MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta1blem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fta1blem 23649
Description: Lemma for fta1b 23650. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fta1b.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
fta1b.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
fta1b.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
fta1b.o 𝑂 = (eval1𝑅)
fta1b.w 𝑊 = (0g𝑅)
fta1b.z 0 = (0g𝑃)
fta1blem.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
fta1blem.t × = (.r𝑅)
fta1blem.x 𝑋 = (var1𝑅)
fta1blem.s · = ( ·𝑠𝑃)
fta1blem.1 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
fta1blem.2 (𝜑𝑀𝐾)
fta1blem.3 (𝜑𝑁𝐾)
fta1blem.4 (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) = 𝑊)
fta1blem.5 (𝜑𝑀𝑊)
fta1blem.6 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑀 · 𝑋))))
Assertion
Ref Expression
fta1blem (𝜑𝑁 = 𝑊)

Proof of Theorem fta1blem
StepHypRef Expression
1 fta1blem.3 . . . 4 (𝜑𝑁𝐾)
2 fta1b.o . . . . . . 7 𝑂 = (eval1𝑅)
3 fta1b.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 fta1blem.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑅)
5 fta1b.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
6 fta1blem.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
7 fta1blem.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1𝑅)
82, 7, 4, 3, 5, 6, 1evl1vard 19468 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝐵 ∧ ((𝑂𝑋)‘𝑁) = 𝑁))
9 fta1blem.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑀𝐾)
10 fta1blem.s . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑃)
11 fta1blem.t . . . . . . 7 × = (.r𝑅)
122, 3, 4, 5, 6, 1, 8, 9, 10, 11evl1vsd 19475 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = (𝑀 × 𝑁)))
1312simprd 477 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = (𝑀 × 𝑁))
14 fta1blem.4 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) = 𝑊)
1513, 14eqtrd 2643 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = 𝑊)
16 eqid 2609 . . . . . . 7 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
17 eqid 2609 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅s 𝐾)) = (Base‘(𝑅s 𝐾))
18 fvex 6098 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) ∈ V
194, 18eqeltri 2683 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ V)
212, 3, 16, 4evl1rhm 19463 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
226, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
235, 17rhmf 18495 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
2512simpld 473 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
2624, 25ffvelrnd 6253 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
2716, 4, 17, 6, 20, 26pwselbas 15918 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)):𝐾𝐾)
2827ffnd 5945 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) Fn 𝐾)
29 fniniseg 6231 . . . . 5 ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) Fn 𝐾 → (𝑁 ∈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑁𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = 𝑊)))
3028, 29syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑁𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = 𝑊)))
311, 15, 30mpbir2and 958 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
32 fvex 6098 . . . . . . . 8 (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) ∈ V
3332cnvex 6983 . . . . . . 7 (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) ∈ V
3433imaex 6973 . . . . . 6 ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V
3534a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V)
36 1nn0 11155 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3736a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
38 crngring 18327 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
396, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
407, 3, 5vr1cl 19354 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝐵)
42 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . 13 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
4342, 5mgpbas 18264 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
44 eqid 2609 . . . . . . . . . . . 12 (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
4543, 44mulg1 17317 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝐵 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
4641, 45syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
4746oveq2d 6543 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = (𝑀 · 𝑋))
48 fta1blem.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀𝑊)
49 fta1b.w . . . . . . . . . . . . 13 𝑊 = (0g𝑅)
5049, 4, 3, 7, 10, 42, 44coe1tmfv1 19411 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = 𝑀)
5139, 9, 37, 50syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = 𝑀)
52 fta1b.z . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (0g𝑃)
533, 52, 49coe1z 19400 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → (coe10 ) = (ℕ0 × {𝑊}))
5439, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (coe10 ) = (ℕ0 × {𝑊}))
5554fveq1d 6090 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((coe10 )‘1) = ((ℕ0 × {𝑊})‘1))
56 fvex 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝑅) ∈ V
5749, 56eqeltri 2683 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑊 ∈ V
5857fvconst2 6352 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {𝑊})‘1) = 𝑊)
5936, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((ℕ0 × {𝑊})‘1) = 𝑊
6055, 59syl6eq 2659 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((coe10 )‘1) = 𝑊)
6148, 51, 603netr4d 2858 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) ≠ ((coe10 )‘1))
62 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 0 → (coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = (coe10 ))
6362fveq1d 6090 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 0 → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = ((coe10 )‘1))
6463necon3i 2813 . . . . . . . . . 10 (((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) ≠ ((coe10 )‘1) → (𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) ≠ 0 )
6561, 64syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) ≠ 0 )
6647, 65eqnetrrd 2849 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ≠ 0 )
67 eldifsn 4259 . . . . . . . 8 ((𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) ≠ 0 ))
6825, 66, 67sylanbrc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
69 fta1blem.6 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑀 · 𝑋))))
7068, 69mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑀 · 𝑋)))
7147fveq2d 6092 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = (𝐷‘(𝑀 · 𝑋)))
72 fta1b.d . . . . . . . . 9 𝐷 = ( deg1𝑅)
7372, 4, 3, 7, 10, 42, 44, 49deg1tm 23599 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐾𝑀𝑊) ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = 1)
7439, 9, 48, 37, 73syl121anc 1322 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = 1)
7571, 74eqtr3d 2645 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 · 𝑋)) = 1)
7670, 75breqtrd 4603 . . . . 5 (𝜑 → (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1)
77 hashbnd 12940 . . . . 5 ((((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1) → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin)
7835, 37, 76, 77syl3anc 1317 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin)
794, 49ring0cl 18338 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑊𝐾)
8039, 79syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊𝐾)
81 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . 13 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
823, 81, 4, 5ply1sclf 19422 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘𝑃):𝐾𝐵)
8339, 82syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (algSc‘𝑃):𝐾𝐵)
8483, 9ffvelrnd 6253 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘𝑀) ∈ 𝐵)
85 eqid 2609 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑃) = (.r𝑃)
86 eqid 2609 . . . . . . . . . . 11 (.r‘(𝑅s 𝐾)) = (.r‘(𝑅s 𝐾))
875, 85, 86rhmmul 18496 . . . . . . . . . 10 ((𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) ∧ ((algSc‘𝑃)‘𝑀) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → (𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r𝑃)𝑋)) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝑋)))
8822, 84, 41, 87syl3anc 1317 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r𝑃)𝑋)) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝑋)))
893ply1assa 19336 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
906, 89syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ AssAlg)
913ply1sca 19390 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
926, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
9392fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
944, 93syl5eq 2655 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
959, 94eleqtrd 2689 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
96 eqid 2609 . . . . . . . . . . . 12 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
97 eqid 2609 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
9881, 96, 97, 5, 85, 10asclmul1 19106 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑋𝐵) → (((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r𝑃)𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
9990, 95, 41, 98syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r𝑃)𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
10099fveq2d 6092 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r𝑃)𝑋)) = (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)))
10124, 84ffvelrnd 6253 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
10224, 41ffvelrnd 6253 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂𝑋) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
10316, 17, 6, 20, 101, 102, 11, 86pwsmulrval 15920 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝑋)) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) ∘𝑓 × (𝑂𝑋)))
1042, 3, 4, 81evl1sca 19465 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐾) → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) = (𝐾 × {𝑀}))
1056, 9, 104syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) = (𝐾 × {𝑀}))
1062, 7, 4evl1var 19467 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → (𝑂𝑋) = ( I ↾ 𝐾))
1076, 106syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂𝑋) = ( I ↾ 𝐾))
108105, 107oveq12d 6545 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) ∘𝑓 × (𝑂𝑋)) = ((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾)))
109103, 108eqtrd 2643 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝑋)) = ((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾)))
11088, 100, 1093eqtr3d 2651 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) = ((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾)))
111110fveq1d 6090 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = (((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊))
112 fnconstg 5991 . . . . . . . . . 10 (𝑀𝐾 → (𝐾 × {𝑀}) Fn 𝐾)
1139, 112syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 × {𝑀}) Fn 𝐾)
114 fnresi 5908 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ 𝐾) Fn 𝐾
115114a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( I ↾ 𝐾) Fn 𝐾)
116 fnfvof 6786 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 × {𝑀}) Fn 𝐾 ∧ ( I ↾ 𝐾) Fn 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑊𝐾)) → (((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊) = (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)))
117113, 115, 20, 80, 116syl22anc 1318 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊) = (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)))
118 fvconst2g 6350 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝐾𝑊𝐾) → ((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) = 𝑀)
1199, 80, 118syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) = 𝑀)
120 fvresi 6322 . . . . . . . . . . 11 (𝑊𝐾 → (( I ↾ 𝐾)‘𝑊) = 𝑊)
12180, 120syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (( I ↾ 𝐾)‘𝑊) = 𝑊)
122119, 121oveq12d 6545 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)) = (𝑀 × 𝑊))
1234, 11, 49ringrz 18357 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) → (𝑀 × 𝑊) = 𝑊)
12439, 9, 123syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 × 𝑊) = 𝑊)
125122, 124eqtrd 2643 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)) = 𝑊)
126117, 125eqtrd 2643 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊) = 𝑊)
127111, 126eqtrd 2643 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = 𝑊)
128 fniniseg 6231 . . . . . . 7 ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) Fn 𝐾 → (𝑊 ∈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑊𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = 𝑊)))
12928, 128syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 ∈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑊𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = 𝑊)))
13080, 127, 129mpbir2and 958 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
131130snssd 4280 . . . 4 (𝜑 → {𝑊} ⊆ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
132 hashsng 12972 . . . . . . 7 (𝑊𝐾 → (#‘{𝑊}) = 1)
13380, 132syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘{𝑊}) = 1)
134 ssdomg 7864 . . . . . . . . . 10 (((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V → ({𝑊} ⊆ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) → {𝑊} ≼ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
13534, 131, 134mpsyl 65 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑊} ≼ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
136 snfi 7900 . . . . . . . . . 10 {𝑊} ∈ Fin
137 hashdom 12981 . . . . . . . . . 10 (({𝑊} ∈ Fin ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V) → ((#‘{𝑊}) ≤ (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≼ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
138136, 34, 137mp2an 703 . . . . . . . . 9 ((#‘{𝑊}) ≤ (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≼ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
139135, 138sylibr 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘{𝑊}) ≤ (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
140133, 139eqbrtrrd 4601 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ≤ (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
141 hashcl 12961 . . . . . . . . . 10 (((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin → (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℕ0)
14278, 141syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℕ0)
143142nn0red 11199 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℝ)
144 1re 9895 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
145 letri3 9974 . . . . . . . 8 (((#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) = 1 ↔ ((#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))))
146143, 144, 145sylancl 692 . . . . . . 7 (𝜑 → ((#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) = 1 ↔ ((#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))))
14776, 140, 146mpbir2and 958 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) = 1)
148133, 147eqtr4d 2646 . . . . 5 (𝜑 → (#‘{𝑊}) = (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
149 hashen 12949 . . . . . 6 (({𝑊} ∈ Fin ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin) → ((#‘{𝑊}) = (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
150136, 78, 149sylancr 693 . . . . 5 (𝜑 → ((#‘{𝑊}) = (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
151148, 150mpbid 220 . . . 4 (𝜑 → {𝑊} ≈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
152 fisseneq 8033 . . . 4 ((((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin ∧ {𝑊} ⊆ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∧ {𝑊} ≈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) → {𝑊} = ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
15378, 131, 151, 152syl3anc 1317 . . 3 (𝜑 → {𝑊} = ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
15431, 153eleqtrrd 2690 . 2 (𝜑𝑁 ∈ {𝑊})
155 elsni 4141 . 2 (𝑁 ∈ {𝑊} → 𝑁 = 𝑊)
156154, 155syl 17 1 (𝜑𝑁 = 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  Vcvv 3172  cdif 3536  wss 3539  {csn 4124   class class class wbr 4577   I cid 4938   × cxp 5026  ccnv 5027  cres 5030  cima 5031   Fn wfn 5785  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑓 cof 6770  cen 7815  cdom 7816  Fincfn 7818  cr 9791  1c1 9793  cle 9931  0cn0 11139  #chash 12934  Basecbs 15641  .rcmulr 15715  Scalarcsca 15717   ·𝑠 cvsca 15718  0gc0g 15869  s cpws 15876  .gcmg 17309  mulGrpcmgp 18258  Ringcrg 18316  CRingccrg 18317   RingHom crh 18481  AssAlgcasa 19076  algSccascl 19078  var1cv1 19313  Poly1cpl1 19314  coe1cco1 19315  eval1ce1 19446   deg1 cdg1 23535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-ofr 6773  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-sup 8208  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-hash 12935  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-prds 15877  df-pws 15879  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-mhm 17104  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-mulg 17310  df-subg 17360  df-ghm 17427  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-srg 18275  df-ring 18318  df-cring 18319  df-rnghom 18484  df-subrg 18547  df-lmod 18634  df-lss 18700  df-lsp 18739  df-assa 19079  df-asp 19080  df-ascl 19081  df-psr 19123  df-mvr 19124  df-mpl 19125  df-opsr 19127  df-evls 19273  df-evl 19274  df-psr1 19317  df-vr1 19318  df-ply1 19319  df-coe1 19320  df-evl1 19448  df-cnfld 19514  df-mdeg 23536  df-deg1 23537
This theorem is referenced by:  fta1b  23650
  Copyright terms: Public domain W3C validator