MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumxp 18307
Description: Write a group sum over a cartesian product as a double sum. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumxp.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumxp.z 0 = (0g𝐺)
gsumxp.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumxp.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumxp.r (𝜑𝐶𝑊)
gsumxp.f (𝜑𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
gsumxp.w (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumxp (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘, 0   𝑗,𝐺,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsumxp
StepHypRef Expression
1 gsumxp.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumxp.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsumxp.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsumxp.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
5 gsumxp.r . . . 4 (𝜑𝐶𝑊)
6 xpexg 6920 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐶𝑊) → (𝐴 × 𝐶) ∈ V)
74, 5, 6syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝐴 × 𝐶) ∈ V)
8 relxp 5193 . . . 4 Rel (𝐴 × 𝐶)
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → Rel (𝐴 × 𝐶))
10 dmxpss 5529 . . . 4 dom (𝐴 × 𝐶) ⊆ 𝐴
1110a1i 11 . . 3 (𝜑 → dom (𝐴 × 𝐶) ⊆ 𝐴)
12 gsumxp.f . . 3 (𝜑𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
13 gsumxp.w . . 3 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
141, 2, 3, 7, 9, 4, 11, 12, 13gsum2d 18303 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
15 df-ima 5092 . . . . . . 7 ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) = ran ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗})
16 df-res 5091 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = ((𝐴 × 𝐶) ∩ ({𝑗} × V))
17 inxp 5219 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 × 𝐶) ∩ ({𝑗} × V)) = ((𝐴 ∩ {𝑗}) × (𝐶 ∩ V))
1816, 17eqtri 2643 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = ((𝐴 ∩ {𝑗}) × (𝐶 ∩ V))
19 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗𝐴)
2019snssd 4314 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝐴) → {𝑗} ⊆ 𝐴)
21 sseqin2 3800 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑗} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ {𝑗}) = {𝑗})
2220, 21sylib 208 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐴 ∩ {𝑗}) = {𝑗})
23 inv1 3947 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∩ V) = 𝐶
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐶 ∩ V) = 𝐶)
2522, 24xpeq12d 5105 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → ((𝐴 ∩ {𝑗}) × (𝐶 ∩ V)) = ({𝑗} × 𝐶))
2618, 25syl5eq 2667 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = ({𝑗} × 𝐶))
2726rneqd 5318 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → ran ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = ran ({𝑗} × 𝐶))
28 vex 3192 . . . . . . . . . 10 𝑗 ∈ V
2928snnz 4284 . . . . . . . . 9 {𝑗} ≠ ∅
30 rnxp 5528 . . . . . . . . 9 ({𝑗} ≠ ∅ → ran ({𝑗} × 𝐶) = 𝐶)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran ({𝑗} × 𝐶) = 𝐶
3227, 31syl6eq 2671 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → ran ((𝐴 × 𝐶) ↾ {𝑗}) = 𝐶)
3315, 32syl5eq 2667 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) = 𝐶)
3433mpteq1d 4703 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)) = (𝑘𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘)))
3534oveq2d 6626 . . . 4 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))
3635mpteq2dva 4709 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) = (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘)))))
3736oveq2d 6626 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ((𝐴 × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
3814, 37eqtrd 2655 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3189  cin 3558  wss 3559  c0 3896  {csn 4153   class class class wbr 4618  cmpt 4678   × cxp 5077  dom cdm 5079  ran crn 5080  cres 5081  cima 5082  Rel wrel 5084  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610   finSupp cfsupp 8227  Basecbs 15792  0gc0g 16032   Σg cgsu 16033  CMndccmn 18125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-hash 13066  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-mulg 17473  df-cntz 17682  df-cmn 18127
This theorem is referenced by:  tsmsxplem1  21879  tsmsxplem2  21880
  Copyright terms: Public domain W3C validator