MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gastacl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gastacl 17663
Description: The stabilizer subgroup in a group action. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gasta.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gasta.2 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴}
Assertion
Ref Expression
gastacl (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑢,   𝑢,𝐴   𝑢,𝐺   𝑢,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑢)   𝑌(𝑢)

Proof of Theorem gastacl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gasta.2 . . . 4 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴}
2 ssrab2 3666 . . . 4 {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴} ⊆ 𝑋
31, 2eqsstri 3614 . . 3 𝐻𝑋
43a1i 11 . 2 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐻𝑋)
5 gagrp 17646 . . . . . 6 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → 𝐺 ∈ Grp)
65adantr 481 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐺 ∈ Grp)
7 gasta.1 . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
8 eqid 2621 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
97, 8grpidcl 17371 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
106, 9syl 17 . . . 4 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
118gagrpid 17648 . . . 4 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((0g𝐺) 𝐴) = 𝐴)
12 oveq1 6611 . . . . . 6 (𝑢 = (0g𝐺) → (𝑢 𝐴) = ((0g𝐺) 𝐴))
1312eqeq1d 2623 . . . . 5 (𝑢 = (0g𝐺) → ((𝑢 𝐴) = 𝐴 ↔ ((0g𝐺) 𝐴) = 𝐴))
1413, 1elrab2 3348 . . . 4 ((0g𝐺) ∈ 𝐻 ↔ ((0g𝐺) ∈ 𝑋 ∧ ((0g𝐺) 𝐴) = 𝐴))
1510, 11, 14sylanbrc 697 . . 3 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (0g𝐺) ∈ 𝐻)
16 ne0i 3897 . . 3 ((0g𝐺) ∈ 𝐻𝐻 ≠ ∅)
1715, 16syl 17 . 2 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐻 ≠ ∅)
18 simpll 789 . . . . . . . . 9 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌))
1918, 5syl 17 . . . . . . . 8 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → 𝐺 ∈ Grp)
20 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐻) → 𝑥𝐻)
21 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 𝐴) = (𝑥 𝐴))
2221eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑥 → ((𝑢 𝐴) = 𝐴 ↔ (𝑥 𝐴) = 𝐴))
2322, 1elrab2 3348 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐻 ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑥 𝐴) = 𝐴))
2420, 23sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐻) → (𝑥𝑋 ∧ (𝑥 𝐴) = 𝐴))
2524simpld 475 . . . . . . . . 9 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐻) → 𝑥𝑋)
2625adantrr 752 . . . . . . . 8 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → 𝑥𝑋)
27 simprr 795 . . . . . . . . . 10 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → 𝑦𝐻)
28 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑦 → (𝑢 𝐴) = (𝑦 𝐴))
2928eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑦 → ((𝑢 𝐴) = 𝐴 ↔ (𝑦 𝐴) = 𝐴))
3029, 1elrab2 3348 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐻 ↔ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝐴))
3127, 30sylib 208 . . . . . . . . 9 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → (𝑦𝑋 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝐴))
3231simpld 475 . . . . . . . 8 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → 𝑦𝑋)
33 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (+g𝐺) = (+g𝐺)
347, 33grpcl 17351 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
3519, 26, 32, 34syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
36 simplr 791 . . . . . . . . 9 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → 𝐴𝑌)
377, 33gaass 17651 . . . . . . . . 9 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝐴𝑌)) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦) 𝐴) = (𝑥 (𝑦 𝐴)))
3818, 26, 32, 36, 37syl13anc 1325 . . . . . . . 8 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦) 𝐴) = (𝑥 (𝑦 𝐴)))
3931simprd 479 . . . . . . . . 9 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → (𝑦 𝐴) = 𝐴)
4039oveq2d 6620 . . . . . . . 8 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → (𝑥 (𝑦 𝐴)) = (𝑥 𝐴))
4124simprd 479 . . . . . . . . 9 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐻) → (𝑥 𝐴) = 𝐴)
4241adantrr 752 . . . . . . . 8 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → (𝑥 𝐴) = 𝐴)
4338, 40, 423eqtrd 2659 . . . . . . 7 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦) 𝐴) = 𝐴)
44 oveq1 6611 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑥(+g𝐺)𝑦) → (𝑢 𝐴) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦) 𝐴))
4544eqeq1d 2623 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑥(+g𝐺)𝑦) → ((𝑢 𝐴) = 𝐴 ↔ ((𝑥(+g𝐺)𝑦) 𝐴) = 𝐴))
4645, 1elrab2 3348 . . . . . . 7 ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐻 ↔ ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥(+g𝐺)𝑦) 𝐴) = 𝐴))
4735, 43, 46sylanbrc 697 . . . . . 6 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐻)
4847anassrs 679 . . . . 5 (((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐻) ∧ 𝑦𝐻) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐻)
4948ralrimiva 2960 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐻) → ∀𝑦𝐻 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐻)
50 simpll 789 . . . . . . 7 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐻) → ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌))
5150, 5syl 17 . . . . . 6 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)
52 eqid 2621 . . . . . . 7 (invg𝐺) = (invg𝐺)
537, 52grpinvcl 17388 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑋)
5451, 25, 53syl2anc 692 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐻) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑋)
55 simplr 791 . . . . . . 7 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐻) → 𝐴𝑌)
567, 52gacan 17659 . . . . . . 7 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑥𝑋𝐴𝑌𝐴𝑌)) → ((𝑥 𝐴) = 𝐴 ↔ (((invg𝐺)‘𝑥) 𝐴) = 𝐴))
5750, 25, 55, 55, 56syl13anc 1325 . . . . . 6 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑥 𝐴) = 𝐴 ↔ (((invg𝐺)‘𝑥) 𝐴) = 𝐴))
5841, 57mpbid 222 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐻) → (((invg𝐺)‘𝑥) 𝐴) = 𝐴)
59 oveq1 6611 . . . . . . 7 (𝑢 = ((invg𝐺)‘𝑥) → (𝑢 𝐴) = (((invg𝐺)‘𝑥) 𝐴))
6059eqeq1d 2623 . . . . . 6 (𝑢 = ((invg𝐺)‘𝑥) → ((𝑢 𝐴) = 𝐴 ↔ (((invg𝐺)‘𝑥) 𝐴) = 𝐴))
6160, 1elrab2 3348 . . . . 5 (((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐻 ↔ (((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝑥) 𝐴) = 𝐴))
6254, 58, 61sylanbrc 697 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐻) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐻)
6349, 62jca 554 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐻) → (∀𝑦𝐻 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐻))
6463ralrimiva 2960 . 2 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ∀𝑥𝐻 (∀𝑦𝐻 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐻))
657, 33, 52issubg2 17530 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐻𝑋𝐻 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐻 (∀𝑦𝐻 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐻))))
666, 65syl 17 . 2 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐻𝑋𝐻 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐻 (∀𝑦𝐻 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐻))))
674, 17, 64, 66mpbir3and 1243 1 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  {crab 2911  wss 3555  c0 3891  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  0gc0g 16021  Grpcgrp 17343  invgcminusg 17344  SubGrpcsubg 17509   GrpAct cga 17643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-subg 17512  df-ga 17644
This theorem is referenced by:  gastacos  17664  orbstafun  17665  orbstaval  17666  orbsta  17667  orbsta2  17668  sylow1lem5  17938
  Copyright terms: Public domain W3C validator