MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isummulc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isummulc2 14421
Description: An infinite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumcl.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumcl.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumcl.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumcl.4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumcl.5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
summulc.6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
isummulc2 (𝜑 → (𝐵 · Σ𝑘𝑍 𝐴) = Σ𝑘𝑍 (𝐵 · 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isummulc2
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumfc 14373 . 2 Σ𝑚𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = Σ𝑘𝑍 (𝐵 · 𝐴)
2 isumcl.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 isumcl.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 eqidd 2622 . . 3 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚))
5 summulc.6 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
65adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
7 isumcl.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
86, 7mulcld 10004 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ)
9 eqid 2621 . . . . 5 (𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))
108, 9fmptd 6340 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴)):𝑍⟶ℂ)
1110ffvelrnda 6315 . . 3 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) ∈ ℂ)
12 isumcl.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
13 isumcl.5 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
142, 3, 12, 7, 13isumclim2 14417 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘𝑍 𝐴)
1512, 7eqeltrd 2698 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1615ralrimiva 2960 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
17 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
1817eleq1d 2683 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑚) ∈ ℂ))
1918rspccva 3294 . . . . 5 ((∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
2016, 19sylan 488 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
21 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
22 ovex 6632 . . . . . . . 8 (𝐵 · 𝐴) ∈ V
239fvmpt2 6248 . . . . . . . 8 ((𝑘𝑍 ∧ (𝐵 · 𝐴) ∈ V) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · 𝐴))
2421, 22, 23sylancl 693 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · 𝐴))
2512oveq2d 6620 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐵 · (𝐹𝑘)) = (𝐵 · 𝐴))
2624, 25eqtr4d 2658 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · (𝐹𝑘)))
2726ralrimiva 2960 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · (𝐹𝑘)))
28 nffvmpt1 6156 . . . . . . 7 𝑘((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚)
2928nfeq1 2774 . . . . . 6 𝑘((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · (𝐹𝑚))
30 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚))
3117oveq2d 6620 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 · (𝐹𝑘)) = (𝐵 · (𝐹𝑚)))
3230, 31eqeq12d 2636 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · (𝐹𝑘)) ↔ ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · (𝐹𝑚))))
3329, 32rspc 3289 . . . . 5 (𝑚𝑍 → (∀𝑘𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑘) = (𝐵 · (𝐹𝑘)) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · (𝐹𝑚))))
3427, 33mpan9 486 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · (𝐹𝑚)))
352, 3, 5, 14, 20, 34isermulc2 14322 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))) ⇝ (𝐵 · Σ𝑘𝑍 𝐴))
362, 3, 4, 11, 35isumclim 14416 . 2 (𝜑 → Σ𝑚𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐵 · 𝐴))‘𝑚) = (𝐵 · Σ𝑘𝑍 𝐴))
371, 36syl5reqr 2670 1 (𝜑 → (𝐵 · Σ𝑘𝑍 𝐴) = Σ𝑘𝑍 (𝐵 · 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3186  cmpt 4673  dom cdm 5074  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878   + caddc 9883   · cmul 9885  cz 11321  cuz 11631  seqcseq 12741  cli 14149  Σcsu 14350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351
This theorem is referenced by:  isummulc1  14422  trirecip  14520  geoisum1c  14536  binomcxplemnotnn0  38037  isumneg  39238
  Copyright terms: Public domain W3C validator