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Theorem binomcxplemnotnn0 37360
Description: Lemma for binomcxp 37361. When 𝐶 is not a nonnegative integer, the generalized sum in binomcxplemnn0 37353 —which we will call 𝑃 —is a convergent power series: its base 𝑏 is always of smaller absolute value than the radius of convergence.

pserdv2 23932 gives the derivative of 𝑃, which by dvradcnv 23923 also converges in that radius. When 𝐴 is fixed at one, (𝐴 + 𝑏) times that derivative equals (𝐶 · 𝑃) and fraction (𝑃 / ((𝐴 + 𝑏)↑𝑐𝐶)) is always defined with derivative zero, so the fraction is a constant—specifically one, because ((1 + 0)↑𝑐𝐶) = 1. Thus ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶) = (𝑃𝑏).

Finally, let 𝑏 be (𝐵 / 𝐴), and multiply both the binomial ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) and the sum (𝑃‘(𝐵 / 𝐴)) by (𝐴𝑐𝐶) to get the result. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
binomcxplem.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
binomcxplem.e 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
binomcxplem.d 𝐷 = (abs “ (0[,)𝑅))
binomcxplem.p 𝑃 = (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))
Assertion
Ref Expression
binomcxplemnotnn0 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑏,𝑟,𝐴   𝐵,𝑏,𝑘,𝑟   𝑗,𝑏,𝜑,𝑘   𝐶,𝑏,𝑗,𝑘   𝐹,𝑏,𝑘,𝑟   𝑆,𝑘,𝑟   𝐷,𝑗,𝑘   𝑗,𝐸,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑟)   𝐷(𝑟,𝑏)   𝑃(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑆(𝑗,𝑏)   𝐸(𝑟,𝑏)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem binomcxplemnotnn0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))
2 binomcxplem.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (abs “ (0[,)𝑅))
3 nfcv 2750 . . . . . . . . . 10 𝑏abs
4 nfcv 2750 . . . . . . . . . . 11 𝑏0
5 nfcv 2750 . . . . . . . . . . 11 𝑏[,)
6 binomcxplem.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
7 nfcv 2750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑏 +
8 binomcxplem.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
9 nfmpt1 4669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
108, 9nfcxfr 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑏𝑆
11 nfcv 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑏𝑟
1210, 11nffv 6094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑏(𝑆𝑟)
134, 7, 12nfseq 12630 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑏seq0( + , (𝑆𝑟))
1413nfel1 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝
15 nfcv 2750 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏
1614, 15nfrab 3099 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏{𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }
17 nfcv 2750 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏*
18 nfcv 2750 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏 <
1916, 17, 18nfsup 8217 . . . . . . . . . . . 12 𝑏sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
206, 19nfcxfr 2748 . . . . . . . . . . 11 𝑏𝑅
214, 5, 20nfov 6552 . . . . . . . . . 10 𝑏(0[,)𝑅)
223, 21nfima 5379 . . . . . . . . 9 𝑏(abs “ (0[,)𝑅))
232, 22nfcxfr 2748 . . . . . . . 8 𝑏𝐷
24 nfcv 2750 . . . . . . . 8 𝑥𝐷
25 nfcv 2750 . . . . . . . 8 𝑥Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)
26 nfcv 2750 . . . . . . . . 9 𝑏0
27 nfcv 2750 . . . . . . . . . . 11 𝑏𝑥
2810, 27nffv 6094 . . . . . . . . . 10 𝑏(𝑆𝑥)
29 nfcv 2750 . . . . . . . . . 10 𝑏𝑘
3028, 29nffv 6094 . . . . . . . . 9 𝑏((𝑆𝑥)‘𝑘)
3126, 30nfsum 14217 . . . . . . . 8 𝑏Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘)
32 simpl 471 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 𝑥)
3332fveq2d 6091 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑏) = (𝑆𝑥))
3433fveq1d 6089 . . . . . . . . 9 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) = ((𝑆𝑥)‘𝑘))
3534sumeq2dv 14229 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘))
3623, 24, 25, 31, 35cbvmptf 4670 . . . . . . 7 (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) = (𝑥𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘))
371, 36eqtri 2631 . . . . . 6 𝑃 = (𝑥𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘))
3837a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑥𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘)))
39 simplr 787 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑥 = (𝐵 / 𝐴))
4039fveq2d 6091 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑥) = (𝑆‘(𝐵 / 𝐴)))
4140fveq1d 6089 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑥)‘𝑘) = ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘))
4241sumeq2dv 14229 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘))
43 binomcxp.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4443recnd 9924 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4544adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
46 binomcxp.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
4746rpcnd 11708 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4847adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
49 0red 9897 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
5045abscld 13971 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
5148abscld 13971 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
5245absge0d 13979 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
53 binomcxp.lt . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
5453adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
5549, 50, 51, 52, 54lelttrd 10046 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 < (abs‘𝐴))
5655gt0ne0d 10443 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
5748abs00ad 13826 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
5857necon3bid 2825 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
5956, 58mpbid 220 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≠ 0)
6045, 48, 59divcld 10652 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
6160abscld 13971 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
6260absge0d 13979 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘(𝐵 / 𝐴)))
6351recnd 9924 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
6463mulid1d 9913 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴) · 1) = (abs‘𝐴))
6554, 64breqtrrd 4605 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐵) < ((abs‘𝐴) · 1))
66 1red 9911 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
6751, 55elrpd 11703 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
6850, 66, 67ltdivmuld 11757 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)) < 1 ↔ (abs‘𝐵) < ((abs‘𝐴) · 1)))
6965, 68mpbird 245 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)) < 1)
7045, 48, 59absdivd 13990 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) = ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)))
71 binomcxp.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
72 binomcxplem.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
7346, 43, 53, 71, 72, 8, 6binomcxplemradcnv 37356 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = 1)
7469, 70, 733brtr4d 4609 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) < 𝑅)
75 0re 9896 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
76 ssrab2 3649 . . . . . . . . . . 11 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
77 ressxr 9939 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℝ*
7876, 77sstri 3576 . . . . . . . . . 10 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
79 supxrcl 11975 . . . . . . . . . 10 ({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8078, 79ax-mp 5 . . . . . . . . 9 sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
816, 80eqeltri 2683 . . . . . . . 8 𝑅 ∈ ℝ*
82 elico2 12066 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) < 𝑅)))
8375, 81, 82mp2an 703 . . . . . . 7 ((abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) < 𝑅))
8461, 62, 74, 83syl3anbrc 1238 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅))
852eleq2i 2679 . . . . . . 7 ((𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (𝐵 / 𝐴) ∈ (abs “ (0[,)𝑅)))
86 absf 13873 . . . . . . . 8 abs:ℂ⟶ℝ
87 ffn 5943 . . . . . . . 8 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
88 elpreima 6229 . . . . . . . 8 (abs Fn ℂ → ((𝐵 / 𝐴) ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅))))
8986, 87, 88mp2b 10 . . . . . . 7 ((𝐵 / 𝐴) ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅)))
9085, 89bitri 262 . . . . . 6 ((𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅)))
9160, 84, 90sylanbrc 694 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷)
92 sumex 14214 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘) ∈ V
9392a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘) ∈ V)
9438, 42, 91, 93fvmptd 6181 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃‘(𝐵 / 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘))
95 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . 13 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
9695cnbl0 22334 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ* → (abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
9781, 96ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
982, 97eqtri 2631 . . . . . . . . . 10 𝐷 = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
99 0cnd 9889 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℂ)
10081a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ ℝ*)
101 mulcl 9876 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
102101adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
103 nfv 1829 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑏(𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0)
10423nfcri 2744 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑏 𝑥𝐷
105103, 104nfan 1815 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷)
10631nfel1 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ
107105, 106nfim 1812 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏(((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ)
108 eleq1 2675 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑥 → (𝑏𝐷𝑥𝐷))
109108anbi2d 735 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑥 → (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷)))
11035eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑥 → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ))
111109, 110imbi12d 332 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑥 → ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ)))
112 nn0uz 11556 . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (ℤ‘0)
113 0zd 11224 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → 0 ∈ ℤ)
114 eqidd 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) = ((𝑆𝑏)‘𝑘))
115 cnvimass 5390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
1162, 115eqsstri 3597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐷 ⊆ dom abs
11786fdmi 5950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 dom abs = ℂ
118116, 117sseqtri 3599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 ⊆ ℂ
119118sseli 3563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏𝐷𝑏 ∈ ℂ)
1208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)))))
121 nn0ex 11147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ V
122121mptex 6367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))) ∈ V
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑏 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))) ∈ V)
124120, 123fvmpt2d 6186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑏 ∈ ℂ) → (𝑆𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
125 ovex 6554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) ∈ V
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) ∈ V)
127124, 126fvmpt2d 6186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)))
12872a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
129 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
130129oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑘))
131 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
132 ovex 6554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐶C𝑐𝑘) ∈ V
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ V)
134128, 130, 131, 133fvmptd 6181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
135134oveq1d 6541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
136135adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
137127, 136eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
138119, 137sylanl2 680 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
13971ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
140 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
141139, 140bcccl 37343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
142119ad2antlr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℂ)
143142, 140expcld 12827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏𝑘) ∈ ℂ)
144141, 143mulcld 9916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)) ∈ ℂ)
145138, 144eqeltrd 2687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ)
146145adantllr 750 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ)
147 eleq1 2675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥𝐷𝑏𝐷))
148147anbi2d 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑏 → ((𝜑𝑥𝐷) ↔ (𝜑𝑏𝐷)))
149 fveq2 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑏 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝑏))
150149seqeq3d 12628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑏 → seq0( + , (𝑆𝑥)) = seq0( + , (𝑆𝑏)))
151150eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑏 → (seq0( + , (𝑆𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ ))
152 fveq2 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑏 → (𝐸𝑥) = (𝐸𝑏))
153152seqeq3d 12628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑏 → seq1( + , (𝐸𝑥)) = seq1( + , (𝐸𝑏)))
154153eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑏 → (seq1( + , (𝐸𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , (𝐸𝑏)) ∈ dom ⇝ ))
155151, 154anbi12d 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑏 → ((seq0( + , (𝑆𝑥)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸𝑥)) ∈ dom ⇝ ) ↔ (seq0( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸𝑏)) ∈ dom ⇝ )))
156148, 155imbi12d 332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑏 → (((𝜑𝑥𝐷) → (seq0( + , (𝑆𝑥)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸𝑥)) ∈ dom ⇝ )) ↔ ((𝜑𝑏𝐷) → (seq0( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸𝑏)) ∈ dom ⇝ ))))
157 binomcxplem.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
15846, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 157, 2binomcxplemcvg 37358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐷) → (seq0( + , (𝑆𝑥)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
159156, 158chvarv 2250 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑏𝐷) → (seq0( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸𝑏)) ∈ dom ⇝ ))
160159simpld 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑏𝐷) → seq0( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ )
161160adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → seq0( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ )
162112, 113, 114, 146, 161isumcl 14282 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ)
163107, 111, 162chvar 2249 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ)
164163, 37fmptd 6276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃:𝐷⟶ℂ)
165 1cnd 9912 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → 1 ∈ ℂ)
166118sseli 3563 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
167166adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ ℂ)
168165, 167addcld 9915 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → (1 + 𝑥) ∈ ℂ)
16971ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
170169negcld 10230 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → -𝐶 ∈ ℂ)
171168, 170cxpcld 24198 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ∈ ℂ)
172 nfcv 2750 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)
173 nfcv 2750 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶)
174 oveq2 6534 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑥 → (1 + 𝑏) = (1 + 𝑥))
175174oveq1d 6541 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑥 → ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) = ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶))
17623, 24, 172, 173, 175cbvmptf 4670 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝑥𝐷 ↦ ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶))
177171, 176fmptd 6276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)):𝐷⟶ℂ)
178 cnex 9873 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℂ ∈ V
179 fex 6371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
18086, 178, 179mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . . 15 abs ∈ V
181180cnvex 6983 . . . . . . . . . . . . . 14 abs ∈ V
182 imaexg 6972 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∈ V → (abs “ (0[,)𝑅)) ∈ V)
183181, 182ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (abs “ (0[,)𝑅)) ∈ V
1842, 183eqeltri 2683 . . . . . . . . . . . 12 𝐷 ∈ V
185184a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ V)
186 inidm 3783 . . . . . . . . . . 11 (𝐷𝐷) = 𝐷
187102, 164, 177, 185, 185, 186off 6787 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))):𝐷⟶ℂ)
188 1ex 9891 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
189188fconst 5988 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 × {1}):𝐷⟶{1}
190 fconstmpt 5074 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 × {1}) = (𝑥𝐷 ↦ 1)
191 nfcv 2750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑏1
192 nfcv 2750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥1
193 eqidd 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑏 → 1 = 1)
19424, 23, 191, 192, 193cbvmptf 4670 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐷 ↦ 1) = (𝑏𝐷 ↦ 1)
195190, 194eqtri 2631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 × {1}) = (𝑏𝐷 ↦ 1)
196195feq1i 5934 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 × {1}):𝐷⟶{1} ↔ (𝑏𝐷 ↦ 1):𝐷⟶{1})
197189, 196mpbi 218 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏𝐷 ↦ 1):𝐷⟶{1}
198 ax-1cn 9850 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
199 snssi 4279 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℂ → {1} ⊆ ℂ)
200198, 199ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 {1} ⊆ ℂ
201 fss 5954 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏𝐷 ↦ 1):𝐷⟶{1} ∧ {1} ⊆ ℂ) → (𝑏𝐷 ↦ 1):𝐷⟶ℂ)
202197, 200, 201mp2an 703 . . . . . . . . . . 11 (𝑏𝐷 ↦ 1):𝐷⟶ℂ
203202a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ 1):𝐷⟶ℂ)
204 cnelprrecn 9885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
205204a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
20646, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 157, 2, 1binomcxplemdvsum 37359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)))
207206adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D 𝑃) = (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)))
208 nfcv 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)
209 nfcv 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑏
210 nfmpt1 4669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
211157, 210nfcxfr 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑏𝐸
212211, 27nffv 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑏(𝐸𝑥)
213212, 29nffv 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑏((𝐸𝑥)‘𝑘)
214209, 213nfsum 14217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑏Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑥)‘𝑘)
215 simpl 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ) → 𝑏 = 𝑥)
216215fveq2d 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ) → (𝐸𝑏) = (𝐸𝑥))
217216fveq1d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑏)‘𝑘) = ((𝐸𝑥)‘𝑘))
218217sumeq2dv 14229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑥)‘𝑘))
21923, 24, 208, 214, 218cbvmptf 4670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝑥𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑥)‘𝑘))
220207, 219syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D 𝑃) = (𝑥𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑥)‘𝑘)))
221 sumex 14214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑥)‘𝑘) ∈ V
222221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑥)‘𝑘) ∈ V)
223220, 222fmpt3d 6277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D 𝑃):𝐷⟶V)
224 fdm 5949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℂ D 𝑃):𝐷⟶V → dom (ℂ D 𝑃) = 𝐷)
225223, 224syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → dom (ℂ D 𝑃) = 𝐷)
22646, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 157, 2binomcxplemdvbinom 37357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
227 nfcv 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥(-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
228 nfcv 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑏(-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
229174oveq1d 6541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 = 𝑥 → ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)) = ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
230229oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑥 → (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) = (-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
23123, 24, 227, 228, 230cbvmptf 4670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) = (𝑥𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
232226, 231syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑥𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
233170, 165subcld 10243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → (-𝐶 − 1) ∈ ℂ)
234168, 233cxpcld 24198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1)) ∈ ℂ)
235170, 234mulcld 9916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → (-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ ℂ)
236232, 235fmpt3d 6277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))):𝐷⟶ℂ)
237 fdm 5949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))):𝐷⟶ℂ → dom (ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = 𝐷)
238236, 237syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → dom (ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = 𝐷)
239205, 164, 177, 225, 238dvmulf 23456 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (((ℂ D 𝑃) ∘𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 + ((ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 · 𝑃)))
24071ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
241240mulid1d 9913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 · 1) = 𝐶)
242241oveq1d 6541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐶 · 1) + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))) = (𝐶 + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))))
243 1cnd 9912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → 1 ∈ ℂ)
244 nnuz 11557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ℕ = (ℤ‘1)
245 1zzd 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → 1 ∈ ℤ)
246 nnnn0 11148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
247246, 138sylan2 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
248247adantllr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
24971ad3antrrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
250 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
251249, 250bcccl 37343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
252246, 251sylan2 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
253119adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑏 ∈ ℂ)
254253adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℂ)
255254, 250expcld 12827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏𝑘) ∈ ℂ)
256246, 255sylan2 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏𝑘) ∈ ℂ)
257252, 256mulcld 9916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)) ∈ ℂ)
258 1nn0 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1 ∈ ℕ0
259258a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑏𝐷) → 1 ∈ ℕ0)
260112, 259, 145iserex 14183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑏𝐷) → (seq0( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ ))
261160, 260mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑏𝐷) → seq1( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ )
262261adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → seq1( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ )
263244, 245, 248, 257, 262isumcl 14282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)) ∈ ℂ)
264240, 243, 263adddid 9920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 · (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))) = ((𝐶 · 1) + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))))
265157a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝜑𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))))
266 nnex 10875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ℕ ∈ V
267266mptex 6367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) ∈ V
268267a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑏 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) ∈ V)
269265, 268fvmpt2d 6186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑏 ∈ ℂ) → (𝐸𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
270119, 269sylan2 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝐸𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
271270adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐸𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
272 ovex 6554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ V
273272a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ V)
274271, 273fmpt3d 6277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐸𝑏):ℕ⟶V)
275274feqmptd 6143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐸𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐸𝑏)‘𝑘)))
276272a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ V)
277269, 276fvmpt2d 6186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑏)‘𝑘) = ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
278246, 134sylan2 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
279278oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝐹𝑘)) = (𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)))
280279oveq1d 6541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
281280adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
282277, 281eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑏)‘𝑘) = ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
28371adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
284 nnm1nn0 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
285284adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
286283, 285bccp1k 37345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐((𝑘 − 1) + 1)) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / ((𝑘 − 1) + 1))))
287246adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
288287nn0cnd 11202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
289 1cnd 9912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
290288, 289npcand 10247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
291290oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐((𝑘 − 1) + 1)) = (𝐶C𝑐𝑘))
292290oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / ((𝑘 − 1) + 1)) = ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘))
293292oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / ((𝑘 − 1) + 1))) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘)))
294286, 291, 2933eqtr3d 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐𝑘) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘)))
295294oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) = (𝑘 · ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘))))
296283, 285bcccl 37343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
297288, 289subcld 10243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ)
298283, 297subcld 10243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
299 nnne0 10902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
300299adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
301296, 298, 288, 300divassd 10687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) / 𝑘) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘)))
302301oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) / 𝑘)) = (𝑘 · ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘))))
303296, 298mulcld 9916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
304303, 288, 300divcan2d 10654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) / 𝑘)) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))))
305295, 302, 3043eqtr2d 2649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))))
306305oveq1d 6541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
307306adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
308296adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
309298adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
310308, 309mulcomd 9917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) = ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))))
311310oveq1d 6541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
312282, 307, 3113eqtrd 2647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑏)‘𝑘) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
313119, 312sylanl2 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑏)‘𝑘) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
314313adantllr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑏)‘𝑘) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
315314mpteq2dva 4666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
316275, 315eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐸𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
317316oveq1d 6541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐸𝑏) shift -1) = ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) shift -1))
318 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
319 ovex 6554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ V
320 oveq1 6533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑘 = (𝑗 − -1) → (𝑘 − 1) = ((𝑗 − -1) − 1))
321320oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑘 = (𝑗 − -1) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) = (𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)))
322320oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑘 = (𝑗 − -1) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) = (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1)))
323321, 322oveq12d 6544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 = (𝑗 − -1) → ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) = ((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))))
324320oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 = (𝑗 − -1) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) = (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)))
325323, 324oveq12d 6544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 = (𝑗 − -1) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1))))
326 1pneg1e0 10978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (1 + -1) = 0
327326fveq2i 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (ℤ‘(1 + -1)) = (ℤ‘0)
328112, 327eqtr4i 2634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 0 = (ℤ‘(1 + -1))
329245znegcld 11318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → -1 ∈ ℤ)
330318, 319, 325, 244, 328, 245, 329uzmptshftfval 37350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) shift -1) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)))))
331 oveq1 6533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − -1) = (𝑘 − -1))
332331oveq1d 6541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 − -1) − 1) = ((𝑘 − -1) − 1))
333332oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑗 = 𝑘 → (𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) = (𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)))
334332oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑗 = 𝑘 → (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1)) = (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1)))
335333, 334oveq12d 6544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) = ((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))))
336332oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑗 = 𝑘 → (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)) = (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)))
337335, 336oveq12d 6544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1))) = (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1))))
338337cbvmptv 4672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1))))
339338a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)))))
340317, 330, 3393eqtrd 2647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐸𝑏) shift -1) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)))))
341 nn0cn 11151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
342 1cnd 9912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
343341, 342subnegd 10250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 − -1) = (𝑘 + 1))
344343oveq1d 6541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 − -1) − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
345341, 342pncand 10244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
346344, 345eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 − -1) − 1) = 𝑘)
347346adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 − -1) − 1) = 𝑘)
348347oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) = (𝐶𝑘))
349347oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1)) = (𝐶C𝑐𝑘))
350348, 349oveq12d 6544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) = ((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)))
351347oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)) = (𝑏𝑘))
352350, 351oveq12d 6544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1))) = (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)))
353352mpteq2dva 4666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))))
354340, 353eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐸𝑏) shift -1) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))))
355 ovex 6554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) ∈ V
356355a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) ∈ V)
357354, 356fvmpt2d 6186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐸𝑏) shift -1)‘𝑘) = (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)))
358246, 357sylan2 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐸𝑏) shift -1)‘𝑘) = (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)))
359341adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
360249, 359subcld 10243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
361360, 251mulcld 9916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) ∈ ℂ)
362361, 255mulcld 9916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) ∈ ℂ)
363246, 362sylan2 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) ∈ ℂ)
364 fveq2 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐸𝑏)‘𝑘) = ((𝐸𝑏)‘𝑗))
365364oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑘 = 𝑗 → (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑗)))
366365cbvmptv 4672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑘))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑗)))
367314oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
368253adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℂ)
36971ad3antrrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
370 nncn 10877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
371370adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
372 1cnd 9912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
373371, 372subcld 10243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ)
374369, 373subcld 10243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
375284adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
376369, 375bcccl 37343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
377374, 376mulcld 9916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
378368, 375expcld 12827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
379368, 377, 378mul12d 10096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏 · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
380368, 378mulcomd 9917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑏↑(𝑘 − 1)) · 𝑏))
381368, 375expp1d 12828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑((𝑘 − 1) + 1)) = ((𝑏↑(𝑘 − 1)) · 𝑏))
382290adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
383382adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
384383oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑((𝑘 − 1) + 1)) = (𝑏𝑘))
385380, 381, 3843eqtr2d 2649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (𝑏𝑘))
386385oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏 · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))
387379, 386eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))
388367, 387eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))
389388mpteq2dva 4666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))))
390366, 389syl5eqr 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑗))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))))
391 ovex 6554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)) ∈ V
392391a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)) ∈ V)
393390, 392fvmpt2d 6186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑗)))‘𝑘) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))
394377, 256mulcld 9916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)) ∈ ℂ)
395 climrel 14019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Rel ⇝
396159simprd 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑏𝐷) → seq1( + , (𝐸𝑏)) ∈ dom ⇝ )
397396adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → seq1( + , (𝐸𝑏)) ∈ dom ⇝ )
398 climdm 14081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (seq1( + , (𝐸𝑏)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , (𝐸𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))))
399397, 398sylib 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → seq1( + , (𝐸𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))))
400 0z 11223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 0 ∈ ℤ
401 neg1z 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 -1 ∈ ℤ
402 fvex 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝐸𝑏) ∈ V
403402seqshft 13621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → seq0( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) = (seq(0 − -1)( + , (𝐸𝑏)) shift -1))
404400, 401, 403mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 seq0( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) = (seq(0 − -1)( + , (𝐸𝑏)) shift -1)
405 0cn 9888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 0 ∈ ℂ
406405, 198subnegi 10211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (0 − -1) = (0 + 1)
407 0p1e1 10981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (0 + 1) = 1
408406, 407eqtri 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (0 − -1) = 1
409 seqeq1 12623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((0 − -1) = 1 → seq(0 − -1)( + , (𝐸𝑏)) = seq1( + , (𝐸𝑏)))
410408, 409ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 seq(0 − -1)( + , (𝐸𝑏)) = seq1( + , (𝐸𝑏))
411410oveq1i 6536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (seq(0 − -1)( + , (𝐸𝑏)) shift -1) = (seq1( + , (𝐸𝑏)) shift -1)
412404, 411eqtri 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 seq0( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) = (seq1( + , (𝐸𝑏)) shift -1)
413412breq1i 4584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (seq0( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))) ↔ (seq1( + , (𝐸𝑏)) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))))
414 seqex 12622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 seq1( + , (𝐸𝑏)) ∈ V
415 climshft 14103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((-1 ∈ ℤ ∧ seq1( + , (𝐸𝑏)) ∈ V) → ((seq1( + , (𝐸𝑏)) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))) ↔ seq1( + , (𝐸𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏)))))
416401, 414, 415mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((seq1( + , (𝐸𝑏)) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))) ↔ seq1( + , (𝐸𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))))
417413, 416bitri 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (seq0( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))) ↔ seq1( + , (𝐸𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))))
418399, 417sylibr 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → seq0( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))))
419 releldm 5265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((Rel ⇝ ∧ seq0( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏)))) → seq0( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
420395, 418, 419sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → seq0( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
421258a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → 1 ∈ ℕ0)
422357, 362eqeltrd 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐸𝑏) shift -1)‘𝑘) ∈ ℂ)
423112, 421, 422iserex 14183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (seq0( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝ ))
424420, 423mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → seq1( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
425377, 378mulcld 9916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
426314, 425eqeltrd 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ)
427393, 388eqtr4d 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑗)))‘𝑘) = (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑘)))
428244, 245, 253, 399, 426, 427isermulc2 14184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑗)))) ⇝ (𝑏 · ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏)))))
429 releldm 5265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((Rel ⇝ ∧ seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑗)))) ⇝ (𝑏 · ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))))) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑗)))) ∈ dom ⇝ )
430395, 428, 429sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑗)))) ∈ dom ⇝ )
431244, 245, 358, 363, 393, 394, 424, 430isumadd 14288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))))
432431oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))) = (𝐶 + (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))))
433369, 371subcld 10243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
434433, 252mulcld 9916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) ∈ ℂ)
435434, 377, 256adddird 9921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏𝑘)) = ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))))
436435sumeq2dv 14229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))))
437436oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏𝑘))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))))
438312sumeq2dv 14229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑏 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
439438oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑏 ∈ ℂ) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
440119, 439sylan2 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
441440adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
442244, 245, 314, 425, 397isumcl 14282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
443243, 253, 442adddird 9921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = ((1 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) + (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))))
444442mulid2d 9914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (1 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
445244, 245, 314, 425, 397, 253isummulc2 14283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
446387sumeq2dv 14229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))
447445, 446eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))
448444, 447oveq12d 6544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) + (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) = (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))))
449441, 443, 4483eqtrd 2647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))))
450407fveq2i 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (ℤ‘(0 + 1)) = (ℤ‘1)
451244, 450eqtr4i 2634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ℕ = (ℤ‘(0 + 1))
452 oveq1 6533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 = (1 + 𝑗) → (𝑘 − 1) = ((1 + 𝑗) − 1))
453452oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 = (1 + 𝑗) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) = (𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)))
454452oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 = (1 + 𝑗) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) = (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1)))
455453, 454oveq12d 6544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 = (1 + 𝑗) → ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) = ((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))))
456452oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 = (1 + 𝑗) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) = (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1)))
457455, 456oveq12d 6544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑘 = (1 + 𝑗) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))))
458112, 451, 457, 245, 113, 425isumshft 14358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))))
459 oveq2 6534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑗 = 𝑘 → (1 + 𝑗) = (1 + 𝑘))
460459oveq1d 6541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑗 = 𝑘 → ((1 + 𝑗) − 1) = ((1 + 𝑘) − 1))
461460oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑗 = 𝑘 → (𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) = (𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)))
462460oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑗 = 𝑘 → (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1)) = (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1)))
463461, 462oveq12d 6544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) = ((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))))
464460oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑗 = 𝑘 → (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1)) = (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1)))
465463, 464oveq12d 6544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))) = (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1))))
466465cbvsumv 14222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Σ𝑗 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1)))
467466a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1))))
468 1cnd 9912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
469468, 359pncan2d 10245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝑘) − 1) = 𝑘)
470469oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) = (𝐶𝑘))
471469oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1)) = (𝐶C𝑐𝑘))
472470, 471oveq12d 6544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) = ((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)))
473469oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1)) = (𝑏𝑘))
474472, 473oveq12d 6544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1))) = (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)))
475474sumeq2dv 14229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)))
476458, 467, 4753eqtrd 2647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)))
477112, 113, 357, 362, 420isum1p 14360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) = ((((𝐸𝑏) shift -1)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))(((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))))
478 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
479478oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐶𝑘) = (𝐶 − 0))
480478oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑐0))
481479, 480oveq12d 6544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) = ((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)))
482478oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (𝑏𝑘) = (𝑏↑0))
483481, 482oveq12d 6544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) = (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0)))
484 0nn0 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 0 ∈ ℕ0
485484a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → 0 ∈ ℕ0)
486 ovex 6554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0)) ∈ V
487486a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0)) ∈ V)
488354, 483, 485, 487fvmptd 6181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐸𝑏) shift -1)‘0) = (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0)))
489240subid1d 10232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 − 0) = 𝐶)
490240bccn0 37347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶C𝑐0) = 1)
491489, 490oveq12d 6544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) = (𝐶 · 1))
492491, 241eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) = 𝐶)
493253exp0d 12821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑏↑0) = 1)
494492, 493oveq12d 6544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0)) = (𝐶 · 1))
495488, 494, 2413eqtrd 2647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐸𝑏) shift -1)‘0) = 𝐶)
496451eqcomi 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (ℤ‘(0 + 1)) = ℕ
497496sumeq1i 14224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))(((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))
498497a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))(((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)))
499495, 498oveq12d 6544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((((𝐸𝑏) shift -1)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))(((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))))
500476, 477, 4993eqtrd 2647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))))
501500oveq1d 6541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))) = ((𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))))
502244, 245, 358, 363, 424isumcl 14282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) ∈ ℂ)
503253, 442mulcld 9916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
504447, 503eqeltrrd 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)) ∈ ℂ)
505240, 502, 504addassd 9918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))) = (𝐶 + (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))))
506449, 501, 5053eqtrd 2647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 + (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))))
507432, 437, 5063eqtr4rd 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏𝑘))))
508 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
509283, 508binomcxplemwb 37352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) = (𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)))
510509oveq1d 6541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏𝑘)) = ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)))
511510sumeq2dv 14229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)))
512511oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏𝑘))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))))
513512ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏𝑘))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))))
514369, 252, 256mulassd 9919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) = (𝐶 · ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘))))
515514sumeq2dv 14229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐶 · ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘))))
516244, 245, 248, 257, 262, 240isummulc2 14283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐶 · ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘))))
517515, 516eqtr4d 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘))))
518517oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))) = (𝐶 + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))))
519507, 513, 5183eqtrd 2647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))))
520242, 264, 5193eqtr4rd 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 · (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))))
5218a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)))))
522122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))) ∈ V)
523521, 522fvmpt2d 6186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑆𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
524119, 523sylan2 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑆𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
525125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) ∈ V)
526524, 525fvmpt2d 6186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)))
527526sumeq2dv 14229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)))
52871adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
529528, 131bcccl 37343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
530134, 529eqeltrd 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
531530adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
532531adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
533532, 255mulcld 9916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) ∈ ℂ)
534112, 113, 526, 533, 161isum1p 14360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = (((𝑆𝑏)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
535478fveq2d 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘0))
536535, 482oveq12d 6544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = ((𝐹‘0) · (𝑏↑0)))
537 ovex 6554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹‘0) · (𝑏↑0)) ∈ V
538537a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐹‘0) · (𝑏↑0)) ∈ V)
539524, 536, 485, 538fvmptd 6181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝑆𝑏)‘0) = ((𝐹‘0) · (𝑏↑0)))
54072a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
541 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑗 = 0) → 𝑗 = 0)
542541oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑗 = 0) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐0))
543484a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
544 ovex 6554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐶C𝑐0) ∈ V
545544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → (𝐶C𝑐0) ∈ V)
546540, 542, 543, 545fvmptd 6181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐶C𝑐0))
547546ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐹‘0) = (𝐶C𝑐0))
548547, 490eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐹‘0) = 1)
549548, 493oveq12d 6544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐹‘0) · (𝑏↑0)) = (1 · 1))
550243mulid1d 9913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (1 · 1) = 1)
551539, 549, 5503eqtrd 2647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝑆𝑏)‘0) = 1)
552496sumeq1i 14224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))
553135adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
554246, 553sylan2 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
555554adantllr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
556555sumeq2dv 14229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
557552, 556syl5eq 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
558551, 557oveq12d 6544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝑆𝑏)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))) = (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘))))
559527, 534, 5583eqtrrd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))
560559oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 · (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
561520, 560eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
562240, 162mulcld 9916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) ∈ ℂ)
563243, 253addcld 9915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (1 + 𝑏) ∈ ℂ)
564 eqidd 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑏)‘𝑘) = ((𝐸𝑏)‘𝑘))
565244, 245, 564, 426, 397isumcl 14282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ)
566243, 253subnegd 10250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (1 − -𝑏) = (1 + 𝑏))
567253negcld 10230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → -𝑏 ∈ ℂ)
568 elpreima 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (abs Fn ℂ → (𝑏 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅))))
56986, 87, 568mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑏 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅)))
570569simprbi 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑏 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) → (abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅))
571570, 2eleq2s 2705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑏𝐷 → (abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅))
572 elico2 12066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑏) ∧ (abs‘𝑏) < 𝑅)))
57375, 81, 572mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑏) ∧ (abs‘𝑏) < 𝑅))
574573simp3bi 1070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅) → (abs‘𝑏) < 𝑅)
575571, 574syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏𝐷 → (abs‘𝑏) < 𝑅)
576575adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (abs‘𝑏) < 𝑅)
577253absnegd 13984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (abs‘-𝑏) = (abs‘𝑏))
578577eqcomd 2615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (abs‘𝑏) = (abs‘-𝑏))
57973adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑅 = 1)
580576, 578, 5793brtr3d 4608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (abs‘-𝑏) < 1)
581 1re 9895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 ∈ ℝ
582 abssubne0 13852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-𝑏 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (abs‘-𝑏) < 1) → (1 − -𝑏) ≠ 0)
583581, 582mp3an2 1403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-𝑏 ∈ ℂ ∧ (abs‘-𝑏) < 1) → (1 − -𝑏) ≠ 0)
584567, 580, 583syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (1 − -𝑏) ≠ 0)
585566, 584eqnetrrd 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (1 + 𝑏) ≠ 0)
586562, 563, 565, 585divmuld 10674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) / (1 + 𝑏)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘) ↔ ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))))
587561, 586mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) / (1 + 𝑏)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘))
588240, 162, 563, 585div23d 10689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) / (1 + 𝑏)) = ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
589587, 588eqtr3d 2645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘) = ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
590589mpteq2dva 4666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))))
591 ovex 6554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐶 / (1 + 𝑏)) ∈ V
592591a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 / (1 + 𝑏)) ∈ V)
593 sumex 14214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘) ∈ V
594593a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘) ∈ V)
595 eqidd 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) = (𝑏𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))))
5961a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
597103, 23, 185, 592, 594, 595, 596offval2f 6784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑏𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 · 𝑃) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))))
598590, 207, 5973eqtr4d 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D 𝑃) = ((𝑏𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 · 𝑃))
599598oveq1d 6541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((ℂ D 𝑃) ∘𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (((𝑏𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 · 𝑃) ∘𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))))
600226oveq1d 6541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 · 𝑃) = ((𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) ∘𝑓 · 𝑃))
601599, 600oveq12d 6544 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((ℂ D 𝑃) ∘𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 + ((ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 · 𝑃)) = ((((𝑏𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 · 𝑃) ∘𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 + ((𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) ∘𝑓 · 𝑃)))
602 ovex 6554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) ∈ V
603602a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) ∈ V)
604 ovex 6554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) ∈ V
605604a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) ∈ V)
606 ovex 6554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) ∈ V
607606a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) ∈ V)
608 ovex 6554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) ∈ V
609608a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) ∈ V)
610 eqidd 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))
611103, 23, 185, 607, 609, 597, 610offval2f 6784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((𝑏𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 · 𝑃) ∘𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏𝐷 ↦ (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))))
612 ovex 6554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ V
613612a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ V)
614 eqidd 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) = (𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
615103, 23, 185, 613, 594, 614, 596offval2f 6784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) ∘𝑓 · 𝑃) = (𝑏𝐷 ↦ ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))))
616103, 23, 185, 603, 605, 611, 615offval2f 6784 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((((𝑏𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 · 𝑃) ∘𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 + ((𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) ∘𝑓 · 𝑃)) = (𝑏𝐷 ↦ ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))))
617239, 601, 6163eqtrd 2647 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))))
618240, 563, 585divcld 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 / (1 + 𝑏)) ∈ ℂ)
619240negcld 10230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → -𝐶 ∈ ℂ)
620563, 619cxpcld 24198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) ∈ ℂ)
621618, 162, 620mul32d 10097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
622240, 563, 620, 585div32d 10675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝐶 · (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / (1 + 𝑏))))
623563, 585, 619, 243cxpsubd 24208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)) = (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / ((1 + 𝑏)↑𝑐1)))
624563cxp1d 24196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐1) = (1 + 𝑏))
625624oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / ((1 + 𝑏)↑𝑐1)) = (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / (1 + 𝑏)))
626623, 625eqtr2d 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / (1 + 𝑏)) = ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
627626oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 · (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / (1 + 𝑏))) = (𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
628622, 627eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
629628oveq1d 6541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) = ((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
630621, 629eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = ((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
631619, 243subcld 10243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (-𝐶 − 1) ∈ ℂ)
632563, 631cxpcld 24198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)) ∈ ℂ)
633240, 632mulneg1d 10334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) = -(𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
634633oveq1d 6541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) = (-(𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
635240, 632mulcld 9916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ ℂ)
636635, 162mulneg1d 10334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (-(𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) = -((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
637634, 636eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) = -((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
638630, 637oveq12d 6544 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))) = (((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) + -((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))))
639635, 162mulcld 9916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) ∈ ℂ)
640639negidd 10233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) + -((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))) = 0)
641638, 640eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))) = 0)
642641mpteq2dva 4666 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))) = (𝑏𝐷 ↦ 0))
643617, 642eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (𝑏𝐷 ↦ 0))
644 nfcv 2750 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥0
645 eqidd 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑏 → 0 = 0)
64624, 23, 4, 644, 645cbvmptf 4670 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐷 ↦ 0) = (𝑏𝐷 ↦ 0)
647643, 646syl6eqr 2661 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (𝑥𝐷 ↦ 0))
648 c0ex 9890 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
649648snid 4154 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ {0}
650649a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → 0 ∈ {0})
651647, 650fmpt3d 6277 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))):𝐷⟶{0})
652 fdm 5949 . . . . . . . . . . 11 ((ℂ D (𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))):𝐷⟶{0} → dom (ℂ D (𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = 𝐷)
653651, 652syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → dom (ℂ D (𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = 𝐷)
654 1cnd 9912 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
655 0cnd 9889 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
656 dvconst 23430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {1})) = (ℂ × {0}))
657198, 656ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℂ D (ℂ × {1})) = (ℂ × {0})
658 fconstmpt 5074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℂ × {1}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
659658oveq2i 6537 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℂ D (ℂ × {1})) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
660 fconstmpt 5074 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℂ × {0}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
661657, 659, 6603eqtr3i 2639 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
662661a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
663118a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐷 ⊆ ℂ)
664 fvex 6097 . . . . . . . . . . . . . . 15 (TopOpen‘ℂfld) ∈ V
665 cnfldtps 22338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 fld ∈ TopSp
666 cnfldbas 19519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℂ = (Base‘ℂfld)
667 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
668666, 667tpsuni 20500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℂfld ∈ TopSp → ℂ = (TopOpen‘ℂfld))
669665, 668ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
670669restid 15865 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ V → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
671664, 670ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
672671eqcomi 2618 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
673667cnfldtop 22344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
674 cnxmet 22333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
675667cnfldtopn 22342 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
676675blopn 22062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
677674, 405, 81, 676mp3an 1415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
67898, 677eqeltri 2683 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
679 isopn3i 20643 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷)
680673, 678, 679mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . 14 ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷
681680a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷)
682205, 654, 655, 662, 663, 672, 667, 681dvmptres2 23475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ 1)) = (𝑥𝐷 ↦ 0))
683194oveq2i 6537 . . . . . . . . . . . 12 (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ 1)) = (ℂ D (𝑏𝐷 ↦ 1))
684682, 683, 6463eqtr3g 2666 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏𝐷 ↦ 1)) = (𝑏𝐷 ↦ 0))
685642, 617, 6843eqtr4d 2653 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (ℂ D (𝑏𝐷 ↦ 1)))
686 1rp 11670 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ+
68773, 686syl6eqel 2695 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ ℝ+)
688 blcntr 21975 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 0 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
689674, 405, 688mp3an12 1405 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
690687, 689syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
691690, 98syl6eleqr 2698 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ 𝐷)
692 0zd 11224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
693 eqidd 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) = ((𝑆‘0)‘𝑘))
694 nfv 1829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑏𝜑
69523nfel2 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑏0 ∈ 𝐷
696694, 695nfan 1815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑏(𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷)
697 nfv 1829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑏 𝑘 ∈ ℕ0
698696, 697nfan 1815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑏((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
69910, 4nffv 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑏(𝑆‘0)
700699, 29nffv 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑏((𝑆‘0)‘𝑘)
701700nfel1 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑏((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ
702698, 701nfim 1812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑏(((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)
703 eleq1 2675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 0 → (𝑏𝐷 ↔ 0 ∈ 𝐷))
704703anbi2d 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 0 → ((𝜑𝑏𝐷) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷)))
705704anbi1d 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 0 → (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)))
706 fveq2 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 0 → (𝑆𝑏) = (𝑆‘0))
707706fveq1d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 0 → ((𝑆𝑏)‘𝑘) = ((𝑆‘0)‘𝑘))
708707eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 0 → (((𝑆𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ ↔ ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ))
709705, 708imbi12d 332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 0 → ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ (((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)))
710702, 648, 709, 145vtoclf 3230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)
711691, 710syldanl 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)
7124, 7, 699nfseq 12630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑏seq0( + , (𝑆‘0))
713712nfel1 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑏seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝
714696, 713nfim 1812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑏((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝ )
715706seqeq3d 12628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 0 → seq0( + , (𝑆𝑏)) = seq0( + , (𝑆‘0)))
716715eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 0 → (seq0( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝ ))
717704, 716imbi12d 332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 0 → (((𝜑𝑏𝐷) → seq0( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ ) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝ )))
718714, 648, 717, 160vtoclf 3230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝ )
719691, 718syldan 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝ )
720112, 692, 693, 711, 719isum1p 14360 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) = (((𝑆‘0)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))((𝑆‘0)‘𝑘)))
721134adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
722721adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
723 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 0)
724723oveq1d 6541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏𝑘) = (0↑𝑘))
725722, 724oveq12d 6544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)))
726725mpteq2dva 4666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))))
727121mptex 6367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))) ∈ V
728727a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))) ∈ V)
729521, 726, 99, 728fvmptd 6181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑆‘0) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))))
730 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
731730oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑐0))
732730oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → (0↑𝑘) = (0↑0))
733731, 732oveq12d 6544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐0) · (0↑0)))
734484a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
735 ovex 6554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐶C𝑐0) · (0↑0)) ∈ V
736735a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐0) · (0↑0)) ∈ V)
737729, 733, 734, 736fvmptd 6181 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘0) = ((𝐶C𝑐0) · (0↑0)))
73871adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
739738bccn0 37347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐0) = 1)
74099exp0d 12821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (0↑0) = 1)
741739, 740oveq12d 6544 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐0) · (0↑0)) = (1 · 1))
742 1t1e1 11024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 · 1) = 1
743742a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1 · 1) = 1)
744737, 741, 7433eqtrd 2647 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘0) = 1)
745 ovex 6554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)) ∈ V
746745a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)) ∈ V)
747729, 746fvmpt2d 6186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)))
748246, 747sylan2 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘0)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)))
749 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
7507490expd 12843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0↑𝑘) = 0)
751750oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · 0))
752529adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
753246, 752sylan2 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
754753mul01d 10086 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐𝑘) · 0) = 0)
755748, 751, 7543eqtrd 2647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘0)‘𝑘) = 0)
756755sumeq2dv 14229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑆‘0)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ 0)
757451sumeq1i 14224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑆‘0)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))((𝑆‘0)‘𝑘)
758244eqimssi 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℕ ⊆ (ℤ‘1)
759758orci 403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℕ ⊆ (ℤ‘1) ∨ ℕ ∈ Fin)
760 sumz 14248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℕ ⊆ (ℤ‘1) ∨ ℕ ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ ℕ 0 = 0)
761759, 760ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ𝑘 ∈ ℕ 0 = 0
762756, 757, 7613eqtr3g 2666 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))((𝑆‘0)‘𝑘) = 0)
763744, 762oveq12d 6544 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((𝑆‘0)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))((𝑆‘0)‘𝑘)) = (1 + 0))
764720, 763eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) = (1 + 0))
765 1p0e1 10982 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 0) = 1
766765oveq1i 6536 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 + 0)↑𝑐-𝐶) = (1↑𝑐-𝐶)
767738negcld 10230 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → -𝐶 ∈ ℂ)
7687671cxpd 24197 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1↑𝑐-𝐶) = 1)
769766, 768syl5eq 2655 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 + 0)↑𝑐-𝐶) = 1)
770764, 769oveq12d 6544 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) · ((1 + 0)↑𝑐-𝐶)) = ((1 + 0) · 1))
771765oveq1i 6536 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 + 0) · 1) = (1 · 1)
772771, 742eqtri 2631 . . . . . . . . . . . 12 ((1 + 0) · 1) = 1
773770, 772syl6eq 2659 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) · ((1 + 0)↑𝑐-𝐶)) = 1)
774 ffn 5943 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃:𝐷⟶ℂ → 𝑃 Fn 𝐷)
775164, 774syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 Fn 𝐷)
776 ffn 5943 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)):𝐷⟶ℂ → (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) Fn 𝐷)
777177, 776syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) Fn 𝐷)
77837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → 𝑃 = (𝑥𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘)))
779 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑥 = 0)
780779fveq2d 6091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑥) = (𝑆‘0))
781780fveq1d 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑥)‘𝑘) = ((𝑆‘0)‘𝑘))
782781sumeq2dv 14229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘))
783 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → 0 ∈ 𝐷)
784 sumex 14214 . . . . . . . . . . . . . . 15 Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ V
785784a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ V)
786778, 782, 783, 785fvmptd 6181 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → (𝑃‘0) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘))
787176a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝑥𝐷 ↦ ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶)))
788 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
789788oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) → (1 + 𝑥) = (1 + 0))
790789oveq1d 6541 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) → ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) = ((1 + 0)↑𝑐-𝐶))
791 ovex 6554 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 + 0)↑𝑐-𝐶) ∈ V
792791a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → ((1 + 0)↑𝑐-𝐶) ∈ V)
793787, 790, 783, 792fvmptd 6181 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → ((𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))‘0) = ((1 + 0)↑𝑐-𝐶))
794775, 777, 185, 185, 186, 786, 793ofval 6781 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → ((𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))‘0) = (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) · ((1 + 0)↑𝑐-𝐶)))
795691, 794mpdan 698 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))‘0) = (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) · ((1 + 0)↑𝑐-𝐶)))
796195fveq1i 6088 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 × {1})‘0) = ((𝑏𝐷 ↦ 1)‘0)
797188fvconst2 6351 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ 𝐷 → ((𝐷 × {1})‘0) = 1)
798691, 797syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐷 × {1})‘0) = 1)
799796, 798syl5eqr 2657 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑏𝐷 ↦ 1)‘0) = 1)
800773, 795, 7993eqtr4d 2653 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))‘0) = ((𝑏𝐷 ↦ 1)‘0))
80198, 99, 100, 187, 203, 653, 685, 691, 800dv11cn 23512 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏𝐷 ↦ 1))
802801oveq1d 6541 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 / (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = ((𝑏𝐷 ↦ 1) ∘𝑓 / (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))))
803 nfv 1829 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏(1 + 𝑥) ≠ 0
804105, 803nfim 1812 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏(((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → (1 + 𝑥) ≠ 0)
805174neeq1d 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑥 → ((1 + 𝑏) ≠ 0 ↔ (1 + 𝑥) ≠ 0))
806109, 805imbi12d 332 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑥 → ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (1 + 𝑏) ≠ 0) ↔ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → (1 + 𝑥) ≠ 0)))
807804, 806, 585chvar 2249 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → (1 + 𝑥) ≠ 0)
808168, 807, 170cxpne0d 24203 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ≠ 0)
809 eldifsn 4259 . . . . . . . . . . 11 (((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ∈ ℂ ∧ ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ≠ 0))
810171, 808, 809sylanbrc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}))
811810, 176fmptd 6276 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)):𝐷⟶(ℂ ∖ {0}))
812 ofdivcan4 37331 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝑃:𝐷⟶ℂ ∧ (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)):𝐷⟶(ℂ ∖ {0})) → ((𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 / (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = 𝑃)
813185, 164, 811, 812syl3anc 1317 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑃𝑓 · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 / (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = 𝑃)
814 eqidd 2610 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ 1) = (𝑏𝐷 ↦ 1))
815103, 23, 185, 243, 620, 814, 610offval2f 6784 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑏𝐷 ↦ 1) ∘𝑓 / (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏𝐷 ↦ (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))))
816802, 813, 8153eqtr3d 2651 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑏𝐷 ↦ (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))))
817563, 585, 619cxpnegd 24205 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐--𝐶) = (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))
818240negnegd 10234 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → --𝐶 = 𝐶)
819818oveq2d 6542 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐--𝐶) = ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶))
820817, 819eqtr3d 2645 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶))
821820mpteq2dva 4666 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶)))
822816, 821eqtrd 2643 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶)))
823 nfcv 2750 . . . . . . 7 𝑥((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶)
824 nfcv 2750 . . . . . . 7 𝑏((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶)
825174oveq1d 6541 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑥 → ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶) = ((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶))
82623, 24, 823, 824, 825cbvmptf 4670 . . . . . 6 (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶)) = (𝑥𝐷 ↦ ((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶))
827822, 826syl6eq 2659 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑥𝐷 ↦ ((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶)))
828 simpr 475 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) → 𝑥 = (𝐵 / 𝐴))
829828oveq2d 6542 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) → (1 + 𝑥) = (1 + (𝐵 / 𝐴)))
830829oveq1d 6541 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) → ((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶) = ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶))
831 1cnd 9912 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
832831, 60addcld 9915 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1 + (𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
833832, 738cxpcld 24198 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
834827, 830, 91, 833fvmptd 6181 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃‘(𝐵 / 𝐴)) = ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶))
835721adantlr 746 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
836 simplr 787 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = (𝐵 / 𝐴))
837836oveq1d 6541 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏𝑘) = ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))
838835, 837oveq12d 6544 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)))
839838mpteq2dva 4666 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))))
840121mptex 6367 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))) ∈ V
841840a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))) ∈ V)
842521, 839, 60, 841fvmptd 6181 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑆‘(𝐵 / 𝐴)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))))
843 ovex 6554 . . . . . . 7 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) ∈ V
844843a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) ∈ V)
845842, 844fvmpt2d 6186 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)))
846845sumeq2dv 14229 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)))
84794, 834, 8463eqtr3d 2651 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)))
848847oveq1d 6541 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) · (𝐴𝑐𝐶)) = (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)))
84943, 46rerpdivcld 11737 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ)
850849adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ)
85166, 850readdcld 9925 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1 + (𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
852 df-neg 10120 . . . . . . 7 -(𝐵 / 𝐴) = (0 − (𝐵 / 𝐴))
853849recnd 9924 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
854853negcld 10230 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
855854abscld 13971 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
856 1red 9911 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
857853absnegd 13984 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) = (abs‘(𝐵 / 𝐴)))
85846rpne0d 11711 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ≠ 0)
85944, 47, 858absdivd 13990 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) = ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)))
860857, 859eqtrd 2643 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) = ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)))
86144abscld 13971 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
862686a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
86347, 858absrpcld 13983 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
864861recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘𝐵) ∈ ℂ)
865864div1d 10644 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((abs‘𝐵) / 1) = (abs‘𝐵))
866865, 53eqbrtrd 4599 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((abs‘𝐵) / 1) < (abs‘𝐴))
867861, 862, 863, 866ltdiv23d 11771 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)) < 1)
868860, 867eqbrtrd 4599 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) < 1)
869855, 856, 868ltled 10036 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) ≤ 1)
870849renegcld 10308 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ)
871870, 856absled 13965 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘-(𝐵 / 𝐴)) ≤ 1 ↔ (-1 ≤ -(𝐵 / 𝐴) ∧ -(𝐵 / 𝐴) ≤ 1)))
872869, 871mpbid 220 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-1 ≤ -(𝐵 / 𝐴) ∧ -(𝐵 / 𝐴) ≤ 1))
873872simprd 477 . . . . . . 7 (𝜑 → -(𝐵 / 𝐴) ≤ 1)
874852, 873syl5eqbrr 4613 . . . . . 6 (𝜑 → (0 − (𝐵 / 𝐴)) ≤ 1)
875 0red 9897 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
876875, 849, 856lesubaddd 10475 . . . . . 6 (𝜑 → ((0 − (𝐵 / 𝐴)) ≤ 1 ↔ 0 ≤ (1 + (𝐵 / 𝐴))))
877874, 876mpbid 220 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (1 + (𝐵 / 𝐴)))
878877adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (1 + (𝐵 / 𝐴)))
87946adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ+)
880879rpred 11706 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
881879rpge0d 11710 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
882851, 878, 880, 881, 738mulcxpd 24218 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((1 + (𝐵 / 𝐴)) · 𝐴)↑𝑐𝐶) = (((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) · (𝐴𝑐𝐶)))
883831, 60, 48adddird 9921 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐵 / 𝐴)) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + ((𝐵 / 𝐴) · 𝐴)))
88448mulid2d 9914 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
88545, 48, 59divcan1d 10653 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐵 / 𝐴) · 𝐴) = 𝐵)
886884, 885oveq12d 6544 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 · 𝐴) + ((𝐵 / 𝐴) · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐵))
887883, 886eqtrd 2643 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐵 / 𝐴)) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
888887oveq1d 6541 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((1 + (𝐵 / 𝐴)) · 𝐴)↑𝑐𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶))
889882, 888eqtr3d 2645 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) · (𝐴𝑐𝐶)) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶))
89060adantr 479 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
891 simpr 475 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
892890, 891expcld 12827 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
893752, 892mulcld 9916 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) ∈ ℂ)
89446, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 157, 2binomcxplemcvg 37358 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ ))
895894simpld 473 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ )
89691, 895syldan 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( + , (𝑆‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ )
89748, 738cxpcld 24198 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℂ)
898112, 692, 845, 893, 896, 897isummulc1 14284 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)))
89944ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
90047ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
901858ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≠ 0)
902899, 900, 901divrecd 10655 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) = (𝐵 · (1 / 𝐴)))
903902oveq1d 6541 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘) = ((𝐵 · (1 / 𝐴))↑𝑘))
904900, 901reccld 10645 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
905899, 904, 891mulexpd 12842 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵 · (1 / 𝐴))↑𝑘) = ((𝐵𝑘) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)))
906903, 905eqtrd 2643 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘) = ((𝐵𝑘) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)))
907906oveq2d 6542 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵𝑘) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))))
908899, 891expcld 12827 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
909904, 891expcld 12827 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
910752, 908, 909mulassd 9919 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵𝑘) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))))
911907, 910eqtr4d 2646 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)))
912911oveq1d 6541 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)) = ((((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)))
913752, 908mulcld 9916 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
914897adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℂ)
915913, 909, 914mul32d 10097 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)) = ((((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)))
916913, 914, 909mulassd 9919 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · ((𝐴𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))))
917912, 915, 9163eqtrd 2647 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · ((𝐴𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))))
918891nn0cnd 11202 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
919900, 918cxpcld 24198 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐𝑘) ∈ ℂ)
920900, 901, 918cxpne0d 24203 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐𝑘) ≠ 0)
921914, 919, 920divrecd 10655 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑐𝐶) / (𝐴𝑐𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐶) · (1 / (𝐴𝑐𝑘))))
92271ad2antrr 757 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
923900, 901, 922, 918cxpsubd 24208 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐(𝐶𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐶) / (𝐴𝑐𝑘)))
924891nn0zd 11314 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
925900, 901, 924exprecd 12835 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) = (1 / (𝐴𝑘)))
926 cxpexp 24158 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐𝑘) = (𝐴𝑘))
927900, 891, 926syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐𝑘) = (𝐴𝑘))
928927oveq2d 6542 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (𝐴𝑐𝑘)) = (1 / (𝐴𝑘)))
929925, 928eqtr4d 2646 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) = (1 / (𝐴𝑐𝑘)))
930929oveq2d 6542 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐶) · (1 / (𝐴𝑐𝑘))))
931921, 923, 9303eqtr4rd 2654 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) = (𝐴𝑐(𝐶𝑘)))
932931oveq2d 6542 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · ((𝐴𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · (𝐴𝑐(𝐶𝑘))))
933922, 918subcld 10243 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
934900, 933cxpcld 24198 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐(𝐶𝑘)) ∈ ℂ)
935752, 908, 934mul32d 10097 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · (𝐴𝑐(𝐶𝑘))) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐴𝑐(𝐶𝑘))) · (𝐵𝑘)))
936917, 932, 9353eqtrd 2647 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐴𝑐(𝐶𝑘))) · (𝐵𝑘)))
937752, 934, 908mulassd 9919 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐴𝑐(𝐶𝑘))) · (𝐵𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
938936, 937eqtrd 2643 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
939938sumeq2dv 14229 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
940898, 939eqtrd 2643 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
941848, 889, 9403eqtr3d 2651 1 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  {crab 2899  Vcvv 3172  cdif 3536  wss 3539  {csn 4124  {cpr 4126   cuni 4366   class class class wbr 4577  cmpt 4637   × cxp 5025  ccnv 5026  dom cdm 5027  cima 5030  ccom 5031  Rel wrel 5032   Fn wfn 5784  wf 5785  cfv 5789  (class class class)co 6526  𝑓 cof 6770  Fincfn 7818  supcsup 8206  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  -cneg 10118   / cdiv 10535  cn 10869  0cn0 11141  cz 11212  cuz 11521  +crp 11666  [,)cico 12006  seqcseq 12620  cexp 12679   shift cshi 13602  abscabs 13770  cli 14011  Σcsu 14212  t crest 15852  TopOpenctopn 15853  ∞Metcxmt 19500  ballcbl 19502  fldccnfld 19515  Topctop 20464  TopSpctps 20466  intcnt 20578   D cdv 23377  𝑐ccxp 24050  C𝑐cbcc 37340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-se 4987  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-isom 5798  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-n0 11142  df-z 11213  df-dec 11328  df-uz 11522  df-q 11623  df-rp 11667  df-xneg 11780  df-xadd 11781  df-xmul 11782  df-ioo 12008  df-ioc 12009  df-ico 12010  df-icc 12011  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-fl 12412  df-mod 12488  df-seq 12621  df-exp 12680  df-fac 12880  df-bc 12909  df-hash 12937  df-shft 13603  df-cj 13635  df-re 13636  df-im 13637  df-sqrt 13771  df-abs 13772  df-limsup 13998  df-clim 14015  df-rlim 14016  df-sum 14213  df-prod 14423  df-risefac 14524  df-fallfac 14525  df-ef 14585  df-sin 14587  df-cos 14588  df-tan 14589  df-pi 14590  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-ress 15650  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-starv 15731  df-sca 15732  df-vsca 15733  df-ip 15734  df-tset 15735  df-ple 15736  df-ds 15739  df-unif 15740  df-hom 15741  df-cco 15742  df-rest 15854  df-topn 15855  df-0g 15873  df-gsum 15874  df-topgen 15875  df-pt 15876  df-prds 15879  df-xrs 15933  df-qtop 15938  df-imas 15939  df-xps 15941  df-mre 16017  df-mrc 16018  df-acs 16020  df-mgm 17013  df-sgrp 17055  df-mnd 17066  df-submnd 17107  df-mulg 17312  df-cntz 17521  df-cmn 17966  df-psmet 19507  df-xmet 19508  df-met 19509  df-bl 19510  df-mopn 19511  df-fbas 19512  df-fg 19513  df-cnfld 19516  df-top 20468  df-bases 20469  df-topon 20470  df-topsp 20471  df-cld 20580  df-ntr 20581  df-cls 20582  df-nei 20659  df-lp 20697  df-perf 20698  df-cn 20788  df-cnp 20789  df-haus 20876  df-cmp 20947  df-tx 21122  df-hmeo 21315  df-fil 21407  df-fm 21499  df-flim 21500  df-flf 21501  df-xms 21882  df-ms 21883  df-tms 21884  df-cncf 22436  df-limc 23380  df-dv 23381  df-ulm 23879  df-log 24051  df-cxp 24052  df-bcc 37341
This theorem is referenced by:  binomcxp  37361
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