Theorem fta1b 24763

Description: The assumption that 𝑅 be a domain in fta1g 24761 is necessary. Here we show that the statement is strong enough to prove that 𝑅 is a domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fta1b.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
fta1b.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
fta1b.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
fta1b.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
fta1b.w	⊢ 𝑊 = (0g‘𝑅)
fta1b.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
fta1b	⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝐷,𝑓   𝑓,𝑂   𝑅,𝑓   𝑓,𝑊   𝑃,𝑓   0 ,𝑓

Proof of Theorem fta1b

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isidom 20077	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
2	1	simplbi 500	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
3	1	simprbi 499	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
4		domnnzr 20068	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ NzRing)
6		fta1b.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7		fta1b.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
8		fta1b.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
9		fta1b.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
10		fta1b.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (0g‘𝑅)
11		fta1b.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
12		simpl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ IDomn)
13		eldifsn 4719	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ≠ 0 ))
14	13	simplbi 500	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑓 ∈ 𝐵)
15	14	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑓 ∈ 𝐵)
16	13	simprbi 499	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑓 ≠ 0 )
17	16	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑓 ≠ 0 )
18	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 17	fta1g 24761	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓))
19	18	ralrimiva 3182	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓))
20	2, 5, 19	3jca 1124	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)))
21		simp1 1132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) → 𝑅 ∈ CRing)
22		simp2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) → 𝑅 ∈ NzRing)
23		df-ne 3017	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑊 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑊)
24		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
25		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
26		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
27		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
28		simpll1 1208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → 𝑅 ∈ CRing)
29		simplrl 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
30		simplrr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
31		simprl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊)
32		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → 𝑥 ≠ 𝑊)
33		simpll3 1210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓))
34		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) → (𝑂‘𝑓) = (𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))))
35	34	cnveqd 5746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) → ◡(𝑂‘𝑓) = ◡(𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))))
36	35	imaeq1d 5928	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) → (◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊}) = (◡(𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))) “ {𝑊}))
37	36	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) → (♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) = (♯‘(◡(𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))) “ {𝑊})))
38		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) → (𝐷‘𝑓) = (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))))
39	37, 38	breq12d 5079	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) → ((♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓) ↔ (♯‘(◡(𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)))))
40	39	rspccv 3620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)))))
41	33, 40	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)))))
42	6, 7, 8, 9, 10, 11, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 41	fta1blem 24762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → 𝑦 = 𝑊)
43	42	expr 459	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊) → (𝑥 ≠ 𝑊 → 𝑦 = 𝑊))
44	23, 43	syl5bir 245	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊) → (¬ 𝑥 = 𝑊 → 𝑦 = 𝑊))
45	44	orrd 859	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊) → (𝑥 = 𝑊 ∨ 𝑦 = 𝑊))
46	45	ex 415	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 → (𝑥 = 𝑊 ∨ 𝑦 = 𝑊)))
47	46	ralrimivva 3191	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 → (𝑥 = 𝑊 ∨ 𝑦 = 𝑊)))
48	24, 25, 10	isdomn 20067	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 → (𝑥 = 𝑊 ∨ 𝑦 = 𝑊))))
49	22, 47, 48	sylanbrc 585	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) → 𝑅 ∈ Domn)
50	21, 49, 1	sylanbrc 585	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) → 𝑅 ∈ IDomn)
51	20, 50	impbii 211	1 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138   ∖ cdif 3933  {csn 4567   class class class wbr 5066  ^◡ccnv 5554   “ cima 5558  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ≤ cle 10676  ♯chash 13691  Basecbs 16483  ._rcmulr 16566   ·_𝑠 cvsca 16569  0_gc0g 16713  CRingccrg 19298  NzRingcnzr 20030  Domncdomn 20053  IDomncidom 20054  var₁cv1 20344  Poly₁cpl1 20345  eval₁ce1 20477   deg₁ cdg1 24648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-ofr 7410  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-tpos 7892  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-sup 8906  df-oi 8974  df-dju 9330  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-xnn0 11969  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-hash 13692  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-prds 16721  df-pws 16723  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-srg 19256  df-ring 19299  df-cring 19300  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-rnghom 19467  df-subrg 19533  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-nzr 20031  df-rlreg 20056  df-domn 20057  df-idom 20058  df-assa 20085  df-asp 20086  df-ascl 20087  df-psr 20136  df-mvr 20137  df-mpl 20138  df-opsr 20140  df-evls 20286  df-evl 20287  df-psr1 20348  df-vr1 20349  df-ply1 20350  df-coe1 20351  df-evl1 20479  df-cnfld 20546  df-mdeg 24649  df-deg1 24650  df-mon1 24724  df-uc1p 24725  df-q1p 24726  df-r1p 24727

This theorem is referenced by: (None)