MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta1blem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fta1blem 23973
Description: Lemma for fta1b 23974. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fta1b.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
fta1b.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
fta1b.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
fta1b.o 𝑂 = (eval1𝑅)
fta1b.w 𝑊 = (0g𝑅)
fta1b.z 0 = (0g𝑃)
fta1blem.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
fta1blem.t × = (.r𝑅)
fta1blem.x 𝑋 = (var1𝑅)
fta1blem.s · = ( ·𝑠𝑃)
fta1blem.1 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
fta1blem.2 (𝜑𝑀𝐾)
fta1blem.3 (𝜑𝑁𝐾)
fta1blem.4 (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) = 𝑊)
fta1blem.5 (𝜑𝑀𝑊)
fta1blem.6 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑀 · 𝑋))))
Assertion
Ref Expression
fta1blem (𝜑𝑁 = 𝑊)

Proof of Theorem fta1blem
StepHypRef Expression
1 fta1blem.3 . . . 4 (𝜑𝑁𝐾)
2 fta1b.o . . . . . . 7 𝑂 = (eval1𝑅)
3 fta1b.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 fta1blem.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑅)
5 fta1b.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
6 fta1blem.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
7 fta1blem.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1𝑅)
82, 7, 4, 3, 5, 6, 1evl1vard 19749 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝐵 ∧ ((𝑂𝑋)‘𝑁) = 𝑁))
9 fta1blem.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑀𝐾)
10 fta1blem.s . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑃)
11 fta1blem.t . . . . . . 7 × = (.r𝑅)
122, 3, 4, 5, 6, 1, 8, 9, 10, 11evl1vsd 19756 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = (𝑀 × 𝑁)))
1312simprd 478 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = (𝑀 × 𝑁))
14 fta1blem.4 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) = 𝑊)
1513, 14eqtrd 2685 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = 𝑊)
16 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
17 eqid 2651 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅s 𝐾)) = (Base‘(𝑅s 𝐾))
18 fvex 6239 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) ∈ V
194, 18eqeltri 2726 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ V)
212, 3, 16, 4evl1rhm 19744 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
226, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
235, 17rhmf 18774 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
2512simpld 474 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
2624, 25ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
2716, 4, 17, 6, 20, 26pwselbas 16196 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)):𝐾𝐾)
2827ffnd 6084 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) Fn 𝐾)
29 fniniseg 6378 . . . . 5 ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) Fn 𝐾 → (𝑁 ∈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑁𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = 𝑊)))
3028, 29syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑁𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = 𝑊)))
311, 15, 30mpbir2and 977 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
32 fvex 6239 . . . . . . . 8 (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) ∈ V
3332cnvex 7155 . . . . . . 7 (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) ∈ V
3433imaex 7146 . . . . . 6 ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V
3534a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V)
36 1nn0 11346 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3736a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
38 crngring 18604 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
396, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
407, 3, 5vr1cl 19635 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝐵)
42 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
4342, 5mgpbas 18541 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
44 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
4543, 44mulg1 17595 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝐵 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
4641, 45syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
4746oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = (𝑀 · 𝑋))
48 fta1blem.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀𝑊)
49 fta1b.w . . . . . . . . . . . . 13 𝑊 = (0g𝑅)
5049, 4, 3, 7, 10, 42, 44coe1tmfv1 19692 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = 𝑀)
5139, 9, 37, 50syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = 𝑀)
52 fta1b.z . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (0g𝑃)
533, 52, 49coe1z 19681 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → (coe10 ) = (ℕ0 × {𝑊}))
5439, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (coe10 ) = (ℕ0 × {𝑊}))
5554fveq1d 6231 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((coe10 )‘1) = ((ℕ0 × {𝑊})‘1))
56 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝑅) ∈ V
5749, 56eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑊 ∈ V
5857fvconst2 6510 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {𝑊})‘1) = 𝑊)
5936, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((ℕ0 × {𝑊})‘1) = 𝑊
6055, 59syl6eq 2701 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((coe10 )‘1) = 𝑊)
6148, 51, 603netr4d 2900 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) ≠ ((coe10 )‘1))
62 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 0 → (coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = (coe10 ))
6362fveq1d 6231 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 0 → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = ((coe10 )‘1))
6463necon3i 2855 . . . . . . . . . 10 (((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) ≠ ((coe10 )‘1) → (𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) ≠ 0 )
6561, 64syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) ≠ 0 )
6647, 65eqnetrrd 2891 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ≠ 0 )
67 eldifsn 4350 . . . . . . . 8 ((𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) ≠ 0 ))
6825, 66, 67sylanbrc 699 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
69 fta1blem.6 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑀 · 𝑋))))
7068, 69mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑀 · 𝑋)))
7147fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = (𝐷‘(𝑀 · 𝑋)))
72 fta1b.d . . . . . . . . 9 𝐷 = ( deg1𝑅)
7372, 4, 3, 7, 10, 42, 44, 49deg1tm 23923 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐾𝑀𝑊) ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = 1)
7439, 9, 48, 37, 73syl121anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = 1)
7571, 74eqtr3d 2687 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 · 𝑋)) = 1)
7670, 75breqtrd 4711 . . . . 5 (𝜑 → (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1)
77 hashbnd 13163 . . . . 5 ((((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1) → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin)
7835, 37, 76, 77syl3anc 1366 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin)
794, 49ring0cl 18615 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑊𝐾)
8039, 79syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊𝐾)
81 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
823, 81, 4, 5ply1sclf 19703 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘𝑃):𝐾𝐵)
8339, 82syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (algSc‘𝑃):𝐾𝐵)
8483, 9ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘𝑀) ∈ 𝐵)
85 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑃) = (.r𝑃)
86 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (.r‘(𝑅s 𝐾)) = (.r‘(𝑅s 𝐾))
875, 85, 86rhmmul 18775 . . . . . . . . . 10 ((𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) ∧ ((algSc‘𝑃)‘𝑀) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → (𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r𝑃)𝑋)) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝑋)))
8822, 84, 41, 87syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r𝑃)𝑋)) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝑋)))
893ply1assa 19617 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
906, 89syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ AssAlg)
913ply1sca 19671 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
926, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
9392fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
944, 93syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
959, 94eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
96 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
97 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
9881, 96, 97, 5, 85, 10asclmul1 19387 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑋𝐵) → (((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r𝑃)𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
9990, 95, 41, 98syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r𝑃)𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
10099fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r𝑃)𝑋)) = (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)))
10124, 84ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
10224, 41ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂𝑋) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
10316, 17, 6, 20, 101, 102, 11, 86pwsmulrval 16198 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝑋)) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) ∘𝑓 × (𝑂𝑋)))
1042, 3, 4, 81evl1sca 19746 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐾) → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) = (𝐾 × {𝑀}))
1056, 9, 104syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) = (𝐾 × {𝑀}))
1062, 7, 4evl1var 19748 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → (𝑂𝑋) = ( I ↾ 𝐾))
1076, 106syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂𝑋) = ( I ↾ 𝐾))
108105, 107oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) ∘𝑓 × (𝑂𝑋)) = ((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾)))
109103, 108eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝑋)) = ((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾)))
11088, 100, 1093eqtr3d 2693 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) = ((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾)))
111110fveq1d 6231 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = (((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊))
112 fnconstg 6131 . . . . . . . . . 10 (𝑀𝐾 → (𝐾 × {𝑀}) Fn 𝐾)
1139, 112syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 × {𝑀}) Fn 𝐾)
114 fnresi 6046 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ 𝐾) Fn 𝐾
115114a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( I ↾ 𝐾) Fn 𝐾)
116 fnfvof 6953 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 × {𝑀}) Fn 𝐾 ∧ ( I ↾ 𝐾) Fn 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑊𝐾)) → (((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊) = (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)))
117113, 115, 20, 80, 116syl22anc 1367 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊) = (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)))
118 fvconst2g 6508 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝐾𝑊𝐾) → ((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) = 𝑀)
1199, 80, 118syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) = 𝑀)
120 fvresi 6480 . . . . . . . . . . 11 (𝑊𝐾 → (( I ↾ 𝐾)‘𝑊) = 𝑊)
12180, 120syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (( I ↾ 𝐾)‘𝑊) = 𝑊)
122119, 121oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)) = (𝑀 × 𝑊))
1234, 11, 49ringrz 18634 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐾) → (𝑀 × 𝑊) = 𝑊)
12439, 9, 123syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 × 𝑊) = 𝑊)
125122, 124eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)) = 𝑊)
126117, 125eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊) = 𝑊)
127111, 126eqtrd 2685 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = 𝑊)
128 fniniseg 6378 . . . . . . 7 ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) Fn 𝐾 → (𝑊 ∈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑊𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = 𝑊)))
12928, 128syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 ∈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑊𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = 𝑊)))
13080, 127, 129mpbir2and 977 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
131130snssd 4372 . . . 4 (𝜑 → {𝑊} ⊆ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
132 hashsng 13197 . . . . . . 7 (𝑊𝐾 → (#‘{𝑊}) = 1)
13380, 132syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘{𝑊}) = 1)
134 ssdomg 8043 . . . . . . . . . 10 (((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V → ({𝑊} ⊆ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) → {𝑊} ≼ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
13534, 131, 134mpsyl 68 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑊} ≼ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
136 snfi 8079 . . . . . . . . . 10 {𝑊} ∈ Fin
137 hashdom 13206 . . . . . . . . . 10 (({𝑊} ∈ Fin ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V) → ((#‘{𝑊}) ≤ (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≼ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
138136, 34, 137mp2an 708 . . . . . . . . 9 ((#‘{𝑊}) ≤ (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≼ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
139135, 138sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘{𝑊}) ≤ (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
140133, 139eqbrtrrd 4709 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ≤ (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
141 hashcl 13185 . . . . . . . . . 10 (((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin → (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℕ0)
14278, 141syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℕ0)
143142nn0red 11390 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℝ)
144 1re 10077 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
145 letri3 10161 . . . . . . . 8 (((#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) = 1 ↔ ((#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))))
146143, 144, 145sylancl 695 . . . . . . 7 (𝜑 → ((#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) = 1 ↔ ((#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))))
14776, 140, 146mpbir2and 977 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) = 1)
148133, 147eqtr4d 2688 . . . . 5 (𝜑 → (#‘{𝑊}) = (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
149 hashen 13175 . . . . . 6 (({𝑊} ∈ Fin ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin) → ((#‘{𝑊}) = (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
150136, 78, 149sylancr 696 . . . . 5 (𝜑 → ((#‘{𝑊}) = (#‘((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
151148, 150mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → {𝑊} ≈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
152 fisseneq 8212 . . . 4 ((((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin ∧ {𝑊} ⊆ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∧ {𝑊} ≈ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) → {𝑊} = ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
15378, 131, 151, 152syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → {𝑊} = ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
15431, 153eleqtrrd 2733 . 2 (𝜑𝑁 ∈ {𝑊})
155 elsni 4227 . 2 (𝑁 ∈ {𝑊} → 𝑁 = 𝑊)
156154, 155syl 17 1 (𝜑𝑁 = 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  {csn 4210   class class class wbr 4685   I cid 5052   × cxp 5141  ccnv 5142  cres 5145  cima 5146   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937  cen 7994  cdom 7995  Fincfn 7997  cr 9973  1c1 9975  cle 10113  0cn0 11330  #chash 13157  Basecbs 15904  .rcmulr 15989  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  0gc0g 16147  s cpws 16154  .gcmg 17587  mulGrpcmgp 18535  Ringcrg 18593  CRingccrg 18594   RingHom crh 18760  AssAlgcasa 19357  algSccascl 19359  var1cv1 19594  Poly1cpl1 19595  coe1cco1 19596  eval1ce1 19727   deg1 cdg1 23859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-srg 18552  df-ring 18595  df-cring 18596  df-rnghom 18763  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-assa 19360  df-asp 19361  df-ascl 19362  df-psr 19404  df-mvr 19405  df-mpl 19406  df-opsr 19408  df-evls 19554  df-evl 19555  df-psr1 19598  df-vr1 19599  df-ply1 19600  df-coe1 19601  df-evl1 19729  df-cnfld 19795  df-mdeg 23860  df-deg1 23861
This theorem is referenced by:  fta1b  23974
  Copyright terms: Public domain W3C validator