Theorem binomcxplemnotnn0 37360

Description: Lemma for binomcxp 37361. When 𝐶 is not a nonnegative integer, the generalized sum in binomcxplemnn0 37353 —which we will call 𝑃 —is a convergent power series: its base 𝑏 is always of smaller absolute value than the radius of convergence.

pserdv2 23932 gives the derivative of 𝑃, which by dvradcnv 23923 also converges in that radius. When 𝐴 is fixed at one, (𝐴 + 𝑏) times that derivative equals (𝐶 · 𝑃) and fraction (𝑃 / ((𝐴 + 𝑏)↑_𝑐𝐶)) is always defined with derivative zero, so the fraction is a constant—specifically one, because ((1 + 0)↑_𝑐𝐶) = 1. Thus ((1 + 𝑏)↑_𝑐𝐶) = (𝑃‘𝑏).

Finally, let 𝑏 be (𝐵 / 𝐴), and multiply both the binomial ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑_𝑐𝐶) and the sum (𝑃‘(𝐵 / 𝐴)) by (𝐴↑_𝑐𝐶) to get the result. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f	⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s	⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
binomcxplem.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
binomcxplem.e	⊢ 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
binomcxplem.d	⊢ 𝐷 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
binomcxplem.p	⊢ 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemnotnn0	⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑏,𝑟,𝐴   𝐵,𝑏,𝑘,𝑟   𝑗,𝑏,𝜑,𝑘   𝐶,𝑏,𝑗,𝑘   𝐹,𝑏,𝑘,𝑟   𝑆,𝑘,𝑟   𝐷,𝑗,𝑘   𝑗,𝐸,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑟)   𝐷(𝑟,𝑏)   𝑃(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑆(𝑗,𝑏)   𝐸(𝑟,𝑏)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem binomcxplemnotnn0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxplem.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))
2		binomcxplem.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
3		nfcv 2750	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏◡abs
4		nfcv 2750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏0
5		nfcv 2750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏[,)
6		binomcxplem.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
7		nfcv 2750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑏 +
8		binomcxplem.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
9		nfmpt1 4669	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
10	8, 9	nfcxfr 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑏𝑆
11		nfcv 2750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑏𝑟
12	10, 11	nffv 6094	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑆‘𝑟)
13	4, 7, 12	nfseq 12630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑏seq0( + , (𝑆‘𝑟))
14	13	nfel1 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑏seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝
15		nfcv 2750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑏ℝ
16	14, 15	nfrab 3099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑏{𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }
17		nfcv 2750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑏ℝ*
18		nfcv 2750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑏 <
19	16, 17, 18	nfsup 8217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
20	6, 19	nfcxfr 2748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏𝑅
21	4, 5, 20	nfov 6552	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏(0[,)𝑅)
22	3, 21	nfima 5379	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏(◡abs “ (0[,)𝑅))
23	2, 22	nfcxfr 2748	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏𝐷
24		nfcv 2750	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
25		nfcv 2750	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)
26		nfcv 2750	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏ℕ0
27		nfcv 2750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏𝑥
28	10, 27	nffv 6094	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑆‘𝑥)
29		nfcv 2750	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏𝑘
30	28, 29	nffv 6094	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏((𝑆‘𝑥)‘𝑘)
31	26, 30	nfsum 14217	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘)
32		simpl 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 𝑥)
33	32	fveq2d 6091	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑏) = (𝑆‘𝑥))
34	33	fveq1d 6089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝑆‘𝑥)‘𝑘))
35	34	sumeq2dv 14229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘))
36	23, 24, 25, 31, 35	cbvmptf 4670	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘))
37	1, 36	eqtri 2631	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘))
38	37	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘)))
39		simplr 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑥 = (𝐵 / 𝐴))
40	39	fveq2d 6091	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘(𝐵 / 𝐴)))
41	40	fveq1d 6089	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) = ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘))
42	41	sumeq2dv 14229	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘))
43		binomcxp.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
44	43	recnd 9924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
45	44	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
46		binomcxp.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
47	46	rpcnd 11708	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
48	47	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
49		0red 9897	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
50	45	abscld 13971	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
51	48	abscld 13971	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
52	45	absge0d 13979	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
53		binomcxp.lt	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
54	53	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
55	49, 50, 51, 52, 54	lelttrd 10046	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 < (abs‘𝐴))
56	55	gt0ne0d 10443	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
57	48	abs00ad 13826	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
58	57	necon3bid 2825	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
59	56, 58	mpbid 220	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≠ 0)
60	45, 48, 59	divcld 10652	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
61	60	abscld 13971	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
62	60	absge0d 13979	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘(𝐵 / 𝐴)))
63	51	recnd 9924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
64	63	mulid1d 9913	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴) · 1) = (abs‘𝐴))
65	54, 64	breqtrrd 4605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐵) < ((abs‘𝐴) · 1))
66		1red 9911	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
67	51, 55	elrpd 11703	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
68	50, 66, 67	ltdivmuld 11757	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)) < 1 ↔ (abs‘𝐵) < ((abs‘𝐴) · 1)))
69	65, 68	mpbird 245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)) < 1)
70	45, 48, 59	absdivd 13990	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) = ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)))
71		binomcxp.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
72		binomcxplem.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
73	46, 43, 53, 71, 72, 8, 6	binomcxplemradcnv 37356	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = 1)
74	69, 70, 73	3brtr4d 4609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) < 𝑅)
75		0re 9896	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
76		ssrab2 3649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
77		ressxr 9939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
78	76, 77	sstri 3576	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
79		supxrcl 11975	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
80	78, 79	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
81	6, 80	eqeltri 2683	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ∈ ℝ*
82		elico2 12066	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) < 𝑅)))
83	75, 81, 82	mp2an 703	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) < 𝑅))
84	61, 62, 74, 83	syl3anbrc 1238	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅))
85	2	eleq2i 2679	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (𝐵 / 𝐴) ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)))
86		absf 13873	. . . . . . . 8 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
87		ffn 5943	. . . . . . . 8 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
88		elpreima 6229	. . . . . . . 8 ⊢ (abs Fn ℂ → ((𝐵 / 𝐴) ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅))))
89	86, 87, 88	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅)))
90	85, 89	bitri 262	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅)))
91	60, 84, 90	sylanbrc 694	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷)
92		sumex 14214	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘) ∈ V
93	92	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘) ∈ V)
94	38, 42, 91, 93	fvmptd 6181	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃‘(𝐵 / 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘))
95		eqid 2609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
96	95	cnbl0 22334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → (◡abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
97	81, 96	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
98	2, 97	eqtri 2631	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
99		0cnd 9889	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℂ)
100	81	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ ℝ*)
101		mulcl 9876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
102	101	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
103		nfv 1829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑏(𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0)
104	23	nfcri 2744	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑥 ∈ 𝐷
105	103, 104	nfan 1815	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑏((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷)
106	31	nfel1 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑏Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ
107	105, 106	nfim 1812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑏(((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ)
108		eleq1 2675	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↔ 𝑥 ∈ 𝐷))
109	108	anbi2d 735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷)))
110	35	eleq1d 2671	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ))
111	109, 110	imbi12d 332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ)))
112		nn0uz 11556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
113		0zd 11224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 0 ∈ ℤ)
114		eqidd 2610	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))
115		cnvimass 5390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
116	2, 115	eqsstri 3597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐷 ⊆ dom abs
117	86	fdmi 5950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ dom abs = ℂ
118	116, 117	sseqtri 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
119	118	sseli 3563	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → 𝑏 ∈ ℂ)
120	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))))
121		nn0ex 11147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ℕ0 ∈ V
122	121	mptex 6367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) ∈ V
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) ∈ V)
124	120, 123	fvmpt2d 6186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑆‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
125		ovex 6554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) ∈ V
126	125	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) ∈ V)
127	124, 126	fvmpt2d 6186	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
128	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
129		simpr 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
130	129	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑘))
131		simpr 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
132		ovex 6554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐶C𝑐𝑘) ∈ V
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ V)
134	128, 130, 131, 133	fvmptd 6181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
135	134	oveq1d 6541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
136	135	adantlr 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
137	127, 136	eqtrd 2643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
138	119, 137	sylanl2 680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
139	71	ad2antrr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
140		simpr 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
141	139, 140	bcccl 37343	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
142	119	ad2antlr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℂ)
143	142, 140	expcld 12827	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑𝑘) ∈ ℂ)
144	141, 143	mulcld 9916	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ)
145	138, 144	eqeltrd 2687	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ)
146	145	adantllr 750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ)
147		eleq1 2675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ 𝑏 ∈ 𝐷))
148	147	anbi2d 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ↔ (𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)))
149		fveq2 6087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝑏))
150	149	seqeq3d 12628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → seq0( + , (𝑆‘𝑥)) = seq0( + , (𝑆‘𝑏)))
151	150	eleq1d 2671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (seq0( + , (𝑆‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ))
152		fveq2 6087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝐸‘𝑥) = (𝐸‘𝑏))
153	152	seqeq3d 12628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → seq1( + , (𝐸‘𝑥)) = seq1( + , (𝐸‘𝑏)))
154	153	eleq1d 2671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (seq1( + , (𝐸‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ))
155	151, 154	anbi12d 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → ((seq0( + , (𝑆‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ) ↔ (seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ )))
156	148, 155	imbi12d 332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑥)) ∈ dom ⇝ )) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ))))
157		binomcxplem.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
158	46, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 157, 2	binomcxplemcvg 37358	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
159	156, 158	chvarv 2250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ))
160	159	simpld 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ )
161	160	adantlr 746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ )
162	112, 113, 114, 146, 161	isumcl 14282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ)
163	107, 111, 162	chvar 2249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ)
164	163, 37	fmptd 6276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃:𝐷⟶ℂ)
165		1cnd 9912	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℂ)
166	118	sseli 3563	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
167	166	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ ℂ)
168	165, 167	addcld 9915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑥) ∈ ℂ)
169	71	ad2antrr 757	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
170	169	negcld 10230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → -𝐶 ∈ ℂ)
171	168, 170	cxpcld 24198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ∈ ℂ)
172		nfcv 2750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)
173		nfcv 2750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑏((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶)
174		oveq2 6534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (1 + 𝑏) = (1 + 𝑥))
175	174	oveq1d 6541	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) = ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶))
176	23, 24, 172, 173, 175	cbvmptf 4670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶))
177	171, 176	fmptd 6276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)):𝐷⟶ℂ)
178		cnex 9873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℂ ∈ V
179		fex 6371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
180	86, 178, 179	mp2an 703	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ abs ∈ V
181	180	cnvex 6983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ◡abs ∈ V
182		imaexg 6972	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (◡abs ∈ V → (◡abs “ (0[,)𝑅)) ∈ V)
183	181, 182	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ∈ V
184	2, 183	eqeltri 2683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 ∈ V
185	184	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ V)
186		inidm 3783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∩ 𝐷) = 𝐷
187	102, 164, 177, 185, 185, 186	off 6787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))):𝐷⟶ℂ)
188		1ex 9891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ V
189	188	fconst 5988	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 × {1}):𝐷⟶{1}
190		fconstmpt 5074	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐷 × {1}) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 1)
191		nfcv 2750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑏1
192		nfcv 2750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥1
193		eqidd 2610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → 1 = 1)
194	24, 23, 191, 192, 193	cbvmptf 4670	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 1) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)
195	190, 194	eqtri 2631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 × {1}) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)
196	195	feq1i 5934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 × {1}):𝐷⟶{1} ↔ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟶{1})
197	189, 196	mpbi 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟶{1}
198		ax-1cn 9850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
199		snssi 4279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℂ → {1} ⊆ ℂ)
200	198, 199	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {1} ⊆ ℂ
201		fss 5954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟶{1} ∧ {1} ⊆ ℂ) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟶ℂ)
202	197, 200, 201	mp2an 703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟶ℂ
203	202	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟶ℂ)
204		cnelprrecn 9885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
205	204	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
206	46, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 157, 2, 1	binomcxplemdvsum 37359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)))
207	206	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)))
208		nfcv 2750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)
209		nfcv 2750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑏ℕ
210		nfmpt1 4669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
211	157, 210	nfcxfr 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑏𝐸
212	211, 27	nffv 6094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑏(𝐸‘𝑥)
213	212, 29	nffv 6094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑏((𝐸‘𝑥)‘𝑘)
214	209, 213	nfsum 14217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑏Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑥)‘𝑘)
215		simpl 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑏 = 𝑥)
216	215	fveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐸‘𝑏) = (𝐸‘𝑥))
217	216	fveq1d 6089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐸‘𝑥)‘𝑘))
218	217	sumeq2dv 14229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑥)‘𝑘))
219	23, 24, 208, 214, 218	cbvmptf 4670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑥)‘𝑘))
220	207, 219	syl6eq 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D 𝑃) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑥)‘𝑘)))
221		sumex 14214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑥)‘𝑘) ∈ V
222	221	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑥)‘𝑘) ∈ V)
223	220, 222	fmpt3d 6277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D 𝑃):𝐷⟶V)
224		fdm 5949	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℂ D 𝑃):𝐷⟶V → dom (ℂ D 𝑃) = 𝐷)
225	223, 224	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → dom (ℂ D 𝑃) = 𝐷)
226	46, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 157, 2	binomcxplemdvbinom 37357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
227		nfcv 2750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥(-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
228		nfcv 2750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑏(-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
229	174	oveq1d 6541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)) = ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
230	229	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) = (-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
231	23, 24, 227, 228, 230	cbvmptf 4670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
232	226, 231	syl6eq 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
233	170, 165	subcld 10243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (-𝐶 − 1) ∈ ℂ)
234	168, 233	cxpcld 24198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1)) ∈ ℂ)
235	170, 234	mulcld 9916	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ ℂ)
236	232, 235	fmpt3d 6277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))):𝐷⟶ℂ)
237		fdm 5949	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))):𝐷⟶ℂ → dom (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = 𝐷)
238	236, 237	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → dom (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = 𝐷)
239	205, 164, 177, 225, 238	dvmulf 23456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (((ℂ D 𝑃) ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 + ((ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 · 𝑃)))
240	71	ad2antrr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
241	240	mulid1d 9913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · 1) = 𝐶)
242	241	oveq1d 6541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 · 1) + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) = (𝐶 + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))))
243		1cnd 9912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℂ)
244		nnuz 11557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
245		1zzd 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℤ)
246		nnnn0 11148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
247	246, 138	sylan2 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
248	247	adantllr 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
249	71	ad3antrrr 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
250		simpr 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
251	249, 250	bcccl 37343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
252	246, 251	sylan2 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
253	119	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ ℂ)
254	253	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℂ)
255	254, 250	expcld 12827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑𝑘) ∈ ℂ)
256	246, 255	sylan2 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑𝑘) ∈ ℂ)
257	252, 256	mulcld 9916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ)
258		1nn0 11157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 1 ∈ ℕ0
259	258	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℕ0)
260	112, 259, 145	iserex 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ))
261	160, 260	mpbid 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ )
262	261	adantlr 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ )
263	244, 245, 248, 257, 262	isumcl 14282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ)
264	240, 243, 263	adddid 9920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) = ((𝐶 · 1) + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))))
265	157	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))))
266		nnex 10875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ℕ ∈ V
267	266	mptex 6367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) ∈ V
268	267	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) ∈ V)
269	265, 268	fvmpt2d 6186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝐸‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
270	119, 269	sylan2 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐸‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
271	270	adantlr 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐸‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
272		ovex 6554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ V
273	272	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ V)
274	271, 273	fmpt3d 6277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐸‘𝑏):ℕ⟶V)
275	274	feqmptd 6143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐸‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)))
276	272	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ V)
277	269, 276	fvmpt2d 6186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
278	246, 134	sylan2 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
279	278	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)))
280	279	oveq1d 6541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
281	280	adantlr 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
282	277, 281	eqtrd 2643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
283	71	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
284		nnm1nn0 11183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
285	284	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
286	283, 285	bccp1k 37345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐((𝑘 − 1) + 1)) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / ((𝑘 − 1) + 1))))
287	246	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
288	287	nn0cnd 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
289		1cnd 9912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
290	288, 289	npcand 10247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
291	290	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐((𝑘 − 1) + 1)) = (𝐶C𝑐𝑘))
292	290	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / ((𝑘 − 1) + 1)) = ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘))
293	292	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / ((𝑘 − 1) + 1))) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘)))
294	286, 291, 293	3eqtr3d 2651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐𝑘) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘)))
295	294	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) = (𝑘 · ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘))))
296	283, 285	bcccl 37343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
297	288, 289	subcld 10243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ)
298	283, 297	subcld 10243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
299		nnne0 10902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
300	299	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
301	296, 298, 288, 300	divassd 10687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) / 𝑘) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘)))
302	301	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) / 𝑘)) = (𝑘 · ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘))))
303	296, 298	mulcld 9916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
304	303, 288, 300	divcan2d 10654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) / 𝑘)) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))))
305	295, 302, 304	3eqtr2d 2649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))))
306	305	oveq1d 6541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
307	306	adantlr 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
308	296	adantlr 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
309	298	adantlr 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
310	308, 309	mulcomd 9917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) = ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))))
311	310	oveq1d 6541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
312	282, 307, 311	3eqtrd 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
313	119, 312	sylanl2 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
314	313	adantllr 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
315	314	mpteq2dva 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
316	275, 315	eqtrd 2643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐸‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
317	316	oveq1d 6541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐸‘𝑏) shift -1) = ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) shift -1))
318		eqid 2609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
319		ovex 6554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ V
320		oveq1 6533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − -1) → (𝑘 − 1) = ((𝑗 − -1) − 1))
321	320	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − -1) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) = (𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)))
322	320	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − -1) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) = (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1)))
323	321, 322	oveq12d 6544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − -1) → ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) = ((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))))
324	320	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − -1) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) = (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)))
325	323, 324	oveq12d 6544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − -1) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1))))
326		1pneg1e0 10978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (1 + -1) = 0
327	326	fveq2i 6090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (ℤ≥‘(1 + -1)) = (ℤ≥‘0)
328	112, 327	eqtr4i 2634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘(1 + -1))
329	245	znegcld 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → -1 ∈ ℤ)
330	318, 319, 325, 244, 328, 245, 329	uzmptshftfval 37350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) shift -1) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)))))
331		oveq1 6533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − -1) = (𝑘 − -1))
332	331	oveq1d 6541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 − -1) − 1) = ((𝑘 − -1) − 1))
333	332	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) = (𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)))
334	332	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1)) = (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1)))
335	333, 334	oveq12d 6544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) = ((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))))
336	332	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)) = (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)))
337	335, 336	oveq12d 6544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1))) = (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1))))
338	337	cbvmptv 4672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1))))
339	338	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)))))
340	317, 330, 339	3eqtrd 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐸‘𝑏) shift -1) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)))))
341		nn0cn 11151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
342		1cnd 9912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
343	341, 342	subnegd 10250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 − -1) = (𝑘 + 1))
344	343	oveq1d 6541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 − -1) − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
345	341, 342	pncand 10244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
346	344, 345	eqtrd 2643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 − -1) − 1) = 𝑘)
347	346	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 − -1) − 1) = 𝑘)
348	347	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) = (𝐶 − 𝑘))
349	347	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1)) = (𝐶C𝑐𝑘))
350	348, 349	oveq12d 6544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) = ((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)))
351	347	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)) = (𝑏↑𝑘))
352	350, 351	oveq12d 6544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1))) = (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))
353	352	mpteq2dva 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))))
354	340, 353	eqtrd 2643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐸‘𝑏) shift -1) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))))
355		ovex 6554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) ∈ V
356	355	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) ∈ V)
357	354, 356	fvmpt2d 6186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐸‘𝑏) shift -1)‘𝑘) = (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))
358	246, 357	sylan2 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐸‘𝑏) shift -1)‘𝑘) = (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))
359	341	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
360	249, 359	subcld 10243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ)
361	360, 251	mulcld 9916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) ∈ ℂ)
362	361, 255	mulcld 9916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ)
363	246, 362	sylan2 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ)
364		fveq2 6087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐸‘𝑏)‘𝑗))
365	364	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))
366	365	cbvmptv 4672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))
367	314	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
368	253	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℂ)
369	71	ad3antrrr 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
370		nncn 10877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
371	370	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
372		1cnd 9912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
373	371, 372	subcld 10243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ)
374	369, 373	subcld 10243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
375	284	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
376	369, 375	bcccl 37343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
377	374, 376	mulcld 9916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
378	368, 375	expcld 12827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
379	368, 377, 378	mul12d 10096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏 · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
380	368, 378	mulcomd 9917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑏↑(𝑘 − 1)) · 𝑏))
381	368, 375	expp1d 12828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑((𝑘 − 1) + 1)) = ((𝑏↑(𝑘 − 1)) · 𝑏))
382	290	adantlr 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
383	382	adantlr 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
384	383	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑((𝑘 − 1) + 1)) = (𝑏↑𝑘))
385	380, 381, 384	3eqtr2d 2649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (𝑏↑𝑘))
386	385	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏 · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))
387	379, 386	eqtrd 2643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))
388	367, 387	eqtrd 2643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))
389	388	mpteq2dva 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))))
390	366, 389	syl5eqr 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))))
391		ovex 6554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)) ∈ V
392	391	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)) ∈ V)
393	390, 392	fvmpt2d 6186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))‘𝑘) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))
394	377, 256	mulcld 9916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ)
395		climrel 14019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ Rel ⇝
396	159	simprd 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ )
397	396	adantlr 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ )
398		climdm 14081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))))
399	397, 398	sylib 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))))
400		0z 11223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ 0 ∈ ℤ
401		neg1z 11248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ -1 ∈ ℤ
402		fvex 6097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝐸‘𝑏) ∈ V
403	402	seqshft 13621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) = (seq(0 − -1)( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1))
404	400, 401, 403	mp2an 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) = (seq(0 − -1)( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1)
405		0cn 9888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ 0 ∈ ℂ
406	405, 198	subnegi 10211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (0 − -1) = (0 + 1)
407		0p1e1 10981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (0 + 1) = 1
408	406, 407	eqtri 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (0 − -1) = 1
409		seqeq1 12623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((0 − -1) = 1 → seq(0 − -1)( + , (𝐸‘𝑏)) = seq1( + , (𝐸‘𝑏)))
410	408, 409	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ seq(0 − -1)( + , (𝐸‘𝑏)) = seq1( + , (𝐸‘𝑏))
411	410	oveq1i 6536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (seq(0 − -1)( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1) = (seq1( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1)
412	404, 411	eqtri 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) = (seq1( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1)
413	412	breq1i 4584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))) ↔ (seq1( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))))
414		seqex 12622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ V
415		climshft 14103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ V) → ((seq1( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))) ↔ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏)))))
416	401, 414, 415	mp2an 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((seq1( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))) ↔ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))))
417	413, 416	bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))) ↔ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))))
418	399, 417	sylibr 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))))
419		releldm 5265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((Rel ⇝ ∧ seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏)))) → seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
420	395, 418, 419	sylancr 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
421	258	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℕ0)
422	357, 362	eqeltrd 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐸‘𝑏) shift -1)‘𝑘) ∈ ℂ)
423	112, 421, 422	iserex 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝ ))
424	420, 423	mpbid 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
425	377, 378	mulcld 9916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
426	314, 425	eqeltrd 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ)
427	393, 388	eqtr4d 2646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))‘𝑘) = (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)))
428	244, 245, 253, 399, 426, 427	isermulc2 14184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))) ⇝ (𝑏 · ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏)))))
429		releldm 5265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((Rel ⇝ ∧ seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))) ⇝ (𝑏 · ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))))) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))) ∈ dom ⇝ )
430	395, 428, 429	sylancr 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))) ∈ dom ⇝ )
431	244, 245, 358, 363, 393, 394, 424, 430	isumadd 14288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))))
432	431	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))) = (𝐶 + (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))))
433	369, 371	subcld 10243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ)
434	433, 252	mulcld 9916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) ∈ ℂ)
435	434, 377, 256	adddird 9921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘)) = ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))))
436	435	sumeq2dv 14229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))))
437	436	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))))
438	312	sumeq2dv 14229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
439	438	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
440	119, 439	sylan2 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
441	440	adantlr 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
442	244, 245, 314, 425, 397	isumcl 14282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
443	243, 253, 442	adddird 9921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = ((1 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) + (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))))
444	442	mulid2d 9914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
445	244, 245, 314, 425, 397, 253	isummulc2 14283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
446	387	sumeq2dv 14229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))
447	445, 446	eqtrd 2643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))
448	444, 447	oveq12d 6544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) + (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) = (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))))
449	441, 443, 448	3eqtrd 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))))
450	407	fveq2i 6090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (ℤ≥‘(0 + 1)) = (ℤ≥‘1)
451	244, 450	eqtr4i 2634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(0 + 1))
452		oveq1 6533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑘 = (1 + 𝑗) → (𝑘 − 1) = ((1 + 𝑗) − 1))
453	452	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 = (1 + 𝑗) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) = (𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)))
454	452	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 = (1 + 𝑗) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) = (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1)))
455	453, 454	oveq12d 6544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 = (1 + 𝑗) → ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) = ((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))))
456	452	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 = (1 + 𝑗) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) = (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1)))
457	455, 456	oveq12d 6544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑘 = (1 + 𝑗) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))))
458	112, 451, 457, 245, 113, 425	isumshft 14358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))))
459		oveq2 6534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (1 + 𝑗) = (1 + 𝑘))
460	459	oveq1d 6541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((1 + 𝑗) − 1) = ((1 + 𝑘) − 1))
461	460	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) = (𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)))
462	460	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1)) = (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1)))
463	461, 462	oveq12d 6544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) = ((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))))
464	460	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1)) = (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1)))
465	463, 464	oveq12d 6544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))) = (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1))))
466	465	cbvsumv 14222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1)))
467	466	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1))))
468		1cnd 9912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
469	468, 359	pncan2d 10245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝑘) − 1) = 𝑘)
470	469	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) = (𝐶 − 𝑘))
471	469	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1)) = (𝐶C𝑐𝑘))
472	470, 471	oveq12d 6544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) = ((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)))
473	469	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1)) = (𝑏↑𝑘))
474	472, 473	oveq12d 6544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1))) = (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))
475	474	sumeq2dv 14229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))
476	458, 467, 475	3eqtrd 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))
477	112, 113, 357, 362, 420	isum1p 14360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = ((((𝐸‘𝑏) shift -1)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))(((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))))
478		simpr 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
479	478	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐶 − 𝑘) = (𝐶 − 0))
480	478	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑐0))
481	479, 480	oveq12d 6544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) = ((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)))
482	478	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (𝑏↑𝑘) = (𝑏↑0))
483	481, 482	oveq12d 6544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0)))
484		0nn0 11156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 0 ∈ ℕ0
485	484	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 0 ∈ ℕ0)
486		ovex 6554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0)) ∈ V
487	486	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0)) ∈ V)
488	354, 483, 485, 487	fvmptd 6181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐸‘𝑏) shift -1)‘0) = (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0)))
489	240	subid1d 10232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 − 0) = 𝐶)
490	240	bccn0 37347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶C𝑐0) = 1)
491	489, 490	oveq12d 6544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) = (𝐶 · 1))
492	491, 241	eqtrd 2643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) = 𝐶)
493	253	exp0d 12821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏↑0) = 1)
494	492, 493	oveq12d 6544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0)) = (𝐶 · 1))
495	488, 494, 241	3eqtrd 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐸‘𝑏) shift -1)‘0) = 𝐶)
496	451	eqcomi 2618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (ℤ≥‘(0 + 1)) = ℕ
497	496	sumeq1i 14224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))(((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))
498	497	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))(((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))
499	495, 498	oveq12d 6544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((((𝐸‘𝑏) shift -1)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))(((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))))
500	476, 477, 499	3eqtrd 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))))
501	500	oveq1d 6541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))) = ((𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))))
502	244, 245, 358, 363, 424	isumcl 14282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ)
503	253, 442	mulcld 9916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
504	447, 503	eqeltrrd 2688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ)
505	240, 502, 504	addassd 9918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))) = (𝐶 + (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))))
506	449, 501, 505	3eqtrd 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 + (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))))
507	432, 437, 506	3eqtr4rd 2654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘))))
508		simpr 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
509	283, 508	binomcxplemwb 37352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) = (𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)))
510	509	oveq1d 6541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))
511	510	sumeq2dv 14229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))
512	511	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))))
513	512	ad2antrr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))))
514	369, 252, 256	mulassd 9919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = (𝐶 · ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
515	514	sumeq2dv 14229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐶 · ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
516	244, 245, 248, 257, 262, 240	isummulc2 14283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐶 · ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
517	515, 516	eqtr4d 2646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
518	517	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) = (𝐶 + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))))
519	507, 513, 518	3eqtrd 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))))
520	242, 264, 519	3eqtr4rd 2654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 · (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))))
521	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))))
522	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) ∈ V)
523	521, 522	fvmpt2d 6186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑆‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
524	119, 523	sylan2 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑆‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
525	125	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) ∈ V)
526	524, 525	fvmpt2d 6186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
527	526	sumeq2dv 14229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
528	71	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
529	528, 131	bcccl 37343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
530	134, 529	eqeltrd 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
531	530	adantlr 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
532	531	adantlr 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
533	532, 255	mulcld 9916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ)
534	112, 113, 526, 533, 161	isum1p 14360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = (((𝑆‘𝑏)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
535	478	fveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘0))
536	535, 482	oveq12d 6544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐹‘0) · (𝑏↑0)))
537		ovex 6554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐹‘0) · (𝑏↑0)) ∈ V
538	537	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘0) · (𝑏↑0)) ∈ V)
539	524, 536, 485, 538	fvmptd 6181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑆‘𝑏)‘0) = ((𝐹‘0) · (𝑏↑0)))
540	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
541		simpr 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 0) → 𝑗 = 0)
542	541	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 0) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐0))
543	484	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
544		ovex 6554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐶C𝑐0) ∈ V
545	544	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐0) ∈ V)
546	540, 542, 543, 545	fvmptd 6181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐶C𝑐0))
547	546	ad2antrr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘0) = (𝐶C𝑐0))
548	547, 490	eqtrd 2643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘0) = 1)
549	548, 493	oveq12d 6544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘0) · (𝑏↑0)) = (1 · 1))
550	243	mulid1d 9913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 · 1) = 1)
551	539, 549, 550	3eqtrd 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑆‘𝑏)‘0) = 1)
552	496	sumeq1i 14224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))
553	135	adantlr 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
554	246, 553	sylan2 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
555	554	adantllr 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
556	555	sumeq2dv 14229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
557	552, 556	syl5eq 2655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
558	551, 557	oveq12d 6544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝑆‘𝑏)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) = (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
559	527, 534, 558	3eqtrrd 2648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))
560	559	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
561	520, 560	eqtrd 2643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
562	240, 162	mulcld 9916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) ∈ ℂ)
563	243, 253	addcld 9915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑏) ∈ ℂ)
564		eqidd 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))
565	244, 245, 564, 426, 397	isumcl 14282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ)
566	243, 253	subnegd 10250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 − -𝑏) = (1 + 𝑏))
567	253	negcld 10230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → -𝑏 ∈ ℂ)
568		elpreima 6229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (abs Fn ℂ → (𝑏 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅))))
569	86, 87, 568	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑏 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅)))
570	569	simprbi 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑏 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) → (abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅))
571	570, 2	eleq2s 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → (abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅))
572		elico2 12066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑏) ∧ (abs‘𝑏) < 𝑅)))
573	75, 81, 572	mp2an 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑏) ∧ (abs‘𝑏) < 𝑅))
574	573	simp3bi 1070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅) → (abs‘𝑏) < 𝑅)
575	571, 574	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → (abs‘𝑏) < 𝑅)
576	575	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (abs‘𝑏) < 𝑅)
577	253	absnegd 13984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (abs‘-𝑏) = (abs‘𝑏))
578	577	eqcomd 2615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (abs‘𝑏) = (abs‘-𝑏))
579	73	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑅 = 1)
580	576, 578, 579	3brtr3d 4608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (abs‘-𝑏) < 1)
581		1re 9895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 ∈ ℝ
582		abssubne0 13852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((-𝑏 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (abs‘-𝑏) < 1) → (1 − -𝑏) ≠ 0)
583	581, 582	mp3an2 1403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((-𝑏 ∈ ℂ ∧ (abs‘-𝑏) < 1) → (1 − -𝑏) ≠ 0)
584	567, 580, 583	syl2anc 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 − -𝑏) ≠ 0)
585	566, 584	eqnetrrd 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑏) ≠ 0)
586	562, 563, 565, 585	divmuld 10674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) / (1 + 𝑏)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) ↔ ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))))
587	561, 586	mpbird 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) / (1 + 𝑏)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))
588	240, 162, 563, 585	div23d 10689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) / (1 + 𝑏)) = ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
589	587, 588	eqtr3d 2645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
590	589	mpteq2dva 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))))
591		ovex 6554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐶 / (1 + 𝑏)) ∈ V
592	591	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 / (1 + 𝑏)) ∈ V)
593		sumex 14214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ V
594	593	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ V)
595		eqidd 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))))
596	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
597	103, 23, 185, 592, 594, 595, 596	offval2f 6784	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 · 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))))
598	590, 207, 597	3eqtr4d 2653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D 𝑃) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 · 𝑃))
599	598	oveq1d 6541	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((ℂ D 𝑃) ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 · 𝑃) ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))))
600	226	oveq1d 6541	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 · 𝑃) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) ∘𝑓 · 𝑃))
601	599, 600	oveq12d 6544	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((ℂ D 𝑃) ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 + ((ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 · 𝑃)) = ((((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 · 𝑃) ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 + ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) ∘𝑓 · 𝑃)))
602		ovex 6554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) ∈ V
603	602	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) ∈ V)
604		ovex 6554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) ∈ V
605	604	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) ∈ V)
606		ovex 6554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) ∈ V
607	606	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) ∈ V)
608		ovex 6554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) ∈ V
609	608	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) ∈ V)
610		eqidd 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))
611	103, 23, 185, 607, 609, 597, 610	offval2f 6784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 · 𝑃) ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))))
612		ovex 6554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ V
613	612	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ V)
614		eqidd 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
615	103, 23, 185, 613, 594, 614, 596	offval2f 6784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) ∘𝑓 · 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))))
616	103, 23, 185, 603, 605, 611, 615	offval2f 6784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 · 𝑃) ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 + ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) ∘𝑓 · 𝑃)) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))))
617	239, 601, 616	3eqtrd 2647	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))))
618	240, 563, 585	divcld 10652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 / (1 + 𝑏)) ∈ ℂ)
619	240	negcld 10230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → -𝐶 ∈ ℂ)
620	563, 619	cxpcld 24198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) ∈ ℂ)
621	618, 162, 620	mul32d 10097	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
622	240, 563, 620, 585	div32d 10675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝐶 · (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / (1 + 𝑏))))
623	563, 585, 619, 243	cxpsubd 24208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)) = (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / ((1 + 𝑏)↑𝑐1)))
624	563	cxp1d 24196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐1) = (1 + 𝑏))
625	624	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / ((1 + 𝑏)↑𝑐1)) = (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / (1 + 𝑏)))
626	623, 625	eqtr2d 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / (1 + 𝑏)) = ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
627	626	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / (1 + 𝑏))) = (𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
628	622, 627	eqtrd 2643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
629	628	oveq1d 6541	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) = ((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
630	621, 629	eqtrd 2643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = ((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
631	619, 243	subcld 10243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (-𝐶 − 1) ∈ ℂ)
632	563, 631	cxpcld 24198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)) ∈ ℂ)
633	240, 632	mulneg1d 10334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) = -(𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
634	633	oveq1d 6541	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) = (-(𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
635	240, 632	mulcld 9916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ ℂ)
636	635, 162	mulneg1d 10334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (-(𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) = -((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
637	634, 636	eqtrd 2643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) = -((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
638	630, 637	oveq12d 6544	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) = (((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) + -((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))))
639	635, 162	mulcld 9916	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) ∈ ℂ)
640	639	negidd 10233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) + -((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) = 0)
641	638, 640	eqtrd 2643	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) = 0)
642	641	mpteq2dva 4666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 0))
643	617, 642	eqtrd 2643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 0))
644		nfcv 2750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥0
645		eqidd 2610	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → 0 = 0)
646	24, 23, 4, 644, 645	cbvmptf 4670	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 0) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 0)
647	643, 646	syl6eqr 2661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 0))
648		c0ex 9890	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ V
649	648	snid 4154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ {0}
650	649	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 0 ∈ {0})
651	647, 650	fmpt3d 6277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))):𝐷⟶{0})
652		fdm 5949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℂ D (𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))):𝐷⟶{0} → dom (ℂ D (𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = 𝐷)
653	651, 652	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → dom (ℂ D (𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = 𝐷)
654		1cnd 9912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
655		0cnd 9889	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
656		dvconst 23430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {1})) = (ℂ × {0}))
657	198, 656	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℂ D (ℂ × {1})) = (ℂ × {0})
658		fconstmpt 5074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℂ × {1}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
659	658	oveq2i 6537	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℂ D (ℂ × {1})) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
660		fconstmpt 5074	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℂ × {0}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
661	657, 659, 660	3eqtr3i 2639	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
662	661	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
663	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐷 ⊆ ℂ)
664		fvex 6097	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ V
665		cnfldtps 22338	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
666		cnfldbas 19519	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
667		eqid 2609	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
668	666, 667	tpsuni 20500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℂfld ∈ TopSp → ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld))
669	665, 668	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
670	669	restid 15865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ V → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
671	664, 670	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
672	671	eqcomi 2618	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
673	667	cnfldtop 22344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
674		cnxmet 22333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
675	667	cnfldtopn 22342	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
676	675	blopn 22062	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
677	674, 405, 81, 676	mp3an 1415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
678	98, 677	eqeltri 2683	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
679		isopn3i 20643	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷)
680	673, 678, 679	mp2an 703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷
681	680	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷)
682	205, 654, 655, 662, 663, 672, 667, 681	dvmptres2 23475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 1)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 0))
683	194	oveq2i 6537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 1)) = (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1))
684	682, 683, 646	3eqtr3g 2666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 0))
685	642, 617, 684	3eqtr4d 2653	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)))
686		1rp 11670	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ+
687	73, 686	syl6eqel 2695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ ℝ+)
688		blcntr 21975	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 0 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
689	674, 405, 688	mp3an12 1405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
690	687, 689	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
691	690, 98	syl6eleqr 2698	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ 𝐷)
692		0zd 11224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
693		eqidd 2610	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) = ((𝑆‘0)‘𝑘))
694		nfv 1829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑏𝜑
695	23	nfel2 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑏0 ∈ 𝐷
696	694, 695	nfan 1815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑏(𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷)
697		nfv 1829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑘 ∈ ℕ0
698	696, 697	nfan 1815	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑏((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
699	10, 4	nffv 6094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑆‘0)
700	699, 29	nffv 6094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑏((𝑆‘0)‘𝑘)
701	700	nfel1 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑏((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ
702	698, 701	nfim 1812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑏(((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)
703		eleq1 2675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↔ 0 ∈ 𝐷))
704	703	anbi2d 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = 0 → ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷)))
705	704	anbi1d 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = 0 → (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)))
706		fveq2 6087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝑆‘𝑏) = (𝑆‘0))
707	706	fveq1d 6089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = 0 → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝑆‘0)‘𝑘))
708	707	eleq1d 2671	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = 0 → (((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ ↔ ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ))
709	705, 708	imbi12d 332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = 0 → ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ (((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)))
710	702, 648, 709, 145	vtoclf 3230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)
711	691, 710	syldanl 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)
712	4, 7, 699	nfseq 12630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑏seq0( + , (𝑆‘0))
713	712	nfel1 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑏seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝
714	696, 713	nfim 1812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑏((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝ )
715	706	seqeq3d 12628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = 0 → seq0( + , (𝑆‘𝑏)) = seq0( + , (𝑆‘0)))
716	715	eleq1d 2671	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = 0 → (seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝ ))
717	704, 716	imbi12d 332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = 0 → (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝ )))
718	714, 648, 717, 160	vtoclf 3230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝ )
719	691, 718	syldan 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝ )
720	112, 692, 693, 711, 719	isum1p 14360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) = (((𝑆‘0)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))((𝑆‘0)‘𝑘)))
721	134	adantlr 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
722	721	adantlr 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
723		simplr 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 0)
724	723	oveq1d 6541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑𝑘) = (0↑𝑘))
725	722, 724	oveq12d 6544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)))
726	725	mpteq2dva 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))))
727	121	mptex 6367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))) ∈ V
728	727	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))) ∈ V)
729	521, 726, 99, 728	fvmptd 6181	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑆‘0) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))))
730		simpr 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
731	730	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑐0))
732	730	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → (0↑𝑘) = (0↑0))
733	731, 732	oveq12d 6544	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐0) · (0↑0)))
734	484	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
735		ovex 6554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐶C𝑐0) · (0↑0)) ∈ V
736	735	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐0) · (0↑0)) ∈ V)
737	729, 733, 734, 736	fvmptd 6181	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘0) = ((𝐶C𝑐0) · (0↑0)))
738	71	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
739	738	bccn0 37347	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐0) = 1)
740	99	exp0d 12821	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (0↑0) = 1)
741	739, 740	oveq12d 6544	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐0) · (0↑0)) = (1 · 1))
742		1t1e1 11024	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 · 1) = 1
743	742	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1 · 1) = 1)
744	737, 741, 743	3eqtrd 2647	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘0) = 1)
745		ovex 6554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)) ∈ V
746	745	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)) ∈ V)
747	729, 746	fvmpt2d 6186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)))
748	246, 747	sylan2 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘0)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)))
749		simpr 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
750	749	0expd 12843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0↑𝑘) = 0)
751	750	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · 0))
752	529	adantlr 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
753	246, 752	sylan2 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
754	753	mul01d 10086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐𝑘) · 0) = 0)
755	748, 751, 754	3eqtrd 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘0)‘𝑘) = 0)
756	755	sumeq2dv 14229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑆‘0)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ 0)
757	451	sumeq1i 14224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑆‘0)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))((𝑆‘0)‘𝑘)
758	244	eqimssi 3621	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1)
759	758	orci 403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℕ ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ ℕ ∈ Fin)
760		sumz 14248	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℕ ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ ℕ ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ ℕ 0 = 0)
761	759, 760	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ 0 = 0
762	756, 757, 761	3eqtr3g 2666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))((𝑆‘0)‘𝑘) = 0)
763	744, 762	oveq12d 6544	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((𝑆‘0)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))((𝑆‘0)‘𝑘)) = (1 + 0))
764	720, 763	eqtrd 2643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) = (1 + 0))
765		1p0e1 10982	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + 0) = 1
766	765	oveq1i 6536	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 + 0)↑𝑐-𝐶) = (1↑𝑐-𝐶)
767	738	negcld 10230	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → -𝐶 ∈ ℂ)
768	767	1cxpd 24197	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1↑𝑐-𝐶) = 1)
769	766, 768	syl5eq 2655	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 + 0)↑𝑐-𝐶) = 1)
770	764, 769	oveq12d 6544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) · ((1 + 0)↑𝑐-𝐶)) = ((1 + 0) · 1))
771	765	oveq1i 6536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 + 0) · 1) = (1 · 1)
772	771, 742	eqtri 2631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 + 0) · 1) = 1
773	770, 772	syl6eq 2659	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) · ((1 + 0)↑𝑐-𝐶)) = 1)
774		ffn 5943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃:𝐷⟶ℂ → 𝑃 Fn 𝐷)
775	164, 774	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 Fn 𝐷)
776		ffn 5943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)):𝐷⟶ℂ → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) Fn 𝐷)
777	177, 776	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) Fn 𝐷)
778	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘)))
779		simplr 787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑥 = 0)
780	779	fveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘0))
781	780	fveq1d 6089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) = ((𝑆‘0)‘𝑘))
782	781	sumeq2dv 14229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘))
783		simpr 475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → 0 ∈ 𝐷)
784		sumex 14214	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ V
785	784	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ V)
786	778, 782, 783, 785	fvmptd 6181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → (𝑃‘0) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘))
787	176	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶)))
788		simpr 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
789	788	oveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) → (1 + 𝑥) = (1 + 0))
790	789	oveq1d 6541	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) → ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) = ((1 + 0)↑𝑐-𝐶))
791		ovex 6554	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 + 0)↑𝑐-𝐶) ∈ V
792	791	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → ((1 + 0)↑𝑐-𝐶) ∈ V)
793	787, 790, 783, 792	fvmptd 6181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))‘0) = ((1 + 0)↑𝑐-𝐶))
794	775, 777, 185, 185, 186, 786, 793	ofval 6781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → ((𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))‘0) = (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) · ((1 + 0)↑𝑐-𝐶)))
795	691, 794	mpdan 698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))‘0) = (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) · ((1 + 0)↑𝑐-𝐶)))
796	195	fveq1i 6088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 × {1})‘0) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)‘0)
797	188	fvconst2 6351	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ 𝐷 → ((𝐷 × {1})‘0) = 1)
798	691, 797	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐷 × {1})‘0) = 1)
799	796, 798	syl5eqr 2657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)‘0) = 1)
800	773, 795, 799	3eqtr4d 2653	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))‘0) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)‘0))
801	98, 99, 100, 187, 203, 653, 685, 691, 800	dv11cn 23512	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1))
802	801	oveq1d 6541	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 / (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1) ∘𝑓 / (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))))
803		nfv 1829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑏(1 + 𝑥) ≠ 0
804	105, 803	nfim 1812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑏(((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑥) ≠ 0)
805	174	neeq1d 2840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((1 + 𝑏) ≠ 0 ↔ (1 + 𝑥) ≠ 0))
806	109, 805	imbi12d 332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑏) ≠ 0) ↔ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑥) ≠ 0)))
807	804, 806, 585	chvar 2249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑥) ≠ 0)
808	168, 807, 170	cxpne0d 24203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ≠ 0)
809		eldifsn 4259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ∈ ℂ ∧ ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ≠ 0))
810	171, 808, 809	sylanbrc 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}))
811	810, 176	fmptd 6276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)):𝐷⟶(ℂ ∖ {0}))
812		ofdivcan4 37331	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝑃:𝐷⟶ℂ ∧ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)):𝐷⟶(ℂ ∖ {0})) → ((𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 / (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = 𝑃)
813	185, 164, 811, 812	syl3anc 1317	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑃 ∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 / (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = 𝑃)
814		eqidd 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1))
815	103, 23, 185, 243, 620, 814, 610	offval2f 6784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1) ∘𝑓 / (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))))
816	802, 813, 815	3eqtr3d 2651	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))))
817	563, 585, 619	cxpnegd 24205	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐--𝐶) = (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))
818	240	negnegd 10234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → --𝐶 = 𝐶)
819	818	oveq2d 6542	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐--𝐶) = ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶))
820	817, 819	eqtr3d 2645	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶))
821	820	mpteq2dva 4666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶)))
822	816, 821	eqtrd 2643	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶)))
823		nfcv 2750	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶)
824		nfcv 2750	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶)
825	174	oveq1d 6541	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶) = ((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶))
826	23, 24, 823, 824, 825	cbvmptf 4670	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶))
827	822, 826	syl6eq 2659	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶)))
828		simpr 475	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) → 𝑥 = (𝐵 / 𝐴))
829	828	oveq2d 6542	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) → (1 + 𝑥) = (1 + (𝐵 / 𝐴)))
830	829	oveq1d 6541	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) → ((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶) = ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶))
831		1cnd 9912	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
832	831, 60	addcld 9915	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1 + (𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
833	832, 738	cxpcld 24198	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
834	827, 830, 91, 833	fvmptd 6181	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃‘(𝐵 / 𝐴)) = ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶))
835	721	adantlr 746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
836		simplr 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = (𝐵 / 𝐴))
837	836	oveq1d 6541	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑𝑘) = ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))
838	835, 837	oveq12d 6544	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)))
839	838	mpteq2dva 4666	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))))
840	121	mptex 6367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))) ∈ V
841	840	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))) ∈ V)
842	521, 839, 60, 841	fvmptd 6181	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑆‘(𝐵 / 𝐴)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))))
843		ovex 6554	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) ∈ V
844	843	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) ∈ V)
845	842, 844	fvmpt2d 6186	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)))
846	845	sumeq2dv 14229	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)))
847	94, 834, 846	3eqtr3d 2651	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)))
848	847	oveq1d 6541	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)))
849	43, 46	rerpdivcld 11737	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ)
850	849	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ)
851	66, 850	readdcld 9925	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1 + (𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
852		df-neg 10120	. . . . . . 7 ⊢ -(𝐵 / 𝐴) = (0 − (𝐵 / 𝐴))
853	849	recnd 9924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
854	853	negcld 10230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -(𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
855	854	abscld 13971	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
856		1red 9911	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
857	853	absnegd 13984	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) = (abs‘(𝐵 / 𝐴)))
858	46	rpne0d 11711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
859	44, 47, 858	absdivd 13990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) = ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)))
860	857, 859	eqtrd 2643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) = ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)))
861	44	abscld 13971	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
862	686	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
863	47, 858	absrpcld 13983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
864	861	recnd 9924	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) ∈ ℂ)
865	864	div1d 10644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐵) / 1) = (abs‘𝐵))
866	865, 53	eqbrtrd 4599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐵) / 1) < (abs‘𝐴))
867	861, 862, 863, 866	ltdiv23d 11771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)) < 1)
868	860, 867	eqbrtrd 4599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) < 1)
869	855, 856, 868	ltled 10036	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) ≤ 1)
870	849	renegcld 10308	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ)
871	870, 856	absled 13965	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘-(𝐵 / 𝐴)) ≤ 1 ↔ (-1 ≤ -(𝐵 / 𝐴) ∧ -(𝐵 / 𝐴) ≤ 1)))
872	869, 871	mpbid 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-1 ≤ -(𝐵 / 𝐴) ∧ -(𝐵 / 𝐴) ≤ 1))
873	872	simprd 477	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(𝐵 / 𝐴) ≤ 1)
874	852, 873	syl5eqbrr 4613	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 − (𝐵 / 𝐴)) ≤ 1)
875		0red 9897	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
876	875, 849, 856	lesubaddd 10475	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0 − (𝐵 / 𝐴)) ≤ 1 ↔ 0 ≤ (1 + (𝐵 / 𝐴))))
877	874, 876	mpbid 220	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 + (𝐵 / 𝐴)))
878	877	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (1 + (𝐵 / 𝐴)))
879	46	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ+)
880	879	rpred 11706	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
881	879	rpge0d 11710	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
882	851, 878, 880, 881, 738	mulcxpd 24218	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((1 + (𝐵 / 𝐴)) · 𝐴)↑𝑐𝐶) = (((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) · (𝐴↑𝑐𝐶)))
883	831, 60, 48	adddird 9921	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐵 / 𝐴)) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + ((𝐵 / 𝐴) · 𝐴)))
884	48	mulid2d 9914	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
885	45, 48, 59	divcan1d 10653	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐵 / 𝐴) · 𝐴) = 𝐵)
886	884, 885	oveq12d 6544	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 · 𝐴) + ((𝐵 / 𝐴) · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐵))
887	883, 886	eqtrd 2643	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐵 / 𝐴)) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
888	887	oveq1d 6541	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((1 + (𝐵 / 𝐴)) · 𝐴)↑𝑐𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶))
889	882, 888	eqtr3d 2645	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶))
890	60	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
891		simpr 475	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
892	890, 891	expcld 12827	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
893	752, 892	mulcld 9916	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) ∈ ℂ)
894	46, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 157, 2	binomcxplemcvg 37358	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ ))
895	894	simpld 473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ )
896	91, 895	syldan 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( + , (𝑆‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ )
897	48, 738	cxpcld 24198	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
898	112, 692, 845, 893, 896, 897	isummulc1 14284	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)))
899	44	ad2antrr 757	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
900	47	ad2antrr 757	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
901	858	ad2antrr 757	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≠ 0)
902	899, 900, 901	divrecd 10655	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) = (𝐵 · (1 / 𝐴)))
903	902	oveq1d 6541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘) = ((𝐵 · (1 / 𝐴))↑𝑘))
904	900, 901	reccld 10645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
905	899, 904, 891	mulexpd 12842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵 · (1 / 𝐴))↑𝑘) = ((𝐵↑𝑘) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)))
906	903, 905	eqtrd 2643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘) = ((𝐵↑𝑘) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)))
907	906	oveq2d 6542	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵↑𝑘) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))))
908	899, 891	expcld 12827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
909	904, 891	expcld 12827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
910	752, 908, 909	mulassd 9919	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵↑𝑘) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))))
911	907, 910	eqtr4d 2646	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)))
912	911	oveq1d 6541	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = ((((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)))
913	752, 908	mulcld 9916	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℂ)
914	897	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
915	913, 909, 914	mul32d 10097	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = ((((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)))
916	913, 914, 909	mulassd 9919	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((𝐴↑𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))))
917	912, 915, 916	3eqtrd 2647	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((𝐴↑𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))))
918	891	nn0cnd 11202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
919	900, 918	cxpcld 24198	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝑘) ∈ ℂ)
920	900, 901, 918	cxpne0d 24203	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝑘) ≠ 0)
921	914, 919, 920	divrecd 10655	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐𝐶) / (𝐴↑𝑐𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐶) · (1 / (𝐴↑𝑐𝑘))))
922	71	ad2antrr 757	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
923	900, 901, 922, 918	cxpsubd 24208	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐶) / (𝐴↑𝑐𝑘)))
924	891	nn0zd 11314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
925	900, 901, 924	exprecd 12835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) = (1 / (𝐴↑𝑘)))
926		cxpexp 24158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝑘) = (𝐴↑𝑘))
927	900, 891, 926	syl2anc 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝑘) = (𝐴↑𝑘))
928	927	oveq2d 6542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (𝐴↑𝑐𝑘)) = (1 / (𝐴↑𝑘)))
929	925, 928	eqtr4d 2646	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) = (1 / (𝐴↑𝑐𝑘)))
930	929	oveq2d 6542	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐶) · (1 / (𝐴↑𝑐𝑘))))
931	921, 923, 930	3eqtr4rd 2654	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) = (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)))
932	931	oveq2d 6542	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((𝐴↑𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘))))
933	922, 918	subcld 10243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ)
934	900, 933	cxpcld 24198	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) ∈ ℂ)
935	752, 908, 934	mul32d 10097	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘))) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘))) · (𝐵↑𝑘)))
936	917, 932, 935	3eqtrd 2647	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘))) · (𝐵↑𝑘)))
937	752, 934, 908	mulassd 9919	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘))) · (𝐵↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
938	936, 937	eqtrd 2643	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
939	938	sumeq2dv 14229	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
940	898, 939	eqtrd 2643	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
941	848, 889, 940	3eqtr3d 2651	1 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 194   ∨ wo 381   ∧ wa 382   ∧ w3a 1030   = wceq 1474   ∈ wcel 1976   ≠ wne 2779  {crab 2899  Vcvv 3172   ∖ cdif 3536   ⊆ wss 3539  {csn 4124  {cpr 4126  ∪ cuni 4366   class class class wbr 4577   ↦ cmpt 4637   × cxp 5025  ^◡ccnv 5026  dom cdm 5027   “ cima 5030   ∘ ccom 5031  Rel wrel 5032   Fn wfn 5784  ⟶wf 5785  ‘cfv 5789  (class class class)co 6526   ∘_𝑓 cof 6770  Fincfn 7818  supcsup 8206  ℂcc 9790  ℝcr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  ℝ^*cxr 9929   < clt 9930   ≤ cle 9931   − cmin 10117  -cneg 10118   / cdiv 10535  ℕcn 10869  ℕ₀cn0 11141  ℤcz 11212  ℤ_≥cuz 11521  ℝ⁺crp 11666  [,)cico 12006  seqcseq 12620  ↑cexp 12679   shift cshi 13602  abscabs 13770   ⇝ cli 14011  Σcsu 14212   ↾_t crest 15852  TopOpenctopn 15853  ∞Metcxmt 19500  ballcbl 19502  ℂ_fldccnfld 19515  Topctop 20464  TopSpctps 20466  intcnt 20578   D cdv 23377  ↑_𝑐ccxp 24050  C_𝑐cbcc 37340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-se 4987  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-isom 5798  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-n0 11142  df-z 11213  df-dec 11328  df-uz 11522  df-q 11623  df-rp 11667  df-xneg 11780  df-xadd 11781  df-xmul 11782  df-ioo 12008  df-ioc 12009  df-ico 12010  df-icc 12011  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-fl 12412  df-mod 12488  df-seq 12621  df-exp 12680  df-fac 12880  df-bc 12909  df-hash 12937  df-shft 13603  df-cj 13635  df-re 13636  df-im 13637  df-sqrt 13771  df-abs 13772  df-limsup 13998  df-clim 14015  df-rlim 14016  df-sum 14213  df-prod 14423  df-risefac 14524  df-fallfac 14525  df-ef 14585  df-sin 14587  df-cos 14588  df-tan 14589  df-pi 14590  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-ress 15650  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-starv 15731  df-sca 15732  df-vsca 15733  df-ip 15734  df-tset 15735  df-ple 15736  df-ds 15739  df-unif 15740  df-hom 15741  df-cco 15742  df-rest 15854  df-topn 15855  df-0g 15873  df-gsum 15874  df-topgen 15875  df-pt 15876  df-prds 15879  df-xrs 15933  df-qtop 15938  df-imas 15939  df-xps 15941  df-mre 16017  df-mrc 16018  df-acs 16020  df-mgm 17013  df-sgrp 17055  df-mnd 17066  df-submnd 17107  df-mulg 17312  df-cntz 17521  df-cmn 17966  df-psmet 19507  df-xmet 19508  df-met 19509  df-bl 19510  df-mopn 19511  df-fbas 19512  df-fg 19513  df-cnfld 19516  df-top 20468  df-bases 20469  df-topon 20470  df-topsp 20471  df-cld 20580  df-ntr 20581  df-cls 20582  df-nei 20659  df-lp 20697  df-perf 20698  df-cn 20788  df-cnp 20789  df-haus 20876  df-cmp 20947  df-tx 21122  df-hmeo 21315  df-fil 21407  df-fm 21499  df-flim 21500  df-flf 21501  df-xms 21882  df-ms 21883  df-tms 21884  df-cncf 22436  df-limc 23380  df-dv 23381  df-ulm 23879  df-log 24051  df-cxp 24052  df-bcc 37341

This theorem is referenced by:  binomcxp  37361