Theorem hgmaprnlem5N 39068

Description: Lemma for hgmaprnN 39069. Eliminate 𝑡. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmaprnlem1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmaprnlem1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprnlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hgmaprnlem1.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmaprnlem1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmaprnlem1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hgmaprnlem1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hgmaprnlem1.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprnlem1.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hgmaprnlem1.p	⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hgmaprnlem1.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
hgmaprnlem1.e	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
hgmaprnlem1.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
hgmaprnlem1.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprnlem1.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprnlem1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hgmaprnlem1.z	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
hgmaprnlem5N	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ ran 𝐺)

Proof of Theorem hgmaprnlem5N

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmaprnlem1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hgmaprnlem1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hgmaprnlem1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hgmaprnlem1.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
5		hgmaprnlem1.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 2, 3, 4, 5	dvh1dim 38610	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝑉 𝑡 ≠ 0 )
7		eldifsn 4705	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑡 ≠ 0 ))
8		hgmaprnlem1.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
9		hgmaprnlem1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		hgmaprnlem1.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
11		hgmaprnlem1.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
12		hgmaprnlem1.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
13		hgmaprnlem1.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
14		hgmaprnlem1.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
15		hgmaprnlem1.e	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
16		hgmaprnlem1.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
17		hgmaprnlem1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
18		hgmaprnlem1.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
19	5	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
20		hgmaprnlem1.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ 𝐴)
21	20	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑧 ∈ 𝐴)
22		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑡 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
23	1, 2, 3, 8, 9, 10, 4, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 22	hgmaprnlem4N 39067	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑧 ∈ ran 𝐺)
24	7, 23	sylan2br 596	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑡 ≠ 0 )) → 𝑧 ∈ ran 𝐺)
25	6, 24	rexlimddv 3291	1 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ ran 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   ∖ cdif 3921  {csn 4553  ran crn 5542  ‘cfv 6341  Basecbs 16466  Scalarcsca 16551   ·_𝑠 cvsca 16552  0_gc0g 16696  HLchlt 36518  LHypclh 37152  DVecHcdvh 38246  LCDualclcd 38754  HDMapchdma 38960  HGMapchg 39051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600  ax-riotaBAD 36121

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-ot 4562  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-of 7395  df-om 7567  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7878  df-undef 7925  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-nn 11625  df-2 11687  df-3 11688  df-4 11689  df-5 11690  df-6 11691  df-n0 11885  df-z 11969  df-uz 12231  df-fz 12883  df-struct 16468  df-ndx 16469  df-slot 16470  df-base 16472  df-sets 16473  df-ress 16474  df-plusg 16561  df-mulr 16562  df-sca 16564  df-vsca 16565  df-0g 16698  df-mre 16840  df-mrc 16841  df-acs 16843  df-proset 17521  df-poset 17539  df-plt 17551  df-lub 17567  df-glb 17568  df-join 17569  df-meet 17570  df-p0 17632  df-p1 17633  df-lat 17639  df-clat 17701  df-mgm 17835  df-sgrp 17884  df-mnd 17895  df-submnd 17940  df-grp 18089  df-minusg 18090  df-sbg 18091  df-subg 18259  df-cntz 18430  df-oppg 18457  df-lsm 18744  df-cmn 18891  df-abl 18892  df-mgp 19223  df-ur 19235  df-ring 19282  df-oppr 19356  df-dvdsr 19374  df-unit 19375  df-invr 19405  df-dvr 19416  df-drng 19487  df-lmod 19619  df-lss 19687  df-lsp 19727  df-lvec 19858  df-lsatoms 36144  df-lshyp 36145  df-lcv 36187  df-lfl 36226  df-lkr 36254  df-ldual 36292  df-oposet 36344  df-ol 36346  df-oml 36347  df-covers 36434  df-ats 36435  df-atl 36466  df-cvlat 36490  df-hlat 36519  df-llines 36666  df-lplanes 36667  df-lvols 36668  df-lines 36669  df-psubsp 36671  df-pmap 36672  df-padd 36964  df-lhyp 37156  df-laut 37157  df-ldil 37272  df-ltrn 37273  df-trl 37327  df-tgrp 37911  df-tendo 37923  df-edring 37925  df-dveca 38171  df-disoa 38197  df-dvech 38247  df-dib 38307  df-dic 38341  df-dih 38397  df-doch 38516  df-djh 38563  df-lcdual 38755  df-mapd 38793  df-hvmap 38925  df-hdmap1 38961  df-hdmap 38962  df-hgmap 39052

This theorem is referenced by:  hgmaprnN  39069