Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | binomcxplem.p |
. . . . . . 7
⊢ 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) |
2 | | binomcxplem.d |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝐷 = (◡abs “ (0[,)𝑅)) |
3 | | nfcv 2793 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑏◡abs |
4 | | nfcv 2793 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑏0 |
5 | | nfcv 2793 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑏[,) |
6 | | binomcxplem.r |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*,
< ) |
7 | | nfcv 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Ⅎ𝑏
+ |
8 | | binomcxplem.s |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) |
9 | | nfmpt1 4780 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) |
10 | 8, 9 | nfcxfr 2791 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
Ⅎ𝑏𝑆 |
11 | | nfcv 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
Ⅎ𝑏𝑟 |
12 | 10, 11 | nffv 6236 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Ⅎ𝑏(𝑆‘𝑟) |
13 | 4, 7, 12 | nfseq 12851 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑏seq0(
+ , (𝑆‘𝑟)) |
14 | 13 | nfel1 2808 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑏seq0( + ,
(𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ |
15 | | nfcv 2793 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑏ℝ |
16 | 14, 15 | nfrab 3153 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑏{𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } |
17 | | nfcv 2793 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑏ℝ* |
18 | | nfcv 2793 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑏
< |
19 | 16, 17, 18 | nfsup 8398 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑏sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*,
< ) |
20 | 6, 19 | nfcxfr 2791 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑏𝑅 |
21 | 4, 5, 20 | nfov 6716 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑏(0[,)𝑅) |
22 | 3, 21 | nfima 5509 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑏(◡abs
“ (0[,)𝑅)) |
23 | 2, 22 | nfcxfr 2791 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑏𝐷 |
24 | | nfcv 2793 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑥𝐷 |
25 | | nfcv 2793 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) |
26 | | nfcv 2793 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑏ℕ0 |
27 | | nfcv 2793 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑏𝑥 |
28 | 10, 27 | nffv 6236 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑏(𝑆‘𝑥) |
29 | | nfcv 2793 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑏𝑘 |
30 | 28, 29 | nffv 6236 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑏((𝑆‘𝑥)‘𝑘) |
31 | 26, 30 | nfsum 14465 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑏Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) |
32 | | simpl 472 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 𝑥) |
33 | 32 | fveq2d 6233 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑏) = (𝑆‘𝑥)) |
34 | 33 | fveq1d 6231 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝑆‘𝑥)‘𝑘)) |
35 | 34 | sumeq2dv 14477 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑏 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘)) |
36 | 23, 24, 25, 31, 35 | cbvmptf 4781 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘)) |
37 | 1, 36 | eqtri 2673 |
. . . . . 6
⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘)) |
38 | 37 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘))) |
39 | | simplr 807 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) |
40 | 39 | fveq2d 6233 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘(𝐵 / 𝐴))) |
41 | 40 | fveq1d 6231 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) = ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘)) |
42 | 41 | sumeq2dv 14477 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘)) |
43 | | binomcxp.b |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) |
44 | 43 | recnd 10106 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) |
45 | 44 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈
ℂ) |
46 | | binomcxp.a |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈
ℝ+) |
47 | 46 | rpcnd 11912 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
48 | 47 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈
ℂ) |
49 | | 0red 10079 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈
ℝ) |
50 | 45 | abscld 14219 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(abs‘𝐵) ∈
ℝ) |
51 | 48 | abscld 14219 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(abs‘𝐴) ∈
ℝ) |
52 | 45 | absge0d 14227 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤
(abs‘𝐵)) |
53 | | binomcxp.lt |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴)) |
54 | 53 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(abs‘𝐵) <
(abs‘𝐴)) |
55 | 49, 50, 51, 52, 54 | lelttrd 10233 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 <
(abs‘𝐴)) |
56 | 55 | gt0ne0d 10630 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(abs‘𝐴) ≠
0) |
57 | 48 | abs00ad 14074 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
((abs‘𝐴) = 0 ↔
𝐴 = 0)) |
58 | 57 | necon3bid 2867 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
((abs‘𝐴) ≠ 0
↔ 𝐴 ≠
0)) |
59 | 56, 58 | mpbid 222 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≠ 0) |
60 | 45, 48, 59 | divcld 10839 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ) |
61 | 60 | abscld 14219 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈
ℝ) |
62 | 60 | absge0d 14227 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤
(abs‘(𝐵 / 𝐴))) |
63 | 51 | recnd 10106 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(abs‘𝐴) ∈
ℂ) |
64 | 63 | mulid1d 10095 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
((abs‘𝐴) · 1)
= (abs‘𝐴)) |
65 | 54, 64 | breqtrrd 4713 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(abs‘𝐵) <
((abs‘𝐴) ·
1)) |
66 | | 1red 10093 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈
ℝ) |
67 | 51, 55 | elrpd 11907 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(abs‘𝐴) ∈
ℝ+) |
68 | 50, 66, 67 | ltdivmuld 11961 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(((abs‘𝐵) /
(abs‘𝐴)) < 1
↔ (abs‘𝐵) <
((abs‘𝐴) ·
1))) |
69 | 65, 68 | mpbird 247 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
((abs‘𝐵) /
(abs‘𝐴)) <
1) |
70 | 45, 48, 59 | absdivd 14238 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(abs‘(𝐵 / 𝐴)) = ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴))) |
71 | | binomcxp.c |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ) |
72 | | binomcxplem.f |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)) |
73 | 46, 43, 53, 71, 72, 8, 6 | binomcxplemradcnv 38868 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = 1) |
74 | 69, 70, 73 | 3brtr4d 4717 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(abs‘(𝐵 / 𝐴)) < 𝑅) |
75 | | 0re 10078 |
. . . . . . . 8
⊢ 0 ∈
ℝ |
76 | | ssrab2 3720 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( +
, (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆
ℝ |
77 | | ressxr 10121 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ℝ
⊆ ℝ* |
78 | 76, 77 | sstri 3645 |
. . . . . . . . . 10
⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( +
, (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆
ℝ* |
79 | | supxrcl 12183 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( +
, (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆
ℝ* → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*,
< ) ∈ ℝ*) |
80 | 78, 79 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
⊢
sup({𝑟 ∈
ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*,
< ) ∈ ℝ* |
81 | 6, 80 | eqeltri 2726 |
. . . . . . . 8
⊢ 𝑅 ∈
ℝ* |
82 | | elico2 12275 |
. . . . . . . 8
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ 𝑅
∈ ℝ*) → ((abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
(abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) < 𝑅))) |
83 | 75, 81, 82 | mp2an 708 |
. . . . . . 7
⊢
((abs‘(𝐵 /
𝐴)) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
(abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) < 𝑅)) |
84 | 61, 62, 74, 83 | syl3anbrc 1265 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅)) |
85 | 2 | eleq2i 2722 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (𝐵 / 𝐴) ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅))) |
86 | | absf 14121 |
. . . . . . . 8
⊢
abs:ℂ⟶ℝ |
87 | | ffn 6083 |
. . . . . . . 8
⊢
(abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ) |
88 | | elpreima 6377 |
. . . . . . . 8
⊢ (abs Fn
ℂ → ((𝐵 / 𝐴) ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅)))) |
89 | 86, 87, 88 | mp2b 10 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅))) |
90 | 85, 89 | bitri 264 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅))) |
91 | 60, 84, 90 | sylanbrc 699 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷) |
92 | | sumex 14462 |
. . . . . 6
⊢
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘) ∈ V |
93 | 92 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘) ∈ V) |
94 | 38, 42, 91, 93 | fvmptd 6327 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃‘(𝐵 / 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘)) |
95 | | eqid 2651 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (abs
∘ − ) = (abs ∘ − ) |
96 | 95 | cnbl0 22624 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑅 ∈ ℝ*
→ (◡abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘
− ))𝑅)) |
97 | 81, 96 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ −
))𝑅) |
98 | 2, 97 | eqtri 2673 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝐷 = (0(ball‘(abs ∘
− ))𝑅) |
99 | | 0cnd 10071 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈
ℂ) |
100 | 81 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈
ℝ*) |
101 | | mulcl 10058 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ) |
102 | 101 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ) |
103 | | nfv 1883 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑏(𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈
ℕ0) |
104 | 23 | nfcri 2787 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑏 𝑥 ∈ 𝐷 |
105 | 103, 104 | nfan 1868 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑏((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) |
106 | 31 | nfel1 2808 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑏Σ𝑘 ∈ ℕ0
((𝑆‘𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ |
107 | 105, 106 | nfim 1865 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑏(((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ) |
108 | | eleq1 2718 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑏 = 𝑥 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↔ 𝑥 ∈ 𝐷)) |
109 | 108 | anbi2d 740 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑏 = 𝑥 → (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷))) |
110 | 35 | eleq1d 2715 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑏 = 𝑥 → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ0
((𝑆‘𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ)) |
111 | 109, 110 | imbi12d 333 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ))) |
112 | | nn0uz 11760 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
ℕ0 = (ℤ≥‘0) |
113 | | 0zd 11427 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 0 ∈ ℤ) |
114 | | eqidd 2652 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) |
115 | | cnvimass 5520 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs |
116 | 2, 115 | eqsstri 3668 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ 𝐷 ⊆ dom
abs |
117 | 86 | fdmi 6090 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ dom abs =
ℂ |
118 | 116, 117 | sseqtri 3670 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ 𝐷 ⊆
ℂ |
119 | 118 | sseli 3632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → 𝑏 ∈ ℂ) |
120 | 8 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))) |
121 | | nn0ex 11336 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
ℕ0 ∈ V |
122 | 121 | mptex 6527 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) ∈ V |
123 | 122 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) ∈ V) |
124 | 120, 123 | fvmpt2d 6332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑆‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) |
125 | | ovexd 6720 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) ∈ V) |
126 | 124, 125 | fvmpt2d 6332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) |
127 | 72 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))) |
128 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘) |
129 | 128 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑘)) |
130 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈
ℕ0) |
131 | | ovexd 6720 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ V) |
132 | 127, 129,
130, 131 | fvmptd 6327 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘)) |
133 | 132 | oveq1d 6705 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))) |
134 | 133 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))) |
135 | 126, 134 | eqtrd 2685 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))) |
136 | 119, 135 | sylanl2 684 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))) |
137 | 71 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈
ℂ) |
138 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈
ℕ0) |
139 | 137, 138 | bcccl 38855 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈
ℂ) |
140 | 119 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈
ℂ) |
141 | 140, 138 | expcld 13048 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑𝑘) ∈ ℂ) |
142 | 139, 141 | mulcld 10098 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ) |
143 | 136, 142 | eqeltrd 2730 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ) |
144 | 143 | adantllr 755 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ) |
145 | | eleq1 2718 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ 𝑏 ∈ 𝐷)) |
146 | 145 | anbi2d 740 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 = 𝑏 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ↔ (𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷))) |
147 | | fveq2 6229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝑏)) |
148 | 147 | seqeq3d 12849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = 𝑏 → seq0( + , (𝑆‘𝑥)) = seq0( + , (𝑆‘𝑏))) |
149 | 148 | eleq1d 2715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = 𝑏 → (seq0( + , (𝑆‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ )) |
150 | | fveq2 6229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝐸‘𝑥) = (𝐸‘𝑏)) |
151 | 150 | seqeq3d 12849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = 𝑏 → seq1( + , (𝐸‘𝑥)) = seq1( + , (𝐸‘𝑏))) |
152 | 151 | eleq1d 2715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = 𝑏 → (seq1( + , (𝐸‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ )) |
153 | 149, 152 | anbi12d 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 = 𝑏 → ((seq0( + , (𝑆‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ) ↔ (seq0( + ,
(𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ))) |
154 | 146, 153 | imbi12d 333 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 = 𝑏 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑥)) ∈ dom ⇝ )) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ )))) |
155 | | binomcxplem.e |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) |
156 | 46, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 155, 2 | binomcxplemcvg 38870 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑥)) ∈ dom ⇝ )) |
157 | 154, 156 | chvarv 2299 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ )) |
158 | 157 | simpld 474 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ) |
159 | 158 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ) |
160 | 112, 113,
114, 144, 159 | isumcl 14536 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ) |
161 | 107, 111,
160 | chvar 2298 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ) |
162 | 161, 37 | fmptd 6425 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃:𝐷⟶ℂ) |
163 | | 1cnd 10094 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℂ) |
164 | 118 | sseli 3632 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ) |
165 | 164 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ ℂ) |
166 | 163, 165 | addcld 10097 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑥) ∈ ℂ) |
167 | 71 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ) |
168 | 167 | negcld 10417 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → -𝐶 ∈ ℂ) |
169 | 166, 168 | cxpcld 24499 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ∈ ℂ) |
170 | | nfcv 2793 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑥((1 +
𝑏)↑𝑐-𝐶) |
171 | | nfcv 2793 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑏((1 +
𝑥)↑𝑐-𝐶) |
172 | | oveq2 6698 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑏 = 𝑥 → (1 + 𝑏) = (1 + 𝑥)) |
173 | 172 | oveq1d 6705 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) = ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶)) |
174 | 23, 24, 170, 171, 173 | cbvmptf 4781 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶)) |
175 | 169, 174 | fmptd 6425 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)):𝐷⟶ℂ) |
176 | | cnex 10055 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ℂ
∈ V |
177 | | fex 6530 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈
V) |
178 | 86, 176, 177 | mp2an 708 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ abs
∈ V |
179 | 178 | cnvex 7155 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ◡abs ∈ V |
180 | | imaexg 7145 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (◡abs ∈ V → (◡abs “ (0[,)𝑅)) ∈ V) |
181 | 179, 180 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ∈ V |
182 | 2, 181 | eqeltri 2726 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝐷 ∈ V |
183 | 182 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ V) |
184 | | inidm 3855 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐷 ∩ 𝐷) = 𝐷 |
185 | 102, 162,
175, 183, 183, 184 | off 6954 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∘𝑓
· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))):𝐷⟶ℂ) |
186 | | 1ex 10073 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 1 ∈
V |
187 | 186 | fconst 6129 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐷 × {1}):𝐷⟶{1} |
188 | | fconstmpt 5197 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐷 × {1}) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 1) |
189 | | nfcv 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Ⅎ𝑏1 |
190 | | nfcv 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Ⅎ𝑥1 |
191 | | eqidd 2652 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 = 𝑏 → 1 = 1) |
192 | 24, 23, 189, 190, 191 | cbvmptf 4781 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 1) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1) |
193 | 188, 192 | eqtri 2673 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐷 × {1}) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1) |
194 | 193 | feq1i 6074 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐷 × {1}):𝐷⟶{1} ↔ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟶{1}) |
195 | 187, 194 | mpbi 220 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟶{1} |
196 | | ax-1cn 10032 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 1 ∈
ℂ |
197 | | snssi 4371 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (1 ∈
ℂ → {1} ⊆ ℂ) |
198 | 196, 197 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ {1}
⊆ ℂ |
199 | | fss 6094 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟶{1} ∧ {1} ⊆ ℂ)
→ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟶ℂ) |
200 | 195, 198,
199 | mp2an 708 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟶ℂ |
201 | 200 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟶ℂ) |
202 | | cnelprrecn 10067 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ℂ
∈ {ℝ, ℂ} |
203 | 202 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ℂ
∈ {ℝ, ℂ}) |
204 | 46, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 155, 2, 1 | binomcxplemdvsum 38871 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))) |
205 | 204 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ
D 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))) |
206 | | nfcv 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) |
207 | | nfcv 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
Ⅎ𝑏ℕ |
208 | | nfmpt1 4780 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) |
209 | 155, 208 | nfcxfr 2791 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
Ⅎ𝑏𝐸 |
210 | 209, 27 | nffv 6236 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
Ⅎ𝑏(𝐸‘𝑥) |
211 | 210, 29 | nffv 6236 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
Ⅎ𝑏((𝐸‘𝑥)‘𝑘) |
212 | 207, 211 | nfsum 14465 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
Ⅎ𝑏Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑥)‘𝑘) |
213 | | simpl 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑏 = 𝑥) |
214 | 213 | fveq2d 6233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐸‘𝑏) = (𝐸‘𝑥)) |
215 | 214 | fveq1d 6231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐸‘𝑥)‘𝑘)) |
216 | 215 | sumeq2dv 14477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑏 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑥)‘𝑘)) |
217 | 23, 24, 206, 212, 216 | cbvmptf 4781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑥)‘𝑘)) |
218 | 205, 217 | syl6eq 2701 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ
D 𝑃) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑥)‘𝑘))) |
219 | | sumex 14462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
Σ𝑘 ∈
ℕ ((𝐸‘𝑥)‘𝑘) ∈ V |
220 | 219 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑥)‘𝑘) ∈ V) |
221 | 218, 220 | fmpt3d 6426 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ
D 𝑃):𝐷⟶V) |
222 | | fdm 6089 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((ℂ
D 𝑃):𝐷⟶V → dom (ℂ D 𝑃) = 𝐷) |
223 | 221, 222 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → dom
(ℂ D 𝑃) = 𝐷) |
224 | 46, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 155, 2 | binomcxplemdvbinom 38869 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ
D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))) |
225 | | nfcv 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
Ⅎ𝑥(-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) |
226 | | nfcv 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
Ⅎ𝑏(-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1))) |
227 | 172 | oveq1d 6705 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)) = ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1))) |
228 | 227 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑏 = 𝑥 → (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) = (-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) |
229 | 23, 24, 225, 226, 228 | cbvmptf 4781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) |
230 | 224, 229 | syl6eq 2701 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ
D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1))))) |
231 | 168, 163 | subcld 10430 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (-𝐶 − 1) ∈ ℂ) |
232 | 166, 231 | cxpcld 24499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1)) ∈
ℂ) |
233 | 168, 232 | mulcld 10098 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈
ℂ) |
234 | 230, 233 | fmpt3d 6426 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ
D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))):𝐷⟶ℂ) |
235 | | fdm 6089 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((ℂ
D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))):𝐷⟶ℂ → dom (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = 𝐷) |
236 | 234, 235 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → dom
(ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = 𝐷) |
237 | 203, 162,
175, 223, 236 | dvmulf 23751 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ
D (𝑃
∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (((ℂ D 𝑃) ∘𝑓 ·
(𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 + ((ℂ
D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 ·
𝑃))) |
238 | 71 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ) |
239 | 238 | mulid1d 10095 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · 1) = 𝐶) |
240 | 239 | oveq1d 6705 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 · 1) + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) = (𝐶 + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))))) |
241 | | 1cnd 10094 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℂ) |
242 | | nnuz 11761 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ℕ =
(ℤ≥‘1) |
243 | | 1zzd 11446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℤ) |
244 | | nnnn0 11337 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈
ℕ0) |
245 | 244, 136 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))) |
246 | 245 | adantllr 755 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))) |
247 | 71 | ad3antrrr 766 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈
ℂ) |
248 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈
ℕ0) |
249 | 247, 248 | bcccl 38855 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈
ℂ) |
250 | 244, 249 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ) |
251 | 119 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ ℂ) |
252 | 251 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈
ℂ) |
253 | 252, 248 | expcld 13048 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑𝑘) ∈ ℂ) |
254 | 244, 253 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑𝑘) ∈ ℂ) |
255 | 250, 254 | mulcld 10098 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ) |
256 | | 1nn0 11346 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ 1 ∈
ℕ0 |
257 | 256 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 1 ∈
ℕ0) |
258 | 112, 257,
143 | iserex 14431 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ )) |
259 | 158, 258 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ) |
260 | 259 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ) |
261 | 242, 243,
246, 255, 260 | isumcl 14536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ) |
262 | 238, 241,
261 | adddid 10102 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) = ((𝐶 · 1) + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))))) |
263 | 155 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))) |
264 | | nnex 11064 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ℕ
∈ V |
265 | 264 | mptex 6527 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) ∈ V |
266 | 265 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) ∈ V) |
267 | 263, 266 | fvmpt2d 6332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝐸‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) |
268 | 119, 267 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐸‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) |
269 | 268 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐸‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) |
270 | | ovexd 6720 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ V) |
271 | 269, 270 | fmpt3d 6426 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐸‘𝑏):ℕ⟶V) |
272 | 271 | feqmptd 6288 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐸‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))) |
273 | | ovexd 6720 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ V) |
274 | 267, 273 | fvmpt2d 6332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) |
275 | 244, 132 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘)) |
276 | 275 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘))) |
277 | 276 | oveq1d 6705 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) |
278 | 277 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) |
279 | 274, 278 | eqtrd 2685 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) |
280 | 71 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ) |
281 | | nnm1nn0 11372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈
ℕ0) |
282 | 281 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈
ℕ0) |
283 | 280, 282 | bccp1k 38857 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐((𝑘 − 1) + 1)) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / ((𝑘 − 1) + 1)))) |
284 | 244 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0) |
285 | 284 | nn0cnd 11391 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ) |
286 | | 1cnd 10094 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈
ℂ) |
287 | 285, 286 | npcand 10434 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘) |
288 | 287 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐((𝑘 − 1) + 1)) = (𝐶C𝑐𝑘)) |
289 | 287 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / ((𝑘 − 1) + 1)) = ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘)) |
290 | 289 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / ((𝑘 − 1) + 1))) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘))) |
291 | 283, 288,
290 | 3eqtr3d 2693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐𝑘) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘))) |
292 | 291 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) = (𝑘 · ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘)))) |
293 | 280, 282 | bcccl 38855 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) ∈ ℂ) |
294 | 285, 286 | subcld 10430 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ) |
295 | 280, 294 | subcld 10430 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ) |
296 | | nnne0 11091 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0) |
297 | 296 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0) |
298 | 293, 295,
285, 297 | divassd 10874 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) / 𝑘) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘))) |
299 | 298 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) / 𝑘)) = (𝑘 · ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘)))) |
300 | 293, 295 | mulcld 10098 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) ∈
ℂ) |
301 | 300, 285,
297 | divcan2d 10841 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) / 𝑘)) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1)))) |
302 | 292, 299,
301 | 3eqtr2d 2691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1)))) |
303 | 302 | oveq1d 6705 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) |
304 | 303 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) |
305 | 293 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) ∈ ℂ) |
306 | 295 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ) |
307 | 305, 306 | mulcomd 10099 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) = ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) |
308 | 307 | oveq1d 6705 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) |
309 | 279, 304,
308 | 3eqtrd 2689 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) |
310 | 119, 309 | sylanl2 684 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) |
311 | 310 | adantllr 755 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) |
312 | 311 | mpteq2dva 4777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) |
313 | 272, 312 | eqtrd 2685 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐸‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) |
314 | 313 | oveq1d 6705 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐸‘𝑏) shift -1) = ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) shift -1)) |
315 | | eqid 2651 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) |
316 | | ovex 6718 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ V |
317 | | oveq1 6697 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑘 = (𝑗 − -1) → (𝑘 − 1) = ((𝑗 − -1) − 1)) |
318 | 317 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑘 = (𝑗 − -1) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) = (𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1))) |
319 | 317 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑘 = (𝑗 − -1) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) = (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) |
320 | 318, 319 | oveq12d 6708 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑘 = (𝑗 − -1) → ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) = ((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) −
1)))) |
321 | 317 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑘 = (𝑗 − -1) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) = (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1))) |
322 | 320, 321 | oveq12d 6708 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑘 = (𝑗 − -1) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1)))
· (𝑏↑((𝑗 − -1) −
1)))) |
323 | | 1pneg1e0 11167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (1 + -1)
= 0 |
324 | 323 | fveq2i 6232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢
(ℤ≥‘(1 + -1)) =
(ℤ≥‘0) |
325 | 112, 324 | eqtr4i 2676 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢
ℕ0 = (ℤ≥‘(1 +
-1)) |
326 | 243 | znegcld 11522 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → -1 ∈ ℤ) |
327 | 315, 316,
322, 242, 325, 243, 326 | uzmptshftfval 38862 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) shift -1) = (𝑗 ∈ ℕ0
↦ (((𝐶 −
((𝑗 − -1) − 1))
· (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1))))) |
328 | | oveq1 6697 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − -1) = (𝑘 − -1)) |
329 | 328 | oveq1d 6705 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 − -1) − 1) = ((𝑘 − -1) −
1)) |
330 | 329 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) = (𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1))) |
331 | 329 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1)) = (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) |
332 | 330, 331 | oveq12d 6708 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) =
((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1))
· (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1)))) |
333 | 329 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)) = (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1))) |
334 | 332, 333 | oveq12d 6708 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1)))
· (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1))) =
(((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1))
· (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)))) |
335 | 334 | cbvmptv 4783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑗 ∈ ℕ0
↦ (((𝐶 −
((𝑗 − -1) − 1))
· (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0
↦ (((𝐶 −
((𝑘 − -1) − 1))
· (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)))) |
336 | 335 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1)))
· (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)))) =
(𝑘 ∈
ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1)))
· (𝑏↑((𝑘 − -1) −
1))))) |
337 | 314, 327,
336 | 3eqtrd 2689 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐸‘𝑏) shift -1) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1)))
· (𝑏↑((𝑘 − -1) −
1))))) |
338 | | nn0cn 11340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
→ 𝑘 ∈
ℂ) |
339 | | 1cnd 10094 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
→ 1 ∈ ℂ) |
340 | 338, 339 | subnegd 10437 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
→ (𝑘 − -1) =
(𝑘 + 1)) |
341 | 340 | oveq1d 6705 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
→ ((𝑘 − -1)
− 1) = ((𝑘 + 1)
− 1)) |
342 | 338, 339 | pncand 10431 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
→ ((𝑘 + 1) − 1)
= 𝑘) |
343 | 341, 342 | eqtrd 2685 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
→ ((𝑘 − -1)
− 1) = 𝑘) |
344 | 343 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 − -1) − 1) = 𝑘) |
345 | 344 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) = (𝐶 − 𝑘)) |
346 | 344 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1)) =
(𝐶C𝑐𝑘)) |
347 | 345, 346 | oveq12d 6708 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) =
((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘))) |
348 | 344 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)) = (𝑏↑𝑘)) |
349 | 347, 348 | oveq12d 6708 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1)))
· (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1))) =
(((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) |
350 | 349 | mpteq2dva 4777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1)))
· (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)))) =
(𝑘 ∈
ℕ0 ↦ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))) |
351 | 337, 350 | eqtrd 2685 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐸‘𝑏) shift -1) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))) |
352 | | ovexd 6720 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) ∈ V) |
353 | 351, 352 | fvmpt2d 6332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐸‘𝑏) shift -1)‘𝑘) = (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) |
354 | 244, 353 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐸‘𝑏) shift -1)‘𝑘) = (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) |
355 | 338 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈
ℂ) |
356 | 247, 355 | subcld 10430 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ) |
357 | 356, 249 | mulcld 10098 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) ∈ ℂ) |
358 | 357, 253 | mulcld 10098 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ) |
359 | 244, 358 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ) |
360 | | fveq2 6229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)) |
361 | 360 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗))) |
362 | 361 | cbvmptv 4783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗))) |
363 | 311 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) |
364 | 251 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℂ) |
365 | 71 | ad3antrrr 766 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ) |
366 | | nncn 11066 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈
ℂ) |
367 | 366 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ) |
368 | | 1cnd 10094 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈
ℂ) |
369 | 367, 368 | subcld 10430 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ) |
370 | 365, 369 | subcld 10430 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ) |
371 | 281 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈
ℕ0) |
372 | 365, 371 | bcccl 38855 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) ∈ ℂ) |
373 | 370, 372 | mulcld 10098 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) ∈
ℂ) |
374 | 364, 371 | expcld 13048 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ) |
375 | 364, 373,
374 | mul12d 10283 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏 · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) |
376 | 364, 374 | mulcomd 10099 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑏↑(𝑘 − 1)) · 𝑏)) |
377 | 364, 371 | expp1d 13049 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑((𝑘 − 1) + 1)) = ((𝑏↑(𝑘 − 1)) · 𝑏)) |
378 | 287 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘) |
379 | 378 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘) |
380 | 379 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑((𝑘 − 1) + 1)) = (𝑏↑𝑘)) |
381 | 376, 377,
380 | 3eqtr2d 2691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (𝑏↑𝑘)) |
382 | 381 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏 · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))) |
383 | 375, 382 | eqtrd 2685 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))) |
384 | 363, 383 | eqtrd 2685 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))) |
385 | 384 | mpteq2dva 4777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))) |
386 | 362, 385 | syl5eqr 2699 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))) |
387 | | ovexd 6720 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)) ∈ V) |
388 | 386, 387 | fvmpt2d 6332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))‘𝑘) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))) |
389 | 373, 254 | mulcld 10098 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ) |
390 | | climrel 14267 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ Rel
⇝ |
391 | 157 | simprd 478 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ) |
392 | 391 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ) |
393 | | climdm 14329 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (seq1( +
, (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ↔
seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ⇝ ( ⇝
‘seq1( + , (𝐸‘𝑏)))) |
394 | 392, 393 | sylib 208 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏)))) |
395 | | 0z 11426 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ 0 ∈
ℤ |
396 | | neg1z 11451 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ -1 ∈
ℤ |
397 | | fvex 6239 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝐸‘𝑏) ∈ V |
398 | 397 | seqshft 13869 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((0
∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) = (seq(0 − -1)( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1)) |
399 | 395, 396,
398 | mp2an 708 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ seq0( + ,
((𝐸‘𝑏) shift -1)) = (seq(0 −
-1)( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1) |
400 | | 0cn 10070 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ 0 ∈
ℂ |
401 | 400, 196 | subnegi 10398 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (0
− -1) = (0 + 1) |
402 | | 0p1e1 11170 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (0 + 1) =
1 |
403 | 401, 402 | eqtri 2673 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (0
− -1) = 1 |
404 | | seqeq1 12844 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((0
− -1) = 1 → seq(0 − -1)( + , (𝐸‘𝑏)) = seq1( + , (𝐸‘𝑏))) |
405 | 403, 404 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ seq(0
− -1)( + , (𝐸‘𝑏)) = seq1( + , (𝐸‘𝑏)) |
406 | 405 | oveq1i 6700 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (seq(0
− -1)( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1) = (seq1( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1) |
407 | 399, 406 | eqtri 2673 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ seq0( + ,
((𝐸‘𝑏) shift -1)) = (seq1( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1) |
408 | 407 | breq1i 4692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (seq0( +
, ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ⇝ ( ⇝
‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))) ↔ (seq1( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( +
, (𝐸‘𝑏)))) |
409 | | seqex 12843 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ seq1( + ,
(𝐸‘𝑏)) ∈ V |
410 | | climshft 14351 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((-1
∈ ℤ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ V) → ((seq1( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( +
, (𝐸‘𝑏))) ↔ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))))) |
411 | 396, 409,
410 | mp2an 708 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((seq1( +
, (𝐸‘𝑏)) shift -1) ⇝ ( ⇝
‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))) ↔ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏)))) |
412 | 408, 411 | bitri 264 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (seq0( +
, ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ⇝ ( ⇝
‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))) ↔ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏)))) |
413 | 394, 412 | sylibr 224 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( +
, (𝐸‘𝑏)))) |
414 | | releldm 5390 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((Rel
⇝ ∧ seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( +
, (𝐸‘𝑏)))) → seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝
) |
415 | 390, 413,
414 | sylancr 696 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝
) |
416 | 256 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 1 ∈
ℕ0) |
417 | 353, 358 | eqeltrd 2730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐸‘𝑏) shift -1)‘𝑘) ∈ ℂ) |
418 | 112, 416,
417 | iserex 14431 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1(
+ , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝
)) |
419 | 415, 418 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝
) |
420 | 373, 374 | mulcld 10098 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈
ℂ) |
421 | 311, 420 | eqeltrd 2730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ) |
422 | 388, 384 | eqtr4d 2688 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))‘𝑘) = (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))) |
423 | 242, 243,
251, 394, 421, 422 | isermulc2 14432 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))) ⇝ (𝑏 · ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))))) |
424 | | releldm 5390 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((Rel
⇝ ∧ seq1( + , (𝑗
∈ ℕ ↦ (𝑏
· ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))) ⇝ (𝑏 · ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))))) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))) ∈ dom ⇝ ) |
425 | 390, 423,
424 | sylancr 696 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))) ∈ dom ⇝ ) |
426 | 242, 243,
354, 359, 388, 389, 419, 425 | isumadd 14542 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))) |
427 | 426 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))) = (𝐶 + (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))))) |
428 | 365, 367 | subcld 10430 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ) |
429 | 428, 250 | mulcld 10098 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) ∈ ℂ) |
430 | 429, 373,
254 | adddird 10103 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘)) = ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))) |
431 | 430 | sumeq2dv 14477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))) |
432 | 431 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))))) |
433 | 309 | sumeq2dv 14477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) |
434 | 433 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) |
435 | 119, 434 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) |
436 | 435 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) |
437 | 242, 243,
311, 420, 392 | isumcl 14536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈
ℂ) |
438 | 241, 251,
437 | adddird 10103 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = ((1 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) + (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))) |
439 | 437 | mulid2d 10096 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) |
440 | 242, 243,
311, 420, 392, 251 | isummulc2 14537 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) |
441 | 383 | sumeq2dv 14477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))) |
442 | 440, 441 | eqtrd 2685 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))) |
443 | 439, 442 | oveq12d 6708 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) + (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) = (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))) |
444 | 436, 438,
443 | 3eqtrd 2689 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))) |
445 | 402 | fveq2i 6232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢
(ℤ≥‘(0 + 1)) =
(ℤ≥‘1) |
446 | 242, 445 | eqtr4i 2676 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ℕ =
(ℤ≥‘(0 + 1)) |
447 | | oveq1 6697 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑘 = (1 + 𝑗) → (𝑘 − 1) = ((1 + 𝑗) − 1)) |
448 | 447 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑘 = (1 + 𝑗) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) = (𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1))) |
449 | 447 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑘 = (1 + 𝑗) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) = (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) |
450 | 448, 449 | oveq12d 6708 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑘 = (1 + 𝑗) → ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) = ((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1)))) |
451 | 447 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑘 = (1 + 𝑗) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) = (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))) |
452 | 450, 451 | oveq12d 6708 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑘 = (1 + 𝑗) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1)))) |
453 | 112, 446,
452, 243, 113, 420 | isumshft 14615 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1)))) |
454 | | oveq2 6698 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑗 = 𝑘 → (1 + 𝑗) = (1 + 𝑘)) |
455 | 454 | oveq1d 6705 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((1 + 𝑗) − 1) = ((1 + 𝑘) − 1)) |
456 | 455 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) = (𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1))) |
457 | 455 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1)) = (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) |
458 | 456, 457 | oveq12d 6708 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) = ((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1)))) |
459 | 455 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1)) = (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1))) |
460 | 458, 459 | oveq12d 6708 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))) = (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1)))) |
461 | 460 | cbvsumv 14470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢
Σ𝑗 ∈
ℕ0 (((𝐶
− ((1 + 𝑗) −
1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1))) |
462 | 461 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1)))) |
463 | | 1cnd 10094 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈
ℂ) |
464 | 463, 355 | pncan2d 10432 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 +
𝑘) − 1) = 𝑘) |
465 | 464 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) = (𝐶 − 𝑘)) |
466 | 464 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1)) = (𝐶C𝑐𝑘)) |
467 | 465, 466 | oveq12d 6708 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) = ((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘))) |
468 | 464 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1)) = (𝑏↑𝑘)) |
469 | 467, 468 | oveq12d 6708 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1))) = (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) |
470 | 469 | sumeq2dv 14477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) |
471 | 453, 462,
470 | 3eqtrd 2689 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) |
472 | 112, 113,
353, 358, 415 | isum1p 14617 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = ((((𝐸‘𝑏) shift -1)‘0) + Σ𝑘 ∈
(ℤ≥‘(0 + 1))(((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))) |
473 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0) |
474 | 473 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐶 − 𝑘) = (𝐶 − 0)) |
475 | 473 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑐0)) |
476 | 474, 475 | oveq12d 6708 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) = ((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0))) |
477 | 473 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (𝑏↑𝑘) = (𝑏↑0)) |
478 | 476, 477 | oveq12d 6708 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0))) |
479 | | 0nn0 11345 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ 0 ∈
ℕ0 |
480 | 479 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 0 ∈
ℕ0) |
481 | | ovexd 6720 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0)) ∈
V) |
482 | 351, 478,
480, 481 | fvmptd 6327 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐸‘𝑏) shift -1)‘0) = (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0))) |
483 | 238 | subid1d 10419 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 − 0) = 𝐶) |
484 | 238 | bccn0 38859 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶C𝑐0) =
1) |
485 | 483, 484 | oveq12d 6708 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) = (𝐶 · 1)) |
486 | 485, 239 | eqtrd 2685 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) = 𝐶) |
487 | 251 | exp0d 13042 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏↑0) = 1) |
488 | 486, 487 | oveq12d 6708 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0)) = (𝐶 · 1)) |
489 | 482, 488,
239 | 3eqtrd 2689 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐸‘𝑏) shift -1)‘0) = 𝐶) |
490 | 446 | eqcomi 2660 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢
(ℤ≥‘(0 + 1)) = ℕ |
491 | 490 | sumeq1i 14472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢
Σ𝑘 ∈
(ℤ≥‘(0 + 1))(((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) |
492 | 491 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 +
1))(((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) |
493 | 489, 492 | oveq12d 6708 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((((𝐸‘𝑏) shift -1)‘0) + Σ𝑘 ∈
(ℤ≥‘(0 + 1))(((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))) |
494 | 471, 472,
493 | 3eqtrd 2689 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))) |
495 | 494 | oveq1d 6705 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))) = ((𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))) |
496 | 242, 243,
354, 359, 419 | isumcl 14536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ) |
497 | 251, 437 | mulcld 10098 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) ∈
ℂ) |
498 | 442, 497 | eqeltrrd 2731 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ) |
499 | 238, 496,
498 | addassd 10100 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))) = (𝐶 + (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))))) |
500 | 444, 495,
499 | 3eqtrd 2689 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 + (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))))) |
501 | 427, 432,
500 | 3eqtr4rd 2696 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘)))) |
502 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ) |
503 | 280, 502 | binomcxplemwb 38864 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) = (𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘))) |
504 | 503 | oveq1d 6705 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) |
505 | 504 | sumeq2dv 14477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) |
506 | 505 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))) |
507 | 506 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))) |
508 | 365, 250,
254 | mulassd 10101 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = (𝐶 · ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) |
509 | 508 | sumeq2dv 14477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐶 · ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) |
510 | 242, 243,
246, 255, 260, 238 | isummulc2 14537 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐶 · ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) |
511 | 509, 510 | eqtr4d 2688 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) |
512 | 511 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) = (𝐶 + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))))) |
513 | 501, 507,
512 | 3eqtrd 2689 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))))) |
514 | 240, 262,
513 | 3eqtr4rd 2696 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 · (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))))) |
515 | 8 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))) |
516 | 122 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ0
↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) ∈ V) |
517 | 515, 516 | fvmpt2d 6332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑆‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) |
518 | 119, 517 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑆‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) |
519 | | ovexd 6720 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) ∈ V) |
520 | 518, 519 | fvmpt2d 6332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) |
521 | 520 | sumeq2dv 14477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) |
522 | 71 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈
ℂ) |
523 | 522, 130 | bcccl 38855 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈
ℂ) |
524 | 132, 523 | eqeltrd 2730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) |
525 | 524 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐹‘𝑘) ∈
ℂ) |
526 | 525 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) |
527 | 526, 253 | mulcld 10098 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ) |
528 | 112, 113,
520, 527, 159 | isum1p 14617 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = (((𝑆‘𝑏)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 +
1))((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) |
529 | 473 | fveq2d 6233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘0)) |
530 | 529, 477 | oveq12d 6708 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐹‘0) · (𝑏↑0))) |
531 | | ovexd 6720 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘0) · (𝑏↑0)) ∈ V) |
532 | 518, 530,
480, 531 | fvmptd 6327 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑆‘𝑏)‘0) = ((𝐹‘0) · (𝑏↑0))) |
533 | 72 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))) |
534 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 0) → 𝑗 = 0) |
535 | 534 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 0) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐0)) |
536 | 479 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℕ0) |
537 | | ovexd 6720 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐0) ∈
V) |
538 | 533, 535,
536, 537 | fvmptd 6327 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐶C𝑐0)) |
539 | 538 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘0) = (𝐶C𝑐0)) |
540 | 539, 484 | eqtrd 2685 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘0) = 1) |
541 | 540, 487 | oveq12d 6708 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘0) · (𝑏↑0)) = (1 · 1)) |
542 | 241 | mulid1d 10095 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 · 1) =
1) |
543 | 532, 541,
542 | 3eqtrd 2689 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑆‘𝑏)‘0) = 1) |
544 | 490 | sumeq1i 14472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
Σ𝑘 ∈
(ℤ≥‘(0 + 1))((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) |
545 | 133 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))) |
546 | 244, 545 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))) |
547 | 546 | adantllr 755 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))) |
548 | 547 | sumeq2dv 14477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))) |
549 | 544, 548 | syl5eq 2697 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 +
1))((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))) |
550 | 543, 549 | oveq12d 6708 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝑆‘𝑏)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 +
1))((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) = (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) |
551 | 521, 528,
550 | 3eqtrrd 2690 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) |
552 | 551 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) |
553 | 514, 552 | eqtrd 2685 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) |
554 | 238, 160 | mulcld 10098 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) ∈ ℂ) |
555 | 241, 251 | addcld 10097 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑏) ∈ ℂ) |
556 | | eqidd 2652 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) |
557 | 242, 243,
556, 421, 392 | isumcl 14536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ) |
558 | 241, 251 | subnegd 10437 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 − -𝑏) = (1 + 𝑏)) |
559 | 251 | negcld 10417 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → -𝑏 ∈ ℂ) |
560 | | elpreima 6377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (abs Fn
ℂ → (𝑏 ∈
(◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅)))) |
561 | 86, 87, 560 | mp2b 10 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑏 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅))) |
562 | 561 | simprbi 479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑏 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) → (abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅)) |
563 | 562, 2 | eleq2s 2748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → (abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅)) |
564 | | elico2 12275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ 𝑅
∈ ℝ*) → ((abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
(abs‘𝑏) ∧
(abs‘𝑏) < 𝑅))) |
565 | 75, 81, 564 | mp2an 708 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
((abs‘𝑏)
∈ (0[,)𝑅) ↔
((abs‘𝑏) ∈
ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑏) ∧ (abs‘𝑏) < 𝑅)) |
566 | 565 | simp3bi 1098 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
((abs‘𝑏)
∈ (0[,)𝑅) →
(abs‘𝑏) < 𝑅) |
567 | 563, 566 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → (abs‘𝑏) < 𝑅) |
568 | 567 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (abs‘𝑏) < 𝑅) |
569 | 251 | absnegd 14232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (abs‘-𝑏) = (abs‘𝑏)) |
570 | 569 | eqcomd 2657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (abs‘𝑏) = (abs‘-𝑏)) |
571 | 73 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑅 = 1) |
572 | 568, 570,
571 | 3brtr3d 4716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (abs‘-𝑏) < 1) |
573 | | 1re 10077 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ 1 ∈
ℝ |
574 | | abssubne0 14100 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((-𝑏 ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℝ ∧ (abs‘-𝑏) < 1) → (1 − -𝑏) ≠ 0) |
575 | 573, 574 | mp3an2 1452 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((-𝑏 ∈ ℂ ∧
(abs‘-𝑏) < 1)
→ (1 − -𝑏) ≠
0) |
576 | 559, 572,
575 | syl2anc 694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 − -𝑏) ≠ 0) |
577 | 558, 576 | eqnetrrd 2891 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑏) ≠ 0) |
578 | 554, 555,
557, 577 | divmuld 10861 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) / (1 + 𝑏)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) ↔ ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))) |
579 | 553, 578 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) / (1 + 𝑏)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) |
580 | 238, 160,
555, 577 | div23d 10876 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) / (1 + 𝑏)) = ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) |
581 | 579, 580 | eqtr3d 2687 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) |
582 | 581 | mpteq2dva 4777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))) |
583 | | ovexd 6720 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 / (1 + 𝑏)) ∈ V) |
584 | | sumex 14462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ V |
585 | 584 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ V) |
586 | | eqidd 2652 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏)))) |
587 | 1 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) |
588 | 103, 23, 183, 583, 585, 586, 587 | offval2f 6951 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 ·
𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))) |
589 | 582, 205,
588 | 3eqtr4d 2695 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ
D 𝑃) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 ·
𝑃)) |
590 | 589 | oveq1d 6705 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
((ℂ D 𝑃)
∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 ·
𝑃)
∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) |
591 | 224 | oveq1d 6705 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
((ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 ·
𝑃) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
∘𝑓 · 𝑃)) |
592 | 590, 591 | oveq12d 6708 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(((ℂ D 𝑃)
∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 + ((ℂ
D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 ·
𝑃)) = ((((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 ·
𝑃)
∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 + ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
∘𝑓 · 𝑃))) |
593 | | ovexd 6720 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) ∈ V) |
594 | | ovexd 6720 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) ∈ V) |
595 | | ovexd 6720 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) ∈ V) |
596 | | ovexd 6720 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) ∈ V) |
597 | | eqidd 2652 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) |
598 | 103, 23, 183, 595, 596, 588, 597 | offval2f 6951 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 ·
𝑃)
∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) |
599 | | ovexd 6720 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈
V) |
600 | | eqidd 2652 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))) |
601 | 103, 23, 183, 599, 585, 600, 587 | offval2f 6951 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
∘𝑓 · 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))) |
602 | 103, 23, 183, 593, 594, 598, 601 | offval2f 6951 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
((((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 ·
𝑃)
∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 + ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
∘𝑓 · 𝑃)) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))))) |
603 | 237, 592,
602 | 3eqtrd 2689 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ
D (𝑃
∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))))) |
604 | 238, 555,
577 | divcld 10839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 / (1 + 𝑏)) ∈ ℂ) |
605 | 238 | negcld 10417 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → -𝐶 ∈ ℂ) |
606 | 555, 605 | cxpcld 24499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) ∈ ℂ) |
607 | 604, 160,
606 | mul32d 10284 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) |
608 | 238, 555,
606, 577 | div32d 10862 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝐶 · (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / (1 + 𝑏)))) |
609 | 555, 577,
605, 241 | cxpsubd 24509 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)) = (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / ((1 + 𝑏)↑𝑐1))) |
610 | 555 | cxp1d 24497 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐1) = (1 + 𝑏)) |
611 | 610 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / ((1 + 𝑏)↑𝑐1)) = (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / (1 + 𝑏))) |
612 | 609, 611 | eqtr2d 2686 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / (1 + 𝑏)) = ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) |
613 | 612 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / (1 + 𝑏))) = (𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) |
614 | 608, 613 | eqtrd 2685 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) |
615 | 614 | oveq1d 6705 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) = ((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) |
616 | 607, 615 | eqtrd 2685 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = ((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) |
617 | 605, 241 | subcld 10430 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (-𝐶 − 1) ∈ ℂ) |
618 | 555, 617 | cxpcld 24499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)) ∈
ℂ) |
619 | 238, 618 | mulneg1d 10521 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) = -(𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) |
620 | 619 | oveq1d 6705 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) = (-(𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) |
621 | 238, 618 | mulcld 10098 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈
ℂ) |
622 | 621, 160 | mulneg1d 10521 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (-(𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) = -((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) |
623 | 620, 622 | eqtrd 2685 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) = -((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) |
624 | 616, 623 | oveq12d 6708 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) = (((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) + -((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))) |
625 | 621, 160 | mulcld 10098 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) ∈ ℂ) |
626 | 625 | negidd 10420 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) + -((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) = 0) |
627 | 624, 626 | eqtrd 2685 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) = 0) |
628 | 627 | mpteq2dva 4777 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 0)) |
629 | 603, 628 | eqtrd 2685 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ
D (𝑃
∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 0)) |
630 | | nfcv 2793 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑥0 |
631 | | eqidd 2652 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝑏 → 0 = 0) |
632 | 24, 23, 4, 630, 631 | cbvmptf 4781 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 0) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 0) |
633 | 629, 632 | syl6eqr 2703 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ
D (𝑃
∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 0)) |
634 | | c0ex 10072 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 0 ∈
V |
635 | 634 | snid 4241 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 0 ∈
{0} |
636 | 635 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 0 ∈ {0}) |
637 | 633, 636 | fmpt3d 6426 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ
D (𝑃
∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))):𝐷⟶{0}) |
638 | | fdm 6089 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((ℂ
D (𝑃
∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))):𝐷⟶{0} → dom (ℂ D (𝑃 ∘𝑓
· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = 𝐷) |
639 | 637, 638 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → dom
(ℂ D (𝑃
∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = 𝐷) |
640 | | 1cnd 10094 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈
ℂ) |
641 | | 0cnd 10071 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈
ℂ) |
642 | | dvconst 23725 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (1 ∈
ℂ → (ℂ D (ℂ × {1})) = (ℂ ×
{0})) |
643 | 196, 642 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (ℂ
D (ℂ × {1})) = (ℂ × {0}) |
644 | | fconstmpt 5197 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ℂ
× {1}) = (𝑥 ∈
ℂ ↦ 1) |
645 | 644 | oveq2i 6701 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (ℂ
D (ℂ × {1})) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) |
646 | | fconstmpt 5197 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (ℂ
× {0}) = (𝑥 ∈
ℂ ↦ 0) |
647 | 643, 645,
646 | 3eqtr3i 2681 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (ℂ
D (𝑥 ∈ ℂ ↦
1)) = (𝑥 ∈ ℂ
↦ 0) |
648 | 647 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ
D (𝑥 ∈ ℂ ↦
1)) = (𝑥 ∈ ℂ
↦ 0)) |
649 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐷 ⊆
ℂ) |
650 | | fvex 6239 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(TopOpen‘ℂfld) ∈ V |
651 | | cnfldtps 22628 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
ℂfld ∈ TopSp |
652 | | cnfldbas 19798 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ℂ =
(Base‘ℂfld) |
653 | | eqid 2651 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(TopOpen‘ℂfld) =
(TopOpen‘ℂfld) |
654 | 652, 653 | tpsuni 20788 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(ℂfld ∈ TopSp → ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)) |
655 | 651, 654 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ℂ =
∪
(TopOpen‘ℂfld) |
656 | 655 | restid 16141 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((TopOpen‘ℂfld) ∈ V →
((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) =
(TopOpen‘ℂfld)) |
657 | 650, 656 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) =
(TopOpen‘ℂfld) |
658 | 657 | eqcomi 2660 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(TopOpen‘ℂfld) =
((TopOpen‘ℂfld) ↾t
ℂ) |
659 | 653 | cnfldtop 22634 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(TopOpen‘ℂfld) ∈ Top |
660 | | cnxmet 22623 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (abs
∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) |
661 | 653 | cnfldtopn 22632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘
− )) |
662 | 661 | blopn 22352 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((abs
∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ
∧ 𝑅 ∈
ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈
(TopOpen‘ℂfld)) |
663 | 660, 400,
81, 662 | mp3an 1464 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈
(TopOpen‘ℂfld) |
664 | 98, 663 | eqeltri 2726 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 𝐷 ∈
(TopOpen‘ℂfld) |
665 | | isopn3i 20934 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝐷 ∈
(TopOpen‘ℂfld)) →
((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷) |
666 | 659, 664,
665 | mp2an 708 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷 |
667 | 666 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷) |
668 | 203, 640,
641, 648, 649, 658, 653, 667 | dvmptres2 23770 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ
D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 1)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 0)) |
669 | 192 | oveq2i 6701 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (ℂ
D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 1)) = (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)) |
670 | 668, 669,
632 | 3eqtr3g 2708 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ
D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 0)) |
671 | 628, 603,
670 | 3eqtr4d 2695 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ
D (𝑃
∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1))) |
672 | | 1rp 11874 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 1 ∈
ℝ+ |
673 | 73, 672 | syl6eqel 2738 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈
ℝ+) |
674 | | blcntr 22265 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((abs
∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ
∧ 𝑅 ∈
ℝ+) → 0 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) |
675 | 660, 400,
674 | mp3an12 1454 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑅 ∈ ℝ+
→ 0 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) |
676 | 673, 675 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈
(0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) |
677 | 676, 98 | syl6eleqr 2741 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈
𝐷) |
678 | | 0zd 11427 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈
ℤ) |
679 | | eqidd 2652 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝑆‘0)‘𝑘) = ((𝑆‘0)‘𝑘)) |
680 | | nfv 1883 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
Ⅎ𝑏𝜑 |
681 | 23 | nfel2 2810 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
Ⅎ𝑏0 ∈
𝐷 |
682 | 680, 681 | nfan 1868 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
Ⅎ𝑏(𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) |
683 | | nfv 1883 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
Ⅎ𝑏 𝑘 ∈
ℕ0 |
684 | 682, 683 | nfan 1868 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
Ⅎ𝑏((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) |
685 | 10, 4 | nffv 6236 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
Ⅎ𝑏(𝑆‘0) |
686 | 685, 29 | nffv 6236 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
Ⅎ𝑏((𝑆‘0)‘𝑘) |
687 | 686 | nfel1 2808 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
Ⅎ𝑏((𝑆‘0)‘𝑘) ∈
ℂ |
688 | 684, 687 | nfim 1865 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
Ⅎ𝑏(((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈
ℂ) |
689 | | eleq1 2718 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑏 = 0 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↔ 0 ∈ 𝐷)) |
690 | 689 | anbi2d 740 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑏 = 0 → ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷))) |
691 | 690 | anbi1d 741 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑏 = 0 → (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈
ℕ0))) |
692 | | fveq2 6229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑏 = 0 → (𝑆‘𝑏) = (𝑆‘0)) |
693 | 692 | fveq1d 6231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑏 = 0 → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝑆‘0)‘𝑘)) |
694 | 693 | eleq1d 2715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑏 = 0 → (((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ ↔ ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)) |
695 | 691, 694 | imbi12d 333 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑏 = 0 → ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ (((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈
ℂ))) |
696 | 688, 634,
695, 143 | vtoclf 3289 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈
ℂ) |
697 | 677, 696 | syldanl 735 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ) |
698 | 4, 7, 685 | nfseq 12851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
Ⅎ𝑏seq0(
+ , (𝑆‘0)) |
699 | 698 | nfel1 2808 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
Ⅎ𝑏seq0( + ,
(𝑆‘0)) ∈ dom
⇝ |
700 | 682, 699 | nfim 1865 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
Ⅎ𝑏((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝
) |
701 | 692 | seqeq3d 12849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑏 = 0 → seq0( + , (𝑆‘𝑏)) = seq0( + , (𝑆‘0))) |
702 | 701 | eleq1d 2715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑏 = 0 → (seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝
)) |
703 | 690, 702 | imbi12d 333 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑏 = 0 → (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝
))) |
704 | 700, 634,
703, 158 | vtoclf 3289 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝
) |
705 | 677, 704 | syldan 486 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( +
, (𝑆‘0)) ∈ dom
⇝ ) |
706 | 112, 678,
679, 697, 705 | isum1p 14617 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) = (((𝑆‘0)‘0) + Σ𝑘 ∈
(ℤ≥‘(0 + 1))((𝑆‘0)‘𝑘))) |
707 | 132 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘)) |
708 | 707 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘)) |
709 | | simplr 807 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 0) |
710 | 709 | oveq1d 6705 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑𝑘) = (0↑𝑘)) |
711 | 708, 710 | oveq12d 6708 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))) |
712 | 711 | mpteq2dva 4777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)))) |
713 | 121 | mptex 6527 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))) ∈ V |
714 | 713 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0
↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))) ∈ V) |
715 | 515, 712,
99, 714 | fvmptd 6327 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑆‘0) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)))) |
716 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0) |
717 | 716 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑐0)) |
718 | 716 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → (0↑𝑘) = (0↑0)) |
719 | 717, 718 | oveq12d 6708 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐0) ·
(0↑0))) |
720 | 479 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈
ℕ0) |
721 | | ovexd 6720 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐0) ·
(0↑0)) ∈ V) |
722 | 715, 719,
720, 721 | fvmptd 6327 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘0) = ((𝐶C𝑐0) ·
(0↑0))) |
723 | 71 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈
ℂ) |
724 | 723 | bccn0 38859 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐0) =
1) |
725 | 99 | exp0d 13042 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(0↑0) = 1) |
726 | 724, 725 | oveq12d 6708 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐0) ·
(0↑0)) = (1 · 1)) |
727 | | 1t1e1 11213 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (1
· 1) = 1 |
728 | 727 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1
· 1) = 1) |
729 | 722, 726,
728 | 3eqtrd 2689 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘0) =
1) |
730 | | ovexd 6720 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)) ∈ V) |
731 | 715, 730 | fvmpt2d 6332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝑆‘0)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))) |
732 | 244, 731 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘0)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))) |
733 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈
ℕ) |
734 | 733 | 0expd 13064 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) →
(0↑𝑘) =
0) |
735 | 734 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · 0)) |
736 | 523 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ) |
737 | 244, 736 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈
ℂ) |
738 | 737 | mul01d 10273 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐𝑘) · 0) =
0) |
739 | 732, 735,
738 | 3eqtrd 2689 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘0)‘𝑘) = 0) |
740 | 739 | sumeq2dv 14477 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
Σ𝑘 ∈ ℕ
((𝑆‘0)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ 0) |
741 | 446 | sumeq1i 14472 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Σ𝑘 ∈
ℕ ((𝑆‘0)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 +
1))((𝑆‘0)‘𝑘) |
742 | 242 | eqimssi 3692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ℕ
⊆ (ℤ≥‘1) |
743 | 742 | orci 404 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ℕ
⊆ (ℤ≥‘1) ∨ ℕ ∈
Fin) |
744 | | sumz 14497 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((ℕ
⊆ (ℤ≥‘1) ∨ ℕ ∈ Fin) →
Σ𝑘 ∈ ℕ 0 =
0) |
745 | 743, 744 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Σ𝑘 ∈
ℕ 0 = 0 |
746 | 740, 741,
745 | 3eqtr3g 2708 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
Σ𝑘 ∈
(ℤ≥‘(0 + 1))((𝑆‘0)‘𝑘) = 0) |
747 | 729, 746 | oveq12d 6708 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((𝑆‘0)‘0) +
Σ𝑘 ∈
(ℤ≥‘(0 + 1))((𝑆‘0)‘𝑘)) = (1 + 0)) |
748 | 706, 747 | eqtrd 2685 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) = (1 + 0)) |
749 | | 1p0e1 11171 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (1 + 0) =
1 |
750 | 749 | oveq1i 6700 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((1 +
0)↑𝑐-𝐶) = (1↑𝑐-𝐶) |
751 | 723 | negcld 10417 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → -𝐶 ∈
ℂ) |
752 | 751 | 1cxpd 24498 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(1↑𝑐-𝐶) = 1) |
753 | 750, 752 | syl5eq 2697 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 +
0)↑𝑐-𝐶) = 1) |
754 | 748, 753 | oveq12d 6708 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) · ((1 +
0)↑𝑐-𝐶)) = ((1 + 0) · 1)) |
755 | 749 | oveq1i 6700 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((1 + 0)
· 1) = (1 · 1) |
756 | 755, 727 | eqtri 2673 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((1 + 0)
· 1) = 1 |
757 | 754, 756 | syl6eq 2701 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) · ((1 +
0)↑𝑐-𝐶)) = 1) |
758 | | ffn 6083 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑃:𝐷⟶ℂ → 𝑃 Fn 𝐷) |
759 | 162, 758 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 Fn 𝐷) |
760 | | ffn 6083 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)):𝐷⟶ℂ → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) Fn 𝐷) |
761 | 175, 760 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) Fn 𝐷) |
762 | 37 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈
𝐷) → 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘))) |
763 | | simplr 807 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ ¬
𝐶 ∈
ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑥 = 0) |
764 | 763 | fveq2d 6233 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ ¬
𝐶 ∈
ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘0)) |
765 | 764 | fveq1d 6231 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ¬
𝐶 ∈
ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) = ((𝑆‘0)‘𝑘)) |
766 | 765 | sumeq2dv 14477 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈
𝐷) ∧ 𝑥 = 0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘)) |
767 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈
𝐷) → 0 ∈ 𝐷) |
768 | | sumex 14462 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ V |
769 | 768 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈
𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0
((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ V) |
770 | 762, 766,
767, 769 | fvmptd 6327 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈
𝐷) → (𝑃‘0) = Σ𝑘 ∈ ℕ0
((𝑆‘0)‘𝑘)) |
771 | 174 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈
𝐷) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶))) |
772 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈
𝐷) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0) |
773 | 772 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈
𝐷) ∧ 𝑥 = 0) → (1 + 𝑥) = (1 + 0)) |
774 | 773 | oveq1d 6705 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈
𝐷) ∧ 𝑥 = 0) → ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) = ((1 + 0)↑𝑐-𝐶)) |
775 | | ovexd 6720 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈
𝐷) → ((1 +
0)↑𝑐-𝐶) ∈ V) |
776 | 771, 774,
767, 775 | fvmptd 6327 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈
𝐷) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))‘0) = ((1 +
0)↑𝑐-𝐶)) |
777 | 759, 761,
183, 183, 184, 770, 776 | ofval 6948 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈
𝐷) → ((𝑃 ∘𝑓
· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))‘0) = (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) · ((1 +
0)↑𝑐-𝐶))) |
778 | 677, 777 | mpdan 703 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑃 ∘𝑓
· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))‘0) = (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) · ((1 +
0)↑𝑐-𝐶))) |
779 | 193 | fveq1i 6230 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐷 × {1})‘0) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)‘0) |
780 | 186 | fvconst2 6510 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (0 ∈
𝐷 → ((𝐷 × {1})‘0) =
1) |
781 | 677, 780 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐷 × {1})‘0) =
1) |
782 | 779, 781 | syl5eqr 2699 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)‘0) = 1) |
783 | 757, 778,
782 | 3eqtr4d 2695 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑃 ∘𝑓
· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))‘0) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)‘0)) |
784 | 98, 99, 100, 185, 201, 639, 671, 677, 783 | dv11cn 23809 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∘𝑓
· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)) |
785 | 784 | oveq1d 6705 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑃 ∘𝑓
· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 / (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1) ∘𝑓 /
(𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) |
786 | | nfv 1883 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑏(1 + 𝑥) ≠ 0 |
787 | 105, 786 | nfim 1865 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑏(((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑥) ≠ 0) |
788 | 172 | neeq1d 2882 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((1 + 𝑏) ≠ 0 ↔ (1 + 𝑥) ≠ 0)) |
789 | 109, 788 | imbi12d 333 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑏) ≠ 0) ↔ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑥) ≠ 0))) |
790 | 787, 789,
577 | chvar 2298 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑥) ≠ 0) |
791 | 166, 790,
168 | cxpne0d 24504 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ≠ 0) |
792 | | eldifsn 4350 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((1 +
𝑥)↑𝑐-𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (((1 +
𝑥)↑𝑐-𝐶) ∈ ℂ ∧ ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ≠ 0)) |
793 | 169, 791,
792 | sylanbrc 699 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ∈ (ℂ ∖
{0})) |
794 | 793, 174 | fmptd 6425 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)):𝐷⟶(ℂ ∖
{0})) |
795 | | ofdivcan4 38843 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝑃:𝐷⟶ℂ ∧ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)):𝐷⟶(ℂ ∖ {0})) →
((𝑃
∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 / (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = 𝑃) |
796 | 183, 162,
794, 795 | syl3anc 1366 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑃 ∘𝑓
· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 / (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = 𝑃) |
797 | | eqidd 2652 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)) |
798 | 103, 23, 183, 241, 606, 797, 597 | offval2f 6951 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1) ∘𝑓 /
(𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) |
799 | 785, 796,
798 | 3eqtr3d 2693 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) |
800 | 555, 577,
605 | cxpnegd 24506 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐--𝐶) = (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) |
801 | 238 | negnegd 10421 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → --𝐶 = 𝐶) |
802 | 801 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐--𝐶) = ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶)) |
803 | 800, 802 | eqtr3d 2687 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶)) |
804 | 803 | mpteq2dva 4777 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶))) |
805 | 799, 804 | eqtrd 2685 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶))) |
806 | | nfcv 2793 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑥((1 +
𝑏)↑𝑐𝐶) |
807 | | nfcv 2793 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑏((1 +
𝑥)↑𝑐𝐶) |
808 | 172 | oveq1d 6705 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶) = ((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶)) |
809 | 23, 24, 806, 807, 808 | cbvmptf 4781 |
. . . . . 6
⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶)) |
810 | 805, 809 | syl6eq 2701 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶))) |
811 | | simpr 476 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) → 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) |
812 | 811 | oveq2d 6706 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) → (1 + 𝑥) = (1 + (𝐵 / 𝐴))) |
813 | 812 | oveq1d 6705 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) → ((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶) = ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶)) |
814 | | 1cnd 10094 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈
ℂ) |
815 | 814, 60 | addcld 10097 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1 +
(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ) |
816 | 815, 723 | cxpcld 24499 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 +
(𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) ∈
ℂ) |
817 | 810, 813,
91, 816 | fvmptd 6327 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃‘(𝐵 / 𝐴)) = ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶)) |
818 | 707 | adantlr 751 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘)) |
819 | | simplr 807 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) |
820 | 819 | oveq1d 6705 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑𝑘) = ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) |
821 | 818, 820 | oveq12d 6708 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))) |
822 | 821 | mpteq2dva 4777 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)))) |
823 | 121 | mptex 6527 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))) ∈ V |
824 | 823 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0
↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))) ∈ V) |
825 | 515, 822,
60, 824 | fvmptd 6327 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑆‘(𝐵 / 𝐴)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)))) |
826 | | ovexd 6720 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) ∈ V) |
827 | 825, 826 | fvmpt2d 6332 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))) |
828 | 827 | sumeq2dv 14477 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))) |
829 | 94, 817, 828 | 3eqtr3d 2693 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 +
(𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))) |
830 | 829 | oveq1d 6705 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((1 +
(𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶))) |
831 | 43, 46 | rerpdivcld 11941 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ) |
832 | 831 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ) |
833 | 66, 832 | readdcld 10107 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1 +
(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ) |
834 | | df-neg 10307 |
. . . . . . 7
⊢ -(𝐵 / 𝐴) = (0 − (𝐵 / 𝐴)) |
835 | 831 | recnd 10106 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ) |
836 | 835 | negcld 10417 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → -(𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ) |
837 | 836 | abscld 14219 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ) |
838 | | 1red 10093 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℝ) |
839 | 835 | absnegd 14232 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) = (abs‘(𝐵 / 𝐴))) |
840 | 46 | rpne0d 11915 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0) |
841 | 44, 47, 840 | absdivd 14238 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) = ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴))) |
842 | 839, 841 | eqtrd 2685 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) = ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴))) |
843 | 44 | abscld 14219 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) ∈
ℝ) |
844 | 672 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℝ+) |
845 | 47, 840 | absrpcld 14231 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈
ℝ+) |
846 | 843 | recnd 10106 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) ∈
ℂ) |
847 | 846 | div1d 10831 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐵) / 1) = (abs‘𝐵)) |
848 | 847, 53 | eqbrtrd 4707 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐵) / 1) < (abs‘𝐴)) |
849 | 843, 844,
845, 848 | ltdiv23d 11975 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)) < 1) |
850 | 842, 849 | eqbrtrd 4707 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) < 1) |
851 | 837, 838,
850 | ltled 10223 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) ≤ 1) |
852 | 831 | renegcld 10495 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → -(𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ) |
853 | 852, 838 | absled 14213 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((abs‘-(𝐵 / 𝐴)) ≤ 1 ↔ (-1 ≤ -(𝐵 / 𝐴) ∧ -(𝐵 / 𝐴) ≤ 1))) |
854 | 851, 853 | mpbid 222 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (-1 ≤ -(𝐵 / 𝐴) ∧ -(𝐵 / 𝐴) ≤ 1)) |
855 | 854 | simprd 478 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → -(𝐵 / 𝐴) ≤ 1) |
856 | 834, 855 | syl5eqbrr 4721 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (0 − (𝐵 / 𝐴)) ≤ 1) |
857 | | 0red 10079 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℝ) |
858 | 857, 831,
838 | lesubaddd 10662 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((0 − (𝐵 / 𝐴)) ≤ 1 ↔ 0 ≤ (1 + (𝐵 / 𝐴)))) |
859 | 856, 858 | mpbid 222 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 + (𝐵 / 𝐴))) |
860 | 859 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤
(1 + (𝐵 / 𝐴))) |
861 | 46 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈
ℝ+) |
862 | 861 | rpred 11910 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈
ℝ) |
863 | 861 | rpge0d 11914 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤
𝐴) |
864 | 833, 860,
862, 863, 723 | mulcxpd 24519 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((1 +
(𝐵 / 𝐴)) · 𝐴)↑𝑐𝐶) = (((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) · (𝐴↑𝑐𝐶))) |
865 | 814, 60, 48 | adddird 10103 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 +
(𝐵 / 𝐴)) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + ((𝐵 / 𝐴) · 𝐴))) |
866 | 48 | mulid2d 10096 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1
· 𝐴) = 𝐴) |
867 | 45, 48, 59 | divcan1d 10840 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐵 / 𝐴) · 𝐴) = 𝐵) |
868 | 866, 867 | oveq12d 6708 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1
· 𝐴) + ((𝐵 / 𝐴) · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐵)) |
869 | 865, 868 | eqtrd 2685 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 +
(𝐵 / 𝐴)) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)) |
870 | 869 | oveq1d 6705 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((1 +
(𝐵 / 𝐴)) · 𝐴)↑𝑐𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)) |
871 | 864, 870 | eqtr3d 2687 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((1 +
(𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)) |
872 | 60 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐵 / 𝐴) ∈
ℂ) |
873 | | simpr 476 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 𝑘 ∈
ℕ0) |
874 | 872, 873 | expcld 13048 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ) |
875 | 736, 874 | mulcld 10098 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) ∈ ℂ) |
876 | 46, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 155, 2 | binomcxplemcvg 38870 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + ,
(𝐸‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ )) |
877 | 876 | simpld 474 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ ) |
878 | 91, 877 | syldan 486 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( +
, (𝑆‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ ) |
879 | 48, 723 | cxpcld 24499 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝐶) ∈
ℂ) |
880 | 112, 678,
827, 875, 878, 879 | isummulc1 14538 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶))) |
881 | 44 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 𝐵 ∈
ℂ) |
882 | 47 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 𝐴 ∈
ℂ) |
883 | 840 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 𝐴 ≠
0) |
884 | 881, 882,
883 | divrecd 10842 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐵 / 𝐴) = (𝐵 · (1 / 𝐴))) |
885 | 884 | oveq1d 6705 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘) = ((𝐵 · (1 / 𝐴))↑𝑘)) |
886 | 882, 883 | reccld 10832 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (1 / 𝐴) ∈
ℂ) |
887 | 881, 886,
873 | mulexpd 13063 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐵 · (1 /
𝐴))↑𝑘) = ((𝐵↑𝑘) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))) |
888 | 885, 887 | eqtrd 2685 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘) = ((𝐵↑𝑘) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))) |
889 | 888 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵↑𝑘) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)))) |
890 | 881, 873 | expcld 13048 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐵↑𝑘) ∈
ℂ) |
891 | 886, 873 | expcld 13048 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈
ℂ) |
892 | 736, 890,
891 | mulassd 10101 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵↑𝑘) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)))) |
893 | 889, 892 | eqtr4d 2688 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))) |
894 | 893 | oveq1d 6705 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = ((((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶))) |
895 | 736, 890 | mulcld 10098 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℂ) |
896 | 879 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐴↑𝑐𝐶) ∈ ℂ) |
897 | 895, 891,
896 | mul32d 10284 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = ((((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))) |
898 | 895, 896,
891 | mulassd 10101 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((𝐴↑𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)))) |
899 | 894, 897,
898 | 3eqtrd 2689 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((𝐴↑𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)))) |
900 | 873 | nn0cnd 11391 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 𝑘 ∈
ℂ) |
901 | 882, 900 | cxpcld 24499 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐴↑𝑐𝑘) ∈ ℂ) |
902 | 882, 883,
900 | cxpne0d 24504 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐴↑𝑐𝑘) ≠ 0) |
903 | 896, 901,
902 | divrecd 10842 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐴↑𝑐𝐶) / (𝐴↑𝑐𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐶) · (1 / (𝐴↑𝑐𝑘)))) |
904 | 71 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 𝐶 ∈
ℂ) |
905 | 882, 883,
904, 900 | cxpsubd 24509 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐶) / (𝐴↑𝑐𝑘))) |
906 | 873 | nn0zd 11518 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 𝑘 ∈
ℤ) |
907 | 882, 883,
906 | exprecd 13056 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((1 / 𝐴)↑𝑘) = (1 / (𝐴↑𝑘))) |
908 | | cxpexp 24459 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐴↑𝑐𝑘) = (𝐴↑𝑘)) |
909 | 882, 873,
908 | syl2anc 694 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐴↑𝑐𝑘) = (𝐴↑𝑘)) |
910 | 909 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (1 / (𝐴↑𝑐𝑘)) = (1 / (𝐴↑𝑘))) |
911 | 907, 910 | eqtr4d 2688 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((1 / 𝐴)↑𝑘) = (1 / (𝐴↑𝑐𝑘))) |
912 | 911 | oveq2d 6706 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐴↑𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐶) · (1 / (𝐴↑𝑐𝑘)))) |
913 | 903, 905,
912 | 3eqtr4rd 2696 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐴↑𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) = (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘))) |
914 | 913 | oveq2d 6706 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((𝐴↑𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)))) |
915 | 904, 900 | subcld 10430 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐶 − 𝑘) ∈
ℂ) |
916 | 882, 915 | cxpcld 24499 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) ∈ ℂ) |
917 | 736, 890,
916 | mul32d 10284 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘))) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘))) · (𝐵↑𝑘))) |
918 | 899, 914,
917 | 3eqtrd 2689 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘))) · (𝐵↑𝑘))) |
919 | 736, 916,
890 | mulassd 10101 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘))) · (𝐵↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))) |
920 | 918, 919 | eqtrd 2685 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))) |
921 | 920 | sumeq2dv 14477 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
Σ𝑘 ∈
ℕ0 (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))) |
922 | 880, 921 | eqtrd 2685 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))) |
923 | 830, 871,
922 | 3eqtr3d 2693 |
1
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))) |