Theorem binomcxplemnotnn0 38872

Description: Lemma for binomcxp 38873. When 𝐶 is not a nonnegative integer, the generalized sum in binomcxplemnn0 38865 —which we will call 𝑃 —is a convergent power series: its base 𝑏 is always of smaller absolute value than the radius of convergence.

pserdv2 24229 gives the derivative of 𝑃, which by dvradcnv 24220 also converges in that radius. When 𝐴 is fixed at one, (𝐴 + 𝑏) times that derivative equals (𝐶 · 𝑃) and fraction (𝑃 / ((𝐴 + 𝑏)↑_𝑐𝐶)) is always defined with derivative zero, so the fraction is a constant—specifically one, because ((1 + 0)↑_𝑐𝐶) = 1. Thus ((1 + 𝑏)↑_𝑐𝐶) = (𝑃‘𝑏).

Finally, let 𝑏 be (𝐵 / 𝐴), and multiply both the binomial ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑_𝑐𝐶) and the sum (𝑃‘(𝐵 / 𝐴)) by (𝐴↑_𝑐𝐶) to get the result. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f	⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s	⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
binomcxplem.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
binomcxplem.e	⊢ 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
binomcxplem.d	⊢ 𝐷 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
binomcxplem.p	⊢ 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemnotnn0	⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑏,𝑟,𝐴   𝐵,𝑏,𝑘,𝑟   𝑗,𝑏,𝜑,𝑘   𝐶,𝑏,𝑗,𝑘   𝐹,𝑏,𝑘,𝑟   𝑆,𝑘,𝑟   𝐷,𝑗,𝑘   𝑗,𝐸,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑟)   𝐷(𝑟,𝑏)   𝑃(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑆(𝑗,𝑏)   𝐸(𝑟,𝑏)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem binomcxplemnotnn0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxplem.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))
2		binomcxplem.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
3		nfcv 2793	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏◡abs
4		nfcv 2793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏0
5		nfcv 2793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏[,)
6		binomcxplem.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
7		nfcv 2793	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑏 +
8		binomcxplem.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
9		nfmpt1 4780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
10	8, 9	nfcxfr 2791	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑏𝑆
11		nfcv 2793	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑏𝑟
12	10, 11	nffv 6236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑆‘𝑟)
13	4, 7, 12	nfseq 12851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑏seq0( + , (𝑆‘𝑟))
14	13	nfel1 2808	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑏seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝
15		nfcv 2793	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑏ℝ
16	14, 15	nfrab 3153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑏{𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }
17		nfcv 2793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑏ℝ*
18		nfcv 2793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑏 <
19	16, 17, 18	nfsup 8398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
20	6, 19	nfcxfr 2791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏𝑅
21	4, 5, 20	nfov 6716	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏(0[,)𝑅)
22	3, 21	nfima 5509	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏(◡abs “ (0[,)𝑅))
23	2, 22	nfcxfr 2791	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏𝐷
24		nfcv 2793	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
25		nfcv 2793	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)
26		nfcv 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏ℕ0
27		nfcv 2793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏𝑥
28	10, 27	nffv 6236	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑆‘𝑥)
29		nfcv 2793	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏𝑘
30	28, 29	nffv 6236	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏((𝑆‘𝑥)‘𝑘)
31	26, 30	nfsum 14465	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘)
32		simpl 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 𝑥)
33	32	fveq2d 6233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑏) = (𝑆‘𝑥))
34	33	fveq1d 6231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝑆‘𝑥)‘𝑘))
35	34	sumeq2dv 14477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘))
36	23, 24, 25, 31, 35	cbvmptf 4781	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘))
37	1, 36	eqtri 2673	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘))
38	37	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘)))
39		simplr 807	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑥 = (𝐵 / 𝐴))
40	39	fveq2d 6233	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘(𝐵 / 𝐴)))
41	40	fveq1d 6231	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) = ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘))
42	41	sumeq2dv 14477	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘))
43		binomcxp.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
44	43	recnd 10106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
45	44	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
46		binomcxp.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
47	46	rpcnd 11912	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
48	47	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
49		0red 10079	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
50	45	abscld 14219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
51	48	abscld 14219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
52	45	absge0d 14227	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
53		binomcxp.lt	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
54	53	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
55	49, 50, 51, 52, 54	lelttrd 10233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 < (abs‘𝐴))
56	55	gt0ne0d 10630	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
57	48	abs00ad 14074	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
58	57	necon3bid 2867	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
59	56, 58	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≠ 0)
60	45, 48, 59	divcld 10839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
61	60	abscld 14219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
62	60	absge0d 14227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘(𝐵 / 𝐴)))
63	51	recnd 10106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
64	63	mulid1d 10095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴) · 1) = (abs‘𝐴))
65	54, 64	breqtrrd 4713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐵) < ((abs‘𝐴) · 1))
66		1red 10093	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
67	51, 55	elrpd 11907	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
68	50, 66, 67	ltdivmuld 11961	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)) < 1 ↔ (abs‘𝐵) < ((abs‘𝐴) · 1)))
69	65, 68	mpbird 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)) < 1)
70	45, 48, 59	absdivd 14238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) = ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)))
71		binomcxp.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
72		binomcxplem.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
73	46, 43, 53, 71, 72, 8, 6	binomcxplemradcnv 38868	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = 1)
74	69, 70, 73	3brtr4d 4717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) < 𝑅)
75		0re 10078	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
76		ssrab2 3720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
77		ressxr 10121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
78	76, 77	sstri 3645	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
79		supxrcl 12183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
80	78, 79	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
81	6, 80	eqeltri 2726	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ∈ ℝ*
82		elico2 12275	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) < 𝑅)))
83	75, 81, 82	mp2an 708	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) < 𝑅))
84	61, 62, 74, 83	syl3anbrc 1265	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅))
85	2	eleq2i 2722	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (𝐵 / 𝐴) ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)))
86		absf 14121	. . . . . . . 8 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
87		ffn 6083	. . . . . . . 8 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
88		elpreima 6377	. . . . . . . 8 ⊢ (abs Fn ℂ → ((𝐵 / 𝐴) ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅))))
89	86, 87, 88	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅)))
90	85, 89	bitri 264	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅)))
91	60, 84, 90	sylanbrc 699	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷)
92		sumex 14462	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘) ∈ V
93	92	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘) ∈ V)
94	38, 42, 91, 93	fvmptd 6327	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃‘(𝐵 / 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘))
95		eqid 2651	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
96	95	cnbl0 22624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → (◡abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
97	81, 96	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
98	2, 97	eqtri 2673	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
99		0cnd 10071	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℂ)
100	81	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ ℝ*)
101		mulcl 10058	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
102	101	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
103		nfv 1883	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑏(𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0)
104	23	nfcri 2787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑥 ∈ 𝐷
105	103, 104	nfan 1868	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑏((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷)
106	31	nfel1 2808	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑏Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ
107	105, 106	nfim 1865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑏(((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ)
108		eleq1 2718	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↔ 𝑥 ∈ 𝐷))
109	108	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷)))
110	35	eleq1d 2715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ))
111	109, 110	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ)))
112		nn0uz 11760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
113		0zd 11427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 0 ∈ ℤ)
114		eqidd 2652	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))
115		cnvimass 5520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
116	2, 115	eqsstri 3668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐷 ⊆ dom abs
117	86	fdmi 6090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ dom abs = ℂ
118	116, 117	sseqtri 3670	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
119	118	sseli 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → 𝑏 ∈ ℂ)
120	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))))
121		nn0ex 11336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ℕ0 ∈ V
122	121	mptex 6527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) ∈ V
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) ∈ V)
124	120, 123	fvmpt2d 6332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑆‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
125		ovexd 6720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) ∈ V)
126	124, 125	fvmpt2d 6332	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
127	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
128		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
129	128	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑘))
130		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
131		ovexd 6720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ V)
132	127, 129, 130, 131	fvmptd 6327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
133	132	oveq1d 6705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
134	133	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
135	126, 134	eqtrd 2685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
136	119, 135	sylanl2 684	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
137	71	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
138		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
139	137, 138	bcccl 38855	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
140	119	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℂ)
141	140, 138	expcld 13048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑𝑘) ∈ ℂ)
142	139, 141	mulcld 10098	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ)
143	136, 142	eqeltrd 2730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ)
144	143	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ)
145		eleq1 2718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ 𝑏 ∈ 𝐷))
146	145	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ↔ (𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)))
147		fveq2 6229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝑏))
148	147	seqeq3d 12849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → seq0( + , (𝑆‘𝑥)) = seq0( + , (𝑆‘𝑏)))
149	148	eleq1d 2715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (seq0( + , (𝑆‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ))
150		fveq2 6229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝐸‘𝑥) = (𝐸‘𝑏))
151	150	seqeq3d 12849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → seq1( + , (𝐸‘𝑥)) = seq1( + , (𝐸‘𝑏)))
152	151	eleq1d 2715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (seq1( + , (𝐸‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ))
153	149, 152	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → ((seq0( + , (𝑆‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ) ↔ (seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ )))
154	146, 153	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑥)) ∈ dom ⇝ )) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ))))
155		binomcxplem.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
156	46, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 155, 2	binomcxplemcvg 38870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
157	154, 156	chvarv 2299	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ))
158	157	simpld 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ )
159	158	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ )
160	112, 113, 114, 144, 159	isumcl 14536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ)
161	107, 111, 160	chvar 2298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ)
162	161, 37	fmptd 6425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃:𝐷⟶ℂ)
163		1cnd 10094	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℂ)
164	118	sseli 3632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
165	164	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ ℂ)
166	163, 165	addcld 10097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑥) ∈ ℂ)
167	71	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
168	167	negcld 10417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → -𝐶 ∈ ℂ)
169	166, 168	cxpcld 24499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ∈ ℂ)
170		nfcv 2793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)
171		nfcv 2793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑏((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶)
172		oveq2 6698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (1 + 𝑏) = (1 + 𝑥))
173	172	oveq1d 6705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) = ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶))
174	23, 24, 170, 171, 173	cbvmptf 4781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶))
175	169, 174	fmptd 6425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)):𝐷⟶ℂ)
176		cnex 10055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℂ ∈ V
177		fex 6530	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
178	86, 176, 177	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ abs ∈ V
179	178	cnvex 7155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ◡abs ∈ V
180		imaexg 7145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (◡abs ∈ V → (◡abs “ (0[,)𝑅)) ∈ V)
181	179, 180	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ∈ V
182	2, 181	eqeltri 2726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 ∈ V
183	182	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ V)
184		inidm 3855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∩ 𝐷) = 𝐷
185	102, 162, 175, 183, 183, 184	off 6954	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))):𝐷⟶ℂ)
186		1ex 10073	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ V
187	186	fconst 6129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 × {1}):𝐷⟶{1}
188		fconstmpt 5197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐷 × {1}) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 1)
189		nfcv 2793	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑏1
190		nfcv 2793	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥1
191		eqidd 2652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → 1 = 1)
192	24, 23, 189, 190, 191	cbvmptf 4781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 1) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)
193	188, 192	eqtri 2673	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 × {1}) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)
194	193	feq1i 6074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 × {1}):𝐷⟶{1} ↔ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟶{1})
195	187, 194	mpbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟶{1}
196		ax-1cn 10032	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
197		snssi 4371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℂ → {1} ⊆ ℂ)
198	196, 197	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {1} ⊆ ℂ
199		fss 6094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟶{1} ∧ {1} ⊆ ℂ) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟶ℂ)
200	195, 198, 199	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟶ℂ
201	200	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟶ℂ)
202		cnelprrecn 10067	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
203	202	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
204	46, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 155, 2, 1	binomcxplemdvsum 38871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)))
205	204	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)))
206		nfcv 2793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)
207		nfcv 2793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑏ℕ
208		nfmpt1 4780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
209	155, 208	nfcxfr 2791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑏𝐸
210	209, 27	nffv 6236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑏(𝐸‘𝑥)
211	210, 29	nffv 6236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑏((𝐸‘𝑥)‘𝑘)
212	207, 211	nfsum 14465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑏Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑥)‘𝑘)
213		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑏 = 𝑥)
214	213	fveq2d 6233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐸‘𝑏) = (𝐸‘𝑥))
215	214	fveq1d 6231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐸‘𝑥)‘𝑘))
216	215	sumeq2dv 14477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑥)‘𝑘))
217	23, 24, 206, 212, 216	cbvmptf 4781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑥)‘𝑘))
218	205, 217	syl6eq 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D 𝑃) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑥)‘𝑘)))
219		sumex 14462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑥)‘𝑘) ∈ V
220	219	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑥)‘𝑘) ∈ V)
221	218, 220	fmpt3d 6426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D 𝑃):𝐷⟶V)
222		fdm 6089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℂ D 𝑃):𝐷⟶V → dom (ℂ D 𝑃) = 𝐷)
223	221, 222	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → dom (ℂ D 𝑃) = 𝐷)
224	46, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 155, 2	binomcxplemdvbinom 38869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
225		nfcv 2793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥(-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
226		nfcv 2793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑏(-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
227	172	oveq1d 6705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)) = ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
228	227	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) = (-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
229	23, 24, 225, 226, 228	cbvmptf 4781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
230	224, 229	syl6eq 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
231	168, 163	subcld 10430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (-𝐶 − 1) ∈ ℂ)
232	166, 231	cxpcld 24499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1)) ∈ ℂ)
233	168, 232	mulcld 10098	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ ℂ)
234	230, 233	fmpt3d 6426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))):𝐷⟶ℂ)
235		fdm 6089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))):𝐷⟶ℂ → dom (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = 𝐷)
236	234, 235	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → dom (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = 𝐷)
237	203, 162, 175, 223, 236	dvmulf 23751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (((ℂ D 𝑃) ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 + ((ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 · 𝑃)))
238	71	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
239	238	mulid1d 10095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · 1) = 𝐶)
240	239	oveq1d 6705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 · 1) + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) = (𝐶 + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))))
241		1cnd 10094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℂ)
242		nnuz 11761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
243		1zzd 11446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℤ)
244		nnnn0 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
245	244, 136	sylan2 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
246	245	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
247	71	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
248		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
249	247, 248	bcccl 38855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
250	244, 249	sylan2 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
251	119	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ ℂ)
252	251	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℂ)
253	252, 248	expcld 13048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑𝑘) ∈ ℂ)
254	244, 253	sylan2 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑𝑘) ∈ ℂ)
255	250, 254	mulcld 10098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ)
256		1nn0 11346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 1 ∈ ℕ0
257	256	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℕ0)
258	112, 257, 143	iserex 14431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ))
259	158, 258	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ )
260	259	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ )
261	242, 243, 246, 255, 260	isumcl 14536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ)
262	238, 241, 261	adddid 10102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) = ((𝐶 · 1) + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))))
263	155	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))))
264		nnex 11064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ℕ ∈ V
265	264	mptex 6527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) ∈ V
266	265	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) ∈ V)
267	263, 266	fvmpt2d 6332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝐸‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
268	119, 267	sylan2 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐸‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
269	268	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐸‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
270		ovexd 6720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ V)
271	269, 270	fmpt3d 6426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐸‘𝑏):ℕ⟶V)
272	271	feqmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐸‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)))
273		ovexd 6720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ V)
274	267, 273	fvmpt2d 6332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
275	244, 132	sylan2 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
276	275	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)))
277	276	oveq1d 6705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
278	277	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
279	274, 278	eqtrd 2685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
280	71	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
281		nnm1nn0 11372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
282	281	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
283	280, 282	bccp1k 38857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐((𝑘 − 1) + 1)) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / ((𝑘 − 1) + 1))))
284	244	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
285	284	nn0cnd 11391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
286		1cnd 10094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
287	285, 286	npcand 10434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
288	287	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐((𝑘 − 1) + 1)) = (𝐶C𝑐𝑘))
289	287	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / ((𝑘 − 1) + 1)) = ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘))
290	289	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / ((𝑘 − 1) + 1))) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘)))
291	283, 288, 290	3eqtr3d 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐𝑘) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘)))
292	291	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) = (𝑘 · ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘))))
293	280, 282	bcccl 38855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
294	285, 286	subcld 10430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ)
295	280, 294	subcld 10430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
296		nnne0 11091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
297	296	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
298	293, 295, 285, 297	divassd 10874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) / 𝑘) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘)))
299	298	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) / 𝑘)) = (𝑘 · ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘))))
300	293, 295	mulcld 10098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
301	300, 285, 297	divcan2d 10841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) / 𝑘)) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))))
302	292, 299, 301	3eqtr2d 2691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))))
303	302	oveq1d 6705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
304	303	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
305	293	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
306	295	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
307	305, 306	mulcomd 10099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) = ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))))
308	307	oveq1d 6705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
309	279, 304, 308	3eqtrd 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
310	119, 309	sylanl2 684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
311	310	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
312	311	mpteq2dva 4777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
313	272, 312	eqtrd 2685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐸‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
314	313	oveq1d 6705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐸‘𝑏) shift -1) = ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) shift -1))
315		eqid 2651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
316		ovex 6718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ V
317		oveq1 6697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − -1) → (𝑘 − 1) = ((𝑗 − -1) − 1))
318	317	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − -1) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) = (𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)))
319	317	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − -1) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) = (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1)))
320	318, 319	oveq12d 6708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − -1) → ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) = ((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))))
321	317	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − -1) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) = (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)))
322	320, 321	oveq12d 6708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − -1) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1))))
323		1pneg1e0 11167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (1 + -1) = 0
324	323	fveq2i 6232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (ℤ≥‘(1 + -1)) = (ℤ≥‘0)
325	112, 324	eqtr4i 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘(1 + -1))
326	243	znegcld 11522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → -1 ∈ ℤ)
327	315, 316, 322, 242, 325, 243, 326	uzmptshftfval 38862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) shift -1) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)))))
328		oveq1 6697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − -1) = (𝑘 − -1))
329	328	oveq1d 6705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 − -1) − 1) = ((𝑘 − -1) − 1))
330	329	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) = (𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)))
331	329	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1)) = (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1)))
332	330, 331	oveq12d 6708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) = ((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))))
333	329	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)) = (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)))
334	332, 333	oveq12d 6708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1))) = (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1))))
335	334	cbvmptv 4783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1))))
336	335	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)))))
337	314, 327, 336	3eqtrd 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐸‘𝑏) shift -1) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)))))
338		nn0cn 11340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
339		1cnd 10094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
340	338, 339	subnegd 10437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 − -1) = (𝑘 + 1))
341	340	oveq1d 6705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 − -1) − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
342	338, 339	pncand 10431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
343	341, 342	eqtrd 2685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 − -1) − 1) = 𝑘)
344	343	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 − -1) − 1) = 𝑘)
345	344	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) = (𝐶 − 𝑘))
346	344	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1)) = (𝐶C𝑐𝑘))
347	345, 346	oveq12d 6708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) = ((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)))
348	344	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)) = (𝑏↑𝑘))
349	347, 348	oveq12d 6708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1))) = (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))
350	349	mpteq2dva 4777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))))
351	337, 350	eqtrd 2685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐸‘𝑏) shift -1) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))))
352		ovexd 6720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) ∈ V)
353	351, 352	fvmpt2d 6332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐸‘𝑏) shift -1)‘𝑘) = (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))
354	244, 353	sylan2 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐸‘𝑏) shift -1)‘𝑘) = (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))
355	338	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
356	247, 355	subcld 10430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ)
357	356, 249	mulcld 10098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) ∈ ℂ)
358	357, 253	mulcld 10098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ)
359	244, 358	sylan2 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ)
360		fveq2 6229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐸‘𝑏)‘𝑗))
361	360	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))
362	361	cbvmptv 4783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))
363	311	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
364	251	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℂ)
365	71	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
366		nncn 11066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
367	366	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
368		1cnd 10094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
369	367, 368	subcld 10430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ)
370	365, 369	subcld 10430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
371	281	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
372	365, 371	bcccl 38855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
373	370, 372	mulcld 10098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
374	364, 371	expcld 13048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
375	364, 373, 374	mul12d 10283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏 · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
376	364, 374	mulcomd 10099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑏↑(𝑘 − 1)) · 𝑏))
377	364, 371	expp1d 13049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑((𝑘 − 1) + 1)) = ((𝑏↑(𝑘 − 1)) · 𝑏))
378	287	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
379	378	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
380	379	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑((𝑘 − 1) + 1)) = (𝑏↑𝑘))
381	376, 377, 380	3eqtr2d 2691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (𝑏↑𝑘))
382	381	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏 · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))
383	375, 382	eqtrd 2685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))
384	363, 383	eqtrd 2685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))
385	384	mpteq2dva 4777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))))
386	362, 385	syl5eqr 2699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))))
387		ovexd 6720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)) ∈ V)
388	386, 387	fvmpt2d 6332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))‘𝑘) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))
389	373, 254	mulcld 10098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ)
390		climrel 14267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ Rel ⇝
391	157	simprd 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ )
392	391	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ )
393		climdm 14329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))))
394	392, 393	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))))
395		0z 11426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ 0 ∈ ℤ
396		neg1z 11451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ -1 ∈ ℤ
397		fvex 6239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝐸‘𝑏) ∈ V
398	397	seqshft 13869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) = (seq(0 − -1)( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1))
399	395, 396, 398	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) = (seq(0 − -1)( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1)
400		0cn 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ 0 ∈ ℂ
401	400, 196	subnegi 10398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (0 − -1) = (0 + 1)
402		0p1e1 11170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (0 + 1) = 1
403	401, 402	eqtri 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (0 − -1) = 1
404		seqeq1 12844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((0 − -1) = 1 → seq(0 − -1)( + , (𝐸‘𝑏)) = seq1( + , (𝐸‘𝑏)))
405	403, 404	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ seq(0 − -1)( + , (𝐸‘𝑏)) = seq1( + , (𝐸‘𝑏))
406	405	oveq1i 6700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (seq(0 − -1)( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1) = (seq1( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1)
407	399, 406	eqtri 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) = (seq1( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1)
408	407	breq1i 4692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))) ↔ (seq1( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))))
409		seqex 12843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ V
410		climshft 14351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ V) → ((seq1( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))) ↔ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏)))))
411	396, 409, 410	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((seq1( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))) ↔ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))))
412	408, 411	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))) ↔ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))))
413	394, 412	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))))
414		releldm 5390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((Rel ⇝ ∧ seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏)))) → seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
415	390, 413, 414	sylancr 696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
416	256	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℕ0)
417	353, 358	eqeltrd 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐸‘𝑏) shift -1)‘𝑘) ∈ ℂ)
418	112, 416, 417	iserex 14431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝ ))
419	415, 418	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
420	373, 374	mulcld 10098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
421	311, 420	eqeltrd 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ)
422	388, 384	eqtr4d 2688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))‘𝑘) = (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)))
423	242, 243, 251, 394, 421, 422	isermulc2 14432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))) ⇝ (𝑏 · ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏)))))
424		releldm 5390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((Rel ⇝ ∧ seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))) ⇝ (𝑏 · ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))))) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))) ∈ dom ⇝ )
425	390, 423, 424	sylancr 696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))) ∈ dom ⇝ )
426	242, 243, 354, 359, 388, 389, 419, 425	isumadd 14542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))))
427	426	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))) = (𝐶 + (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))))
428	365, 367	subcld 10430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ)
429	428, 250	mulcld 10098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) ∈ ℂ)
430	429, 373, 254	adddird 10103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘)) = ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))))
431	430	sumeq2dv 14477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))))
432	431	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))))
433	309	sumeq2dv 14477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
434	433	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
435	119, 434	sylan2 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
436	435	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
437	242, 243, 311, 420, 392	isumcl 14536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
438	241, 251, 437	adddird 10103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = ((1 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) + (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))))
439	437	mulid2d 10096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
440	242, 243, 311, 420, 392, 251	isummulc2 14537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
441	383	sumeq2dv 14477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))
442	440, 441	eqtrd 2685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))
443	439, 442	oveq12d 6708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) + (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) = (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))))
444	436, 438, 443	3eqtrd 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))))
445	402	fveq2i 6232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (ℤ≥‘(0 + 1)) = (ℤ≥‘1)
446	242, 445	eqtr4i 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(0 + 1))
447		oveq1 6697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑘 = (1 + 𝑗) → (𝑘 − 1) = ((1 + 𝑗) − 1))
448	447	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 = (1 + 𝑗) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) = (𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)))
449	447	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 = (1 + 𝑗) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) = (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1)))
450	448, 449	oveq12d 6708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 = (1 + 𝑗) → ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) = ((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))))
451	447	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 = (1 + 𝑗) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) = (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1)))
452	450, 451	oveq12d 6708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑘 = (1 + 𝑗) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))))
453	112, 446, 452, 243, 113, 420	isumshft 14615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))))
454		oveq2 6698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (1 + 𝑗) = (1 + 𝑘))
455	454	oveq1d 6705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((1 + 𝑗) − 1) = ((1 + 𝑘) − 1))
456	455	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) = (𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)))
457	455	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1)) = (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1)))
458	456, 457	oveq12d 6708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) = ((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))))
459	455	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1)) = (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1)))
460	458, 459	oveq12d 6708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))) = (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1))))
461	460	cbvsumv 14470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1)))
462	461	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1))))
463		1cnd 10094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
464	463, 355	pncan2d 10432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝑘) − 1) = 𝑘)
465	464	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) = (𝐶 − 𝑘))
466	464	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1)) = (𝐶C𝑐𝑘))
467	465, 466	oveq12d 6708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) = ((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)))
468	464	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1)) = (𝑏↑𝑘))
469	467, 468	oveq12d 6708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1))) = (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))
470	469	sumeq2dv 14477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))
471	453, 462, 470	3eqtrd 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))
472	112, 113, 353, 358, 415	isum1p 14617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = ((((𝐸‘𝑏) shift -1)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))(((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))))
473		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
474	473	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐶 − 𝑘) = (𝐶 − 0))
475	473	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑐0))
476	474, 475	oveq12d 6708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) = ((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)))
477	473	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (𝑏↑𝑘) = (𝑏↑0))
478	476, 477	oveq12d 6708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0)))
479		0nn0 11345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 0 ∈ ℕ0
480	479	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 0 ∈ ℕ0)
481		ovexd 6720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0)) ∈ V)
482	351, 478, 480, 481	fvmptd 6327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐸‘𝑏) shift -1)‘0) = (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0)))
483	238	subid1d 10419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 − 0) = 𝐶)
484	238	bccn0 38859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶C𝑐0) = 1)
485	483, 484	oveq12d 6708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) = (𝐶 · 1))
486	485, 239	eqtrd 2685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) = 𝐶)
487	251	exp0d 13042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏↑0) = 1)
488	486, 487	oveq12d 6708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0)) = (𝐶 · 1))
489	482, 488, 239	3eqtrd 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐸‘𝑏) shift -1)‘0) = 𝐶)
490	446	eqcomi 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (ℤ≥‘(0 + 1)) = ℕ
491	490	sumeq1i 14472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))(((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))
492	491	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))(((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))
493	489, 492	oveq12d 6708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((((𝐸‘𝑏) shift -1)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))(((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))))
494	471, 472, 493	3eqtrd 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))))
495	494	oveq1d 6705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))) = ((𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))))
496	242, 243, 354, 359, 419	isumcl 14536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ)
497	251, 437	mulcld 10098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
498	442, 497	eqeltrrd 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ)
499	238, 496, 498	addassd 10100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))) = (𝐶 + (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))))
500	444, 495, 499	3eqtrd 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 + (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))))
501	427, 432, 500	3eqtr4rd 2696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘))))
502		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
503	280, 502	binomcxplemwb 38864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) = (𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)))
504	503	oveq1d 6705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))
505	504	sumeq2dv 14477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))
506	505	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))))
507	506	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))))
508	365, 250, 254	mulassd 10101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = (𝐶 · ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
509	508	sumeq2dv 14477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐶 · ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
510	242, 243, 246, 255, 260, 238	isummulc2 14537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐶 · ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
511	509, 510	eqtr4d 2688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
512	511	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) = (𝐶 + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))))
513	501, 507, 512	3eqtrd 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))))
514	240, 262, 513	3eqtr4rd 2696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 · (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))))
515	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))))
516	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) ∈ V)
517	515, 516	fvmpt2d 6332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑆‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
518	119, 517	sylan2 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑆‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
519		ovexd 6720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) ∈ V)
520	518, 519	fvmpt2d 6332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
521	520	sumeq2dv 14477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
522	71	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
523	522, 130	bcccl 38855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
524	132, 523	eqeltrd 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
525	524	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
526	525	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
527	526, 253	mulcld 10098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ)
528	112, 113, 520, 527, 159	isum1p 14617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = (((𝑆‘𝑏)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
529	473	fveq2d 6233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘0))
530	529, 477	oveq12d 6708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐹‘0) · (𝑏↑0)))
531		ovexd 6720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘0) · (𝑏↑0)) ∈ V)
532	518, 530, 480, 531	fvmptd 6327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑆‘𝑏)‘0) = ((𝐹‘0) · (𝑏↑0)))
533	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
534		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 0) → 𝑗 = 0)
535	534	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 0) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐0))
536	479	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
537		ovexd 6720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐0) ∈ V)
538	533, 535, 536, 537	fvmptd 6327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐶C𝑐0))
539	538	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘0) = (𝐶C𝑐0))
540	539, 484	eqtrd 2685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘0) = 1)
541	540, 487	oveq12d 6708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘0) · (𝑏↑0)) = (1 · 1))
542	241	mulid1d 10095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 · 1) = 1)
543	532, 541, 542	3eqtrd 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑆‘𝑏)‘0) = 1)
544	490	sumeq1i 14472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))
545	133	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
546	244, 545	sylan2 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
547	546	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
548	547	sumeq2dv 14477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
549	544, 548	syl5eq 2697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
550	543, 549	oveq12d 6708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝑆‘𝑏)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) = (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
551	521, 528, 550	3eqtrrd 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))
552	551	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
553	514, 552	eqtrd 2685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
554	238, 160	mulcld 10098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) ∈ ℂ)
555	241, 251	addcld 10097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑏) ∈ ℂ)
556		eqidd 2652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))
557	242, 243, 556, 421, 392	isumcl 14536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ)
558	241, 251	subnegd 10437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 − -𝑏) = (1 + 𝑏))
559	251	negcld 10417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → -𝑏 ∈ ℂ)
560		elpreima 6377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (abs Fn ℂ → (𝑏 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅))))
561	86, 87, 560	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑏 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅)))
562	561	simprbi 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑏 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) → (abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅))
563	562, 2	eleq2s 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → (abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅))
564		elico2 12275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑏) ∧ (abs‘𝑏) < 𝑅)))
565	75, 81, 564	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑏) ∧ (abs‘𝑏) < 𝑅))
566	565	simp3bi 1098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅) → (abs‘𝑏) < 𝑅)
567	563, 566	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → (abs‘𝑏) < 𝑅)
568	567	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (abs‘𝑏) < 𝑅)
569	251	absnegd 14232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (abs‘-𝑏) = (abs‘𝑏))
570	569	eqcomd 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (abs‘𝑏) = (abs‘-𝑏))
571	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑅 = 1)
572	568, 570, 571	3brtr3d 4716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (abs‘-𝑏) < 1)
573		1re 10077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 ∈ ℝ
574		abssubne0 14100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((-𝑏 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (abs‘-𝑏) < 1) → (1 − -𝑏) ≠ 0)
575	573, 574	mp3an2 1452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((-𝑏 ∈ ℂ ∧ (abs‘-𝑏) < 1) → (1 − -𝑏) ≠ 0)
576	559, 572, 575	syl2anc 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 − -𝑏) ≠ 0)
577	558, 576	eqnetrrd 2891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑏) ≠ 0)
578	554, 555, 557, 577	divmuld 10861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) / (1 + 𝑏)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) ↔ ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))))
579	553, 578	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) / (1 + 𝑏)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))
580	238, 160, 555, 577	div23d 10876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) / (1 + 𝑏)) = ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
581	579, 580	eqtr3d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
582	581	mpteq2dva 4777	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))))
583		ovexd 6720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 / (1 + 𝑏)) ∈ V)
584		sumex 14462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ V
585	584	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ V)
586		eqidd 2652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))))
587	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
588	103, 23, 183, 583, 585, 586, 587	offval2f 6951	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 · 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))))
589	582, 205, 588	3eqtr4d 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D 𝑃) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 · 𝑃))
590	589	oveq1d 6705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((ℂ D 𝑃) ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 · 𝑃) ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))))
591	224	oveq1d 6705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 · 𝑃) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) ∘𝑓 · 𝑃))
592	590, 591	oveq12d 6708	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((ℂ D 𝑃) ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 + ((ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 · 𝑃)) = ((((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 · 𝑃) ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 + ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) ∘𝑓 · 𝑃)))
593		ovexd 6720	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) ∈ V)
594		ovexd 6720	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) ∈ V)
595		ovexd 6720	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) ∈ V)
596		ovexd 6720	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) ∈ V)
597		eqidd 2652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))
598	103, 23, 183, 595, 596, 588, 597	offval2f 6951	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 · 𝑃) ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))))
599		ovexd 6720	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ V)
600		eqidd 2652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
601	103, 23, 183, 599, 585, 600, 587	offval2f 6951	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) ∘𝑓 · 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))))
602	103, 23, 183, 593, 594, 598, 601	offval2f 6951	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 · 𝑃) ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 + ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) ∘𝑓 · 𝑃)) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))))
603	237, 592, 602	3eqtrd 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))))
604	238, 555, 577	divcld 10839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 / (1 + 𝑏)) ∈ ℂ)
605	238	negcld 10417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → -𝐶 ∈ ℂ)
606	555, 605	cxpcld 24499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) ∈ ℂ)
607	604, 160, 606	mul32d 10284	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
608	238, 555, 606, 577	div32d 10862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝐶 · (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / (1 + 𝑏))))
609	555, 577, 605, 241	cxpsubd 24509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)) = (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / ((1 + 𝑏)↑𝑐1)))
610	555	cxp1d 24497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐1) = (1 + 𝑏))
611	610	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / ((1 + 𝑏)↑𝑐1)) = (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / (1 + 𝑏)))
612	609, 611	eqtr2d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / (1 + 𝑏)) = ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
613	612	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / (1 + 𝑏))) = (𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
614	608, 613	eqtrd 2685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
615	614	oveq1d 6705	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) = ((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
616	607, 615	eqtrd 2685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = ((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
617	605, 241	subcld 10430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (-𝐶 − 1) ∈ ℂ)
618	555, 617	cxpcld 24499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)) ∈ ℂ)
619	238, 618	mulneg1d 10521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) = -(𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
620	619	oveq1d 6705	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) = (-(𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
621	238, 618	mulcld 10098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ ℂ)
622	621, 160	mulneg1d 10521	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (-(𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) = -((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
623	620, 622	eqtrd 2685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) = -((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
624	616, 623	oveq12d 6708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) = (((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) + -((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))))
625	621, 160	mulcld 10098	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) ∈ ℂ)
626	625	negidd 10420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) + -((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) = 0)
627	624, 626	eqtrd 2685	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) = 0)
628	627	mpteq2dva 4777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 0))
629	603, 628	eqtrd 2685	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 0))
630		nfcv 2793	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥0
631		eqidd 2652	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → 0 = 0)
632	24, 23, 4, 630, 631	cbvmptf 4781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 0) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 0)
633	629, 632	syl6eqr 2703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 0))
634		c0ex 10072	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ V
635	634	snid 4241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ {0}
636	635	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 0 ∈ {0})
637	633, 636	fmpt3d 6426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))):𝐷⟶{0})
638		fdm 6089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℂ D (𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))):𝐷⟶{0} → dom (ℂ D (𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = 𝐷)
639	637, 638	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → dom (ℂ D (𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = 𝐷)
640		1cnd 10094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
641		0cnd 10071	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
642		dvconst 23725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {1})) = (ℂ × {0}))
643	196, 642	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℂ D (ℂ × {1})) = (ℂ × {0})
644		fconstmpt 5197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℂ × {1}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
645	644	oveq2i 6701	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℂ D (ℂ × {1})) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
646		fconstmpt 5197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℂ × {0}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
647	643, 645, 646	3eqtr3i 2681	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
648	647	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
649	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐷 ⊆ ℂ)
650		fvex 6239	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ V
651		cnfldtps 22628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
652		cnfldbas 19798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
653		eqid 2651	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
654	652, 653	tpsuni 20788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℂfld ∈ TopSp → ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld))
655	651, 654	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
656	655	restid 16141	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ V → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
657	650, 656	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
658	657	eqcomi 2660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
659	653	cnfldtop 22634	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
660		cnxmet 22623	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
661	653	cnfldtopn 22632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
662	661	blopn 22352	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
663	660, 400, 81, 662	mp3an 1464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
664	98, 663	eqeltri 2726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
665		isopn3i 20934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷)
666	659, 664, 665	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷
667	666	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷)
668	203, 640, 641, 648, 649, 658, 653, 667	dvmptres2 23770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 1)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 0))
669	192	oveq2i 6701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 1)) = (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1))
670	668, 669, 632	3eqtr3g 2708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 0))
671	628, 603, 670	3eqtr4d 2695	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)))
672		1rp 11874	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ+
673	73, 672	syl6eqel 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ ℝ+)
674		blcntr 22265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 0 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
675	660, 400, 674	mp3an12 1454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
676	673, 675	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
677	676, 98	syl6eleqr 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ 𝐷)
678		0zd 11427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
679		eqidd 2652	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) = ((𝑆‘0)‘𝑘))
680		nfv 1883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑏𝜑
681	23	nfel2 2810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑏0 ∈ 𝐷
682	680, 681	nfan 1868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑏(𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷)
683		nfv 1883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑘 ∈ ℕ0
684	682, 683	nfan 1868	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑏((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
685	10, 4	nffv 6236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑆‘0)
686	685, 29	nffv 6236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑏((𝑆‘0)‘𝑘)
687	686	nfel1 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑏((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ
688	684, 687	nfim 1865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑏(((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)
689		eleq1 2718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↔ 0 ∈ 𝐷))
690	689	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = 0 → ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷)))
691	690	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = 0 → (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)))
692		fveq2 6229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝑆‘𝑏) = (𝑆‘0))
693	692	fveq1d 6231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = 0 → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝑆‘0)‘𝑘))
694	693	eleq1d 2715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = 0 → (((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ ↔ ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ))
695	691, 694	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = 0 → ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ (((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)))
696	688, 634, 695, 143	vtoclf 3289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)
697	677, 696	syldanl 735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)
698	4, 7, 685	nfseq 12851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑏seq0( + , (𝑆‘0))
699	698	nfel1 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑏seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝
700	682, 699	nfim 1865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑏((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝ )
701	692	seqeq3d 12849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = 0 → seq0( + , (𝑆‘𝑏)) = seq0( + , (𝑆‘0)))
702	701	eleq1d 2715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = 0 → (seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝ ))
703	690, 702	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = 0 → (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝ )))
704	700, 634, 703, 158	vtoclf 3289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝ )
705	677, 704	syldan 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝ )
706	112, 678, 679, 697, 705	isum1p 14617	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) = (((𝑆‘0)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))((𝑆‘0)‘𝑘)))
707	132	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
708	707	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
709		simplr 807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 0)
710	709	oveq1d 6705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑𝑘) = (0↑𝑘))
711	708, 710	oveq12d 6708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)))
712	711	mpteq2dva 4777	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))))
713	121	mptex 6527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))) ∈ V
714	713	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))) ∈ V)
715	515, 712, 99, 714	fvmptd 6327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑆‘0) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))))
716		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
717	716	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑐0))
718	716	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → (0↑𝑘) = (0↑0))
719	717, 718	oveq12d 6708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐0) · (0↑0)))
720	479	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
721		ovexd 6720	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐0) · (0↑0)) ∈ V)
722	715, 719, 720, 721	fvmptd 6327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘0) = ((𝐶C𝑐0) · (0↑0)))
723	71	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
724	723	bccn0 38859	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐0) = 1)
725	99	exp0d 13042	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (0↑0) = 1)
726	724, 725	oveq12d 6708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐0) · (0↑0)) = (1 · 1))
727		1t1e1 11213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 · 1) = 1
728	727	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1 · 1) = 1)
729	722, 726, 728	3eqtrd 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘0) = 1)
730		ovexd 6720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)) ∈ V)
731	715, 730	fvmpt2d 6332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)))
732	244, 731	sylan2 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘0)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)))
733		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
734	733	0expd 13064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0↑𝑘) = 0)
735	734	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · 0))
736	523	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
737	244, 736	sylan2 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
738	737	mul01d 10273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐𝑘) · 0) = 0)
739	732, 735, 738	3eqtrd 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘0)‘𝑘) = 0)
740	739	sumeq2dv 14477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑆‘0)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ 0)
741	446	sumeq1i 14472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑆‘0)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))((𝑆‘0)‘𝑘)
742	242	eqimssi 3692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1)
743	742	orci 404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℕ ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ ℕ ∈ Fin)
744		sumz 14497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℕ ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ ℕ ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ ℕ 0 = 0)
745	743, 744	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ 0 = 0
746	740, 741, 745	3eqtr3g 2708	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))((𝑆‘0)‘𝑘) = 0)
747	729, 746	oveq12d 6708	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((𝑆‘0)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))((𝑆‘0)‘𝑘)) = (1 + 0))
748	706, 747	eqtrd 2685	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) = (1 + 0))
749		1p0e1 11171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + 0) = 1
750	749	oveq1i 6700	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 + 0)↑𝑐-𝐶) = (1↑𝑐-𝐶)
751	723	negcld 10417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → -𝐶 ∈ ℂ)
752	751	1cxpd 24498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1↑𝑐-𝐶) = 1)
753	750, 752	syl5eq 2697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 + 0)↑𝑐-𝐶) = 1)
754	748, 753	oveq12d 6708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) · ((1 + 0)↑𝑐-𝐶)) = ((1 + 0) · 1))
755	749	oveq1i 6700	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 + 0) · 1) = (1 · 1)
756	755, 727	eqtri 2673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 + 0) · 1) = 1
757	754, 756	syl6eq 2701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) · ((1 + 0)↑𝑐-𝐶)) = 1)
758		ffn 6083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃:𝐷⟶ℂ → 𝑃 Fn 𝐷)
759	162, 758	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 Fn 𝐷)
760		ffn 6083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)):𝐷⟶ℂ → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) Fn 𝐷)
761	175, 760	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) Fn 𝐷)
762	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘)))
763		simplr 807	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑥 = 0)
764	763	fveq2d 6233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘0))
765	764	fveq1d 6231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) = ((𝑆‘0)‘𝑘))
766	765	sumeq2dv 14477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘))
767		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → 0 ∈ 𝐷)
768		sumex 14462	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ V
769	768	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ V)
770	762, 766, 767, 769	fvmptd 6327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → (𝑃‘0) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘))
771	174	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶)))
772		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
773	772	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) → (1 + 𝑥) = (1 + 0))
774	773	oveq1d 6705	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) → ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) = ((1 + 0)↑𝑐-𝐶))
775		ovexd 6720	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → ((1 + 0)↑𝑐-𝐶) ∈ V)
776	771, 774, 767, 775	fvmptd 6327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))‘0) = ((1 + 0)↑𝑐-𝐶))
777	759, 761, 183, 183, 184, 770, 776	ofval 6948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → ((𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))‘0) = (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) · ((1 + 0)↑𝑐-𝐶)))
778	677, 777	mpdan 703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))‘0) = (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) · ((1 + 0)↑𝑐-𝐶)))
779	193	fveq1i 6230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 × {1})‘0) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)‘0)
780	186	fvconst2 6510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ 𝐷 → ((𝐷 × {1})‘0) = 1)
781	677, 780	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐷 × {1})‘0) = 1)
782	779, 781	syl5eqr 2699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)‘0) = 1)
783	757, 778, 782	3eqtr4d 2695	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))‘0) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)‘0))
784	98, 99, 100, 185, 201, 639, 671, 677, 783	dv11cn 23809	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1))
785	784	oveq1d 6705	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 / (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1) ∘𝑓 / (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))))
786		nfv 1883	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑏(1 + 𝑥) ≠ 0
787	105, 786	nfim 1865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑏(((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑥) ≠ 0)
788	172	neeq1d 2882	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((1 + 𝑏) ≠ 0 ↔ (1 + 𝑥) ≠ 0))
789	109, 788	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑏) ≠ 0) ↔ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑥) ≠ 0)))
790	787, 789, 577	chvar 2298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑥) ≠ 0)
791	166, 790, 168	cxpne0d 24504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ≠ 0)
792		eldifsn 4350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ∈ ℂ ∧ ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ≠ 0))
793	169, 791, 792	sylanbrc 699	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}))
794	793, 174	fmptd 6425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)):𝐷⟶(ℂ ∖ {0}))
795		ofdivcan4 38843	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝑃:𝐷⟶ℂ ∧ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)):𝐷⟶(ℂ ∖ {0})) → ((𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 / (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = 𝑃)
796	183, 162, 794, 795	syl3anc 1366	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 / (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = 𝑃)
797		eqidd 2652	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1))
798	103, 23, 183, 241, 606, 797, 597	offval2f 6951	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1) ∘𝑓 / (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))))
799	785, 796, 798	3eqtr3d 2693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))))
800	555, 577, 605	cxpnegd 24506	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐--𝐶) = (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))
801	238	negnegd 10421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → --𝐶 = 𝐶)
802	801	oveq2d 6706	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐--𝐶) = ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶))
803	800, 802	eqtr3d 2687	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶))
804	803	mpteq2dva 4777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶)))
805	799, 804	eqtrd 2685	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶)))
806		nfcv 2793	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶)
807		nfcv 2793	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶)
808	172	oveq1d 6705	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶) = ((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶))
809	23, 24, 806, 807, 808	cbvmptf 4781	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶))
810	805, 809	syl6eq 2701	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶)))
811		simpr 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) → 𝑥 = (𝐵 / 𝐴))
812	811	oveq2d 6706	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) → (1 + 𝑥) = (1 + (𝐵 / 𝐴)))
813	812	oveq1d 6705	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) → ((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶) = ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶))
814		1cnd 10094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
815	814, 60	addcld 10097	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1 + (𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
816	815, 723	cxpcld 24499	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
817	810, 813, 91, 816	fvmptd 6327	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃‘(𝐵 / 𝐴)) = ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶))
818	707	adantlr 751	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
819		simplr 807	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = (𝐵 / 𝐴))
820	819	oveq1d 6705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑𝑘) = ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))
821	818, 820	oveq12d 6708	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)))
822	821	mpteq2dva 4777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))))
823	121	mptex 6527	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))) ∈ V
824	823	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))) ∈ V)
825	515, 822, 60, 824	fvmptd 6327	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑆‘(𝐵 / 𝐴)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))))
826		ovexd 6720	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) ∈ V)
827	825, 826	fvmpt2d 6332	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)))
828	827	sumeq2dv 14477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)))
829	94, 817, 828	3eqtr3d 2693	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)))
830	829	oveq1d 6705	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)))
831	43, 46	rerpdivcld 11941	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ)
832	831	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ)
833	66, 832	readdcld 10107	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1 + (𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
834		df-neg 10307	. . . . . . 7 ⊢ -(𝐵 / 𝐴) = (0 − (𝐵 / 𝐴))
835	831	recnd 10106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
836	835	negcld 10417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -(𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
837	836	abscld 14219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
838		1red 10093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
839	835	absnegd 14232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) = (abs‘(𝐵 / 𝐴)))
840	46	rpne0d 11915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
841	44, 47, 840	absdivd 14238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) = ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)))
842	839, 841	eqtrd 2685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) = ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)))
843	44	abscld 14219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
844	672	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
845	47, 840	absrpcld 14231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
846	843	recnd 10106	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) ∈ ℂ)
847	846	div1d 10831	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐵) / 1) = (abs‘𝐵))
848	847, 53	eqbrtrd 4707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐵) / 1) < (abs‘𝐴))
849	843, 844, 845, 848	ltdiv23d 11975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)) < 1)
850	842, 849	eqbrtrd 4707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) < 1)
851	837, 838, 850	ltled 10223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) ≤ 1)
852	831	renegcld 10495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ)
853	852, 838	absled 14213	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘-(𝐵 / 𝐴)) ≤ 1 ↔ (-1 ≤ -(𝐵 / 𝐴) ∧ -(𝐵 / 𝐴) ≤ 1)))
854	851, 853	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-1 ≤ -(𝐵 / 𝐴) ∧ -(𝐵 / 𝐴) ≤ 1))
855	854	simprd 478	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(𝐵 / 𝐴) ≤ 1)
856	834, 855	syl5eqbrr 4721	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 − (𝐵 / 𝐴)) ≤ 1)
857		0red 10079	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
858	857, 831, 838	lesubaddd 10662	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0 − (𝐵 / 𝐴)) ≤ 1 ↔ 0 ≤ (1 + (𝐵 / 𝐴))))
859	856, 858	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 + (𝐵 / 𝐴)))
860	859	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (1 + (𝐵 / 𝐴)))
861	46	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ+)
862	861	rpred 11910	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
863	861	rpge0d 11914	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
864	833, 860, 862, 863, 723	mulcxpd 24519	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((1 + (𝐵 / 𝐴)) · 𝐴)↑𝑐𝐶) = (((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) · (𝐴↑𝑐𝐶)))
865	814, 60, 48	adddird 10103	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐵 / 𝐴)) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + ((𝐵 / 𝐴) · 𝐴)))
866	48	mulid2d 10096	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
867	45, 48, 59	divcan1d 10840	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐵 / 𝐴) · 𝐴) = 𝐵)
868	866, 867	oveq12d 6708	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 · 𝐴) + ((𝐵 / 𝐴) · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐵))
869	865, 868	eqtrd 2685	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐵 / 𝐴)) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
870	869	oveq1d 6705	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((1 + (𝐵 / 𝐴)) · 𝐴)↑𝑐𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶))
871	864, 870	eqtr3d 2687	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶))
872	60	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
873		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
874	872, 873	expcld 13048	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
875	736, 874	mulcld 10098	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) ∈ ℂ)
876	46, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 155, 2	binomcxplemcvg 38870	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ ))
877	876	simpld 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ )
878	91, 877	syldan 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( + , (𝑆‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ )
879	48, 723	cxpcld 24499	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
880	112, 678, 827, 875, 878, 879	isummulc1 14538	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)))
881	44	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
882	47	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
883	840	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≠ 0)
884	881, 882, 883	divrecd 10842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) = (𝐵 · (1 / 𝐴)))
885	884	oveq1d 6705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘) = ((𝐵 · (1 / 𝐴))↑𝑘))
886	882, 883	reccld 10832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
887	881, 886, 873	mulexpd 13063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵 · (1 / 𝐴))↑𝑘) = ((𝐵↑𝑘) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)))
888	885, 887	eqtrd 2685	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘) = ((𝐵↑𝑘) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)))
889	888	oveq2d 6706	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵↑𝑘) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))))
890	881, 873	expcld 13048	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
891	886, 873	expcld 13048	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
892	736, 890, 891	mulassd 10101	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵↑𝑘) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))))
893	889, 892	eqtr4d 2688	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)))
894	893	oveq1d 6705	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = ((((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)))
895	736, 890	mulcld 10098	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℂ)
896	879	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
897	895, 891, 896	mul32d 10284	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = ((((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)))
898	895, 896, 891	mulassd 10101	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((𝐴↑𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))))
899	894, 897, 898	3eqtrd 2689	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((𝐴↑𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))))
900	873	nn0cnd 11391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
901	882, 900	cxpcld 24499	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝑘) ∈ ℂ)
902	882, 883, 900	cxpne0d 24504	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝑘) ≠ 0)
903	896, 901, 902	divrecd 10842	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐𝐶) / (𝐴↑𝑐𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐶) · (1 / (𝐴↑𝑐𝑘))))
904	71	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
905	882, 883, 904, 900	cxpsubd 24509	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐶) / (𝐴↑𝑐𝑘)))
906	873	nn0zd 11518	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
907	882, 883, 906	exprecd 13056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) = (1 / (𝐴↑𝑘)))
908		cxpexp 24459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝑘) = (𝐴↑𝑘))
909	882, 873, 908	syl2anc 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝑘) = (𝐴↑𝑘))
910	909	oveq2d 6706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (𝐴↑𝑐𝑘)) = (1 / (𝐴↑𝑘)))
911	907, 910	eqtr4d 2688	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) = (1 / (𝐴↑𝑐𝑘)))
912	911	oveq2d 6706	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐶) · (1 / (𝐴↑𝑐𝑘))))
913	903, 905, 912	3eqtr4rd 2696	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) = (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)))
914	913	oveq2d 6706	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((𝐴↑𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘))))
915	904, 900	subcld 10430	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ)
916	882, 915	cxpcld 24499	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) ∈ ℂ)
917	736, 890, 916	mul32d 10284	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘))) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘))) · (𝐵↑𝑘)))
918	899, 914, 917	3eqtrd 2689	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘))) · (𝐵↑𝑘)))
919	736, 916, 890	mulassd 10101	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘))) · (𝐵↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
920	918, 919	eqtrd 2685	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
921	920	sumeq2dv 14477	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
922	880, 921	eqtrd 2685	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
923	830, 871, 922	3eqtr3d 2693	1 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  {crab 2945  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604   ⊆ wss 3607  {csn 4210  {cpr 4212  ∪ cuni 4468   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762   × cxp 5141  ^◡ccnv 5142  dom cdm 5143   “ cima 5146   ∘ ccom 5147  Rel wrel 5148   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘_𝑓 cof 6937  Fincfn 7997  supcsup 8387  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  ℝ^*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  ℕcn 11058  ℕ₀cn0 11330  ℤcz 11415  ℤ_≥cuz 11725  ℝ⁺crp 11870  [,)cico 12215  seqcseq 12841  ↑cexp 12900   shift cshi 13850  abscabs 14018   ⇝ cli 14259  Σcsu 14460   ↾_t crest 16128  TopOpenctopn 16129  ∞Metcxmt 19779  ballcbl 19781  ℂ_fldccnfld 19794  Topctop 20746  TopSpctps 20784  intcnt 20869   D cdv 23672  ↑_𝑐ccxp 24347  C_𝑐cbcc 38852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-prod 14680  df-risefac 14781  df-fallfac 14782  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-tan 14846  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-ulm 24176  df-log 24348  df-cxp 24349  df-bcc 38853

This theorem is referenced by:  binomcxp  38873