↑𝑁)) / (2↑𝑁))))
155139, 149, 152, 154syl3anc 1317 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 / (2↑𝑁)) − 1)) = (⌊‘((𝐴 − (2↑𝑁)) / (2↑𝑁))))
156 fldivmod 42198 . . . 4 (((𝐴 − (2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) → (⌊‘((𝐴 − (2↑𝑁)) / (2↑𝑁))) = (((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
1579, 10, 156syl2anc 690 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 − (2↑𝑁)) / (2↑𝑁))) = (((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
158155, 157eqtrd 2548 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 / (2↑𝑁)) − 1)) = (((𝐴 − (2↑𝑁)) − ((𝐴 − (2↑𝑁)) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
159 fldivmod 42198 . . 3 (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℝ+) → (⌊‘((𝐴 − 1) / (2↑𝑁))) = (((𝐴 − 1) − ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
16015, 10, 159syl2anc 690 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 − 1) / (2↑𝑁))) = (((𝐴 − 1) − ((𝐴 − 1) mod (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
161147, 158, 1603brtr4d 4513 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐴 / (2↑𝑁)) − 1)) < (⌊‘((𝐴 − 1) / (2↑𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1938  wne 2684  ifcif 3939   class class class wbr 4481  cfv 5689  (class class class)co 6425  cc 9687  cr 9688  0cc0 9689  1c1 9690   + caddc 9692   · cmul 9694   < clt 9827  cmin 10015  -cneg 10016   / cdiv 10431  cn 10773  2c2 10823  0cn0 11045  cz 11116  +crp 11570  cfl 12317   mod cmo 12394  cexp 12586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6721  ax-cnex 9745  ax-resscn 9746  ax-1cn 9747  ax-icn 9748  ax-addcl 9749  ax-addrcl 9750  ax-mulcl 9751  ax-mulrcl 9752  ax-mulcom 9753  ax-addass 9754  ax-mulass 9755  ax-distr 9756  ax-i2m1 9757  ax-1ne0 9758  ax-1rid 9759  ax-rnegex 9760  ax-rrecex 9761  ax-cnre 9762  ax-pre-lttri 9763  ax-pre-lttrn 9764  ax-pre-ltadd 9765  ax-pre-mulgt0 9766  ax-pre-sup 9767
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6832  df-1st 6932  df-2nd 6933  df-wrecs 7167  df-recs 7229  df-rdg 7267  df-er 7503  df-en 7716  df-dom 7717  df-sdom 7718  df-sup 8105  df-inf 8106  df-pnf 9829  df-mnf 9830  df-xr 9831  df-ltxr 9832  df-le 9833  df-sub 10017  df-neg 10018  df-div 10432  df-nn 10774  df-2 10832  df-n0 11046  df-z 11117  df-uz 11424  df-rp 11571  df-fz 12062  df-fzo 12199  df-fl 12319  df-mod 12395  df-seq 12528  df-exp 12587
This theorem is referenced by:  dignn0flhalflem2  42299
  Copyright terms: Public domain W3C validator