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Theorem ismeannd 40007
Description: Sufficient condition to prove that 𝑀 is a measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ismeannd.sal (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
ismeannd.mf (𝜑𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
ismeannd.m0 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
ismeannd.iun ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒𝑛)))))
Assertion
Ref Expression
ismeannd (𝜑𝑀 ∈ Meas)
Distinct variable groups:   𝑒,𝑀,𝑛   𝜑,𝑒,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑒,𝑛)

Proof of Theorem ismeannd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismeannd.mf . . . . 5 (𝜑𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
2 fdm 6010 . . . . . . 7 (𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞) → dom 𝑀 = 𝑆)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑀 = 𝑆)
43feq2d 5990 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ↔ 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞)))
51, 4mpbird 247 . . . 4 (𝜑𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞))
6 ismeannd.sal . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
73, 6eqeltrd 2698 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg)
85, 7jca 554 . . 3 (𝜑 → (𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg))
9 ismeannd.m0 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
10 unieq 4412 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
11 uni0 4433 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ = ∅
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → ∅ = ∅)
1310, 12eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
1413fveq2d 6154 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → (𝑀 𝑥) = (𝑀‘∅))
1514, 9sylan9eqr 2677 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = ∅) → (𝑀 𝑥) = 0)
16 reseq2 5353 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → (𝑀𝑥) = (𝑀 ↾ ∅))
17 res0 5362 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ↾ ∅) = ∅
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → (𝑀 ↾ ∅) = ∅)
1916, 18eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → (𝑀𝑥) = ∅)
2019fveq2d 6154 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (Σ^‘(𝑀𝑥)) = (Σ^‘∅))
2120adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = ∅) → (Σ^‘(𝑀𝑥)) = (Σ^‘∅))
22 sge00 39916 . . . . . . . . . . 11 ^‘∅) = 0
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = ∅) → (Σ^‘∅) = 0)
2421, 23eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = ∅) → (Σ^‘(𝑀𝑥)) = 0)
2515, 24eqtr4d 2658 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = ∅) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
2625adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
2726adantlr 750 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
28 simpll 789 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → (𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀))
29 simplrr 800 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → Disj 𝑦𝑥 𝑦)
3028, 29jca 554 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦))
31 simplrl 799 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑥 ≼ ω)
32 neqne 2798 . . . . . . . . 9 𝑥 = ∅ → 𝑥 ≠ ∅)
3332adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑥 ≠ ∅)
34 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑤𝑦 = 𝑤)
3534cbvdisjv 4596 . . . . . . . . . . 11 (Disj 𝑦𝑥 𝑦Disj 𝑤𝑥 𝑤)
3635biimpi 206 . . . . . . . . . 10 (Disj 𝑦𝑥 𝑦Disj 𝑤𝑥 𝑤)
3736adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → Disj 𝑤𝑥 𝑤)
3837ad2antlr 762 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → Disj 𝑤𝑥 𝑤)
3931, 33, 38nnfoctbdj 39996 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ∃𝑒(𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)))
40 simpl 473 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))) → ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦))
41 simprl 793 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))) → 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}))
42 simprr 795 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
43 founiiun0 38869 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) → 𝑥 = 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
4443fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) → (𝑀 𝑥) = (𝑀 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)))
4544ad2antlr 762 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑀 𝑥) = (𝑀 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)))
46 simplll 797 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → 𝜑)
47 fof 6074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) → 𝑒:ℕ⟶(𝑥 ∪ {∅}))
4847adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) → 𝑒:ℕ⟶(𝑥 ∪ {∅}))
49 elpwi 4142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀𝑥 ⊆ dom 𝑀)
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑥 ⊆ dom 𝑀)
513adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → dom 𝑀 = 𝑆)
5250, 51sseqtrd 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑥𝑆)
53 0sal 39863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑆 ∈ SAlg → ∅ ∈ 𝑆)
546, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
55 snssi 4310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∅ ∈ 𝑆 → {∅} ⊆ 𝑆)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → {∅} ⊆ 𝑆)
5756adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → {∅} ⊆ 𝑆)
5852, 57unssd 3769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (𝑥 ∪ {∅}) ⊆ 𝑆)
5958adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) → (𝑥 ∪ {∅}) ⊆ 𝑆)
6048, 59fssd 6016 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
6160adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
62 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
63 ismeannd.iun . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒𝑛)))))
6446, 61, 62, 63syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒𝑛)))))
6564adantllr 754 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒𝑛)))))
661feqmptd 6208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑀 = (𝑦𝑆 ↦ (𝑀𝑦)))
6766reseq1d 5357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑀𝑥) = ((𝑦𝑆 ↦ (𝑀𝑦)) ↾ 𝑥))
6867adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (𝑀𝑥) = ((𝑦𝑆 ↦ (𝑀𝑦)) ↾ 𝑥))
6968adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑀𝑥) = ((𝑦𝑆 ↦ (𝑀𝑦)) ↾ 𝑥))
7052resmptd 5413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → ((𝑦𝑆 ↦ (𝑀𝑦)) ↾ 𝑥) = (𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦)))
7170adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → ((𝑦𝑆 ↦ (𝑀𝑦)) ↾ 𝑥) = (𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦)))
72 snssi 4310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∅ ∈ 𝑥 → {∅} ⊆ 𝑥)
73 ssequn2 3766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ({∅} ⊆ 𝑥 ↔ (𝑥 ∪ {∅}) = 𝑥)
7472, 73sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∅ ∈ 𝑥 → (𝑥 ∪ {∅}) = 𝑥)
7574eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∅ ∈ 𝑥𝑥 = (𝑥 ∪ {∅}))
7675mpteq1d 4700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∅ ∈ 𝑥 → (𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦)))
7776adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦)))
7869, 71, 773eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑀𝑥) = (𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦)))
7978fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (Σ^‘(𝑀𝑥)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦))))
80 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥)
81 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀)
82 p0ex 4815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {∅} ∈ V
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) → {∅} ∈ V)
84 disjsn 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∩ {∅}) = ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ 𝑥)
8584biimpri 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ ∅ ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ {∅}) = ∅)
8685adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑥 ∩ {∅}) = ∅)
871ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
8852sselda 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑆)
8987, 88ffvelrnd 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑀𝑦) ∈ (0[,]+∞))
9089adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑀𝑦) ∈ (0[,]+∞))
91 elsni 4167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ {∅} → 𝑦 = ∅)
9291fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ {∅} → (𝑀𝑦) = (𝑀‘∅))
9392adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ {∅}) → (𝑀𝑦) = (𝑀‘∅))
941, 54ffvelrnd 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑀‘∅) ∈ (0[,]+∞))
9594adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ {∅}) → (𝑀‘∅) ∈ (0[,]+∞))
9693, 95eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ {∅}) → (𝑀𝑦) ∈ (0[,]+∞))
9796ad4ant14 1290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ {∅}) → (𝑀𝑦) ∈ (0[,]+∞))
9880, 81, 83, 86, 90, 97sge0splitmpt 39951 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) → (Σ^‘(𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦))) = ((Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) +𝑒^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑀𝑦)))))
99 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = ∅ → (𝑀𝑦) = (𝑀‘∅))
10099adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 = ∅) → (𝑀𝑦) = (𝑀‘∅))
1019adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
102100, 101eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 = ∅) → (𝑀𝑦) = 0)
10391, 102sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ {∅}) → (𝑀𝑦) = 0)
104103mpteq2dva 4706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑀𝑦)) = (𝑦 ∈ {∅} ↦ 0))
105104fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (Σ^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑀𝑦))) = (Σ^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ 0)))
106 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦𝜑
10782a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → {∅} ∈ V)
108106, 107sge0z 39915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (Σ^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ 0)) = 0)
109105, 108eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (Σ^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑀𝑦))) = 0)
110109oveq2d 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) +𝑒^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑀𝑦)))) = ((Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) +𝑒 0))
111110ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) → ((Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) +𝑒^‘(𝑦 ∈ {∅} ↦ (𝑀𝑦)))) = ((Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) +𝑒 0))
112 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀)
11368, 70eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (𝑀𝑥) = (𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦)))
1141adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
115114, 52fssresd 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (𝑀𝑥):𝑥⟶(0[,]+∞))
116113, 115feq1dd 38839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦)):𝑥⟶(0[,]+∞))
117112, 116sge0xrcl 39925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) ∈ ℝ*)
118117xaddid1d 12020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → ((Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) +𝑒 0) = (Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))))
119113fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (Σ^‘(𝑀𝑥)) = (Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))))
120119eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
121118, 120eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → ((Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) +𝑒 0) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
122121adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) → ((Σ^‘(𝑦𝑥 ↦ (𝑀𝑦))) +𝑒 0) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
12398, 111, 1223eqtrrd 2660 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑥) → (Σ^‘(𝑀𝑥)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦))))
12479, 123pm2.61dan 831 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → (Σ^‘(𝑀𝑥)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦))))
125124ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (Σ^‘(𝑀𝑥)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦))))
126 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦(((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
127 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}))
128 nfdisj1 4598 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)
129127, 128nfan 1825 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛(((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
130 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑒𝑛) → (𝑀𝑦) = (𝑀‘(𝑒𝑛)))
131 nnex 10973 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℕ ∈ V
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → ℕ ∈ V)
133 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}))
134 eqidd 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑒𝑛) = (𝑒𝑛))
1351ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅})) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
13658sselda 3584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅})) → 𝑦𝑆)
137135, 136ffvelrnd 6318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅})) → (𝑀𝑦) ∈ (0[,]+∞))
138137ad4ant14 1290 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅})) → (𝑀𝑦) ∈ (0[,]+∞))
13946, 102sylan 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) ∧ 𝑦 = ∅) → (𝑀𝑦) = 0)
140126, 129, 130, 132, 133, 62, 134, 138, 139sge0fodjrn 39957 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (Σ^‘(𝑦 ∈ (𝑥 ∪ {∅}) ↦ (𝑀𝑦))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒𝑛)))))
141125, 140eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒𝑛)))) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
142141adantllr 754 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝑒𝑛)))) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
14345, 65, 1423eqtrd 2659 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ 𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅})) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
14440, 41, 42, 143syl21anc 1322 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ∧ (𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
145144ex 450 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → ((𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥))))
146145exlimdv 1858 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (∃𝑒(𝑒:ℕ–onto→(𝑥 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥))))
14730, 39, 146sylc 65 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
14827, 147pm2.61dan 831 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))
149148ex 450 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥))))
150149ralrimiva 2960 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥))))
1518, 9, 150jca31 556 . 2 (𝜑 → (((𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg) ∧ (𝑀‘∅) = 0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))))
152 ismea 39991 . 2 (𝑀 ∈ Meas ↔ (((𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg) ∧ (𝑀‘∅) = 0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (𝑀 𝑥) = (Σ^‘(𝑀𝑥)))))
153151, 152sylibr 224 1 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  Vcvv 3186  cun 3554  cin 3555  wss 3556  c0 3893  𝒫 cpw 4132  {csn 4150   cuni 4404   ciun 4487  Disj wdisj 4585   class class class wbr 4615  cmpt 4675  dom cdm 5076  cres 5078  wf 5845  ontowfo 5847  cfv 5849  (class class class)co 6607  ωcom 7015  cdom 7900  0cc0 9883  +∞cpnf 10018  cn 10967   +𝑒 cxad 11891  [,]cicc 12123  SAlgcsalg 39851  Σ^csumge0 39902  Meascmea 39989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-disj 4586  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-sup 8295  df-oi 8362  df-card 8712  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-rp 11780  df-xadd 11894  df-ico 12126  df-icc 12127  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-seq 12745  df-exp 12804  df-hash 13061  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-clim 14156  df-sum 14354  df-salg 39852  df-sumge0 39903  df-mea 39990
This theorem is referenced by:  volmea  40014  caratheodory  40065
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