MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipsubdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipsubdi 19916
Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h , = (·𝑖𝑊)
phllmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipsubdir.m = (-g𝑊)
ipsubdir.s 𝑆 = (-g𝐹)
Assertion
Ref Expression
ipsubdi ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , (𝐵 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵)𝑆(𝐴 , 𝐶)))

Proof of Theorem ipsubdi
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ PreHil)
2 simpr1 1065 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐴𝑉)
3 phllmod 19903 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
43adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
5 lmodgrp 18798 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ Grp)
7 simpr2 1066 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐵𝑉)
8 simpr3 1067 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐶𝑉)
9 phllmhm.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
10 ipsubdir.m . . . . . . 7 = (-g𝑊)
119, 10grpsubcl 17423 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐵 𝐶) ∈ 𝑉)
126, 7, 8, 11syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐵 𝐶) ∈ 𝑉)
13 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
14 phllmhm.h . . . . . 6 , = (·𝑖𝑊)
15 eqid 2621 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
16 eqid 2621 . . . . . 6 (+g𝐹) = (+g𝐹)
1713, 14, 9, 15, 16ipdi 19913 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉 ∧ (𝐵 𝐶) ∈ 𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , ((𝐵 𝐶)(+g𝑊)𝐶)) = ((𝐴 , (𝐵 𝐶))(+g𝐹)(𝐴 , 𝐶)))
181, 2, 12, 8, 17syl13anc 1325 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , ((𝐵 𝐶)(+g𝑊)𝐶)) = ((𝐴 , (𝐵 𝐶))(+g𝐹)(𝐴 , 𝐶)))
199, 15, 10grpnpcan 17435 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑉𝐶𝑉) → ((𝐵 𝐶)(+g𝑊)𝐶) = 𝐵)
206, 7, 8, 19syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐵 𝐶)(+g𝑊)𝐶) = 𝐵)
2120oveq2d 6626 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , ((𝐵 𝐶)(+g𝑊)𝐶)) = (𝐴 , 𝐵))
2218, 21eqtr3d 2657 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 , (𝐵 𝐶))(+g𝐹)(𝐴 , 𝐶)) = (𝐴 , 𝐵))
2313lmodfgrp 18800 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
244, 23syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐹 ∈ Grp)
25 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
2613, 14, 9, 25ipcl 19906 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘𝐹))
271, 2, 7, 26syl3anc 1323 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘𝐹))
2813, 14, 9, 25ipcl 19906 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
291, 2, 8, 28syl3anc 1323 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
3013, 14, 9, 25ipcl 19906 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉 ∧ (𝐵 𝐶) ∈ 𝑉) → (𝐴 , (𝐵 𝐶)) ∈ (Base‘𝐹))
311, 2, 12, 30syl3anc 1323 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , (𝐵 𝐶)) ∈ (Base‘𝐹))
32 ipsubdir.s . . . . 5 𝑆 = (-g𝐹)
3325, 16, 32grpsubadd 17431 . . . 4 ((𝐹 ∈ Grp ∧ ((𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐴 , (𝐵 𝐶)) ∈ (Base‘𝐹))) → (((𝐴 , 𝐵)𝑆(𝐴 , 𝐶)) = (𝐴 , (𝐵 𝐶)) ↔ ((𝐴 , (𝐵 𝐶))(+g𝐹)(𝐴 , 𝐶)) = (𝐴 , 𝐵)))
3424, 27, 29, 31, 33syl13anc 1325 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (((𝐴 , 𝐵)𝑆(𝐴 , 𝐶)) = (𝐴 , (𝐵 𝐶)) ↔ ((𝐴 , (𝐵 𝐶))(+g𝐹)(𝐴 , 𝐶)) = (𝐴 , 𝐵)))
3522, 34mpbird 247 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 , 𝐵)𝑆(𝐴 , 𝐶)) = (𝐴 , (𝐵 𝐶)))
3635eqcomd 2627 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , (𝐵 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵)𝑆(𝐴 , 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5852  (class class class)co 6610  Basecbs 15788  +gcplusg 15869  Scalarcsca 15872  ·𝑖cip 15874  Grpcgrp 17350  -gcsg 17352  LModclmod 18791  PreHilcphl 19897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-tpos 7304  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-0g 16030  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-mhm 17263  df-grp 17353  df-minusg 17354  df-sbg 17355  df-ghm 17586  df-mgp 18418  df-ur 18430  df-ring 18477  df-oppr 18551  df-rnghom 18643  df-staf 18773  df-srng 18774  df-lmod 18793  df-lmhm 18950  df-lvec 19031  df-sra 19100  df-rgmod 19101  df-phl 19899
This theorem is referenced by:  ip2subdi  19917  ip2eq  19926  cphsubdi  22928
  Copyright terms: Public domain W3C validator