Theorem lduallvec 36305

Description: The dual of a left vector space is also a left vector space. Note that scalar multiplication is reversed by df-oppr 19373; otherwise, the dual would be a right vector space as is sometimes the case in the literature. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lduallvec.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lduallvec.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)

Assertion

Ref	Expression
lduallvec	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LVec)

Proof of Theorem lduallvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lduallvec.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
2		lduallvec.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		lveclmod 19878	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5	1, 4	lduallmod 36304	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
6		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (oppr‘(Scalar‘𝑊)) = (oppr‘(Scalar‘𝑊))
8		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
9	6, 7, 1, 8, 2	ldualsca 36283	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐷) = (oppr‘(Scalar‘𝑊)))
10	6	lvecdrng 19877	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
11	2, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
12	7	opprdrng 19526	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ↔ (oppr‘(Scalar‘𝑊)) ∈ DivRing)
13	11, 12	sylib 220	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppr‘(Scalar‘𝑊)) ∈ DivRing)
14	9, 13	eqeltrd 2913	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐷) ∈ DivRing)
15	8	islvec 19876	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ LVec ↔ (𝐷 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝐷) ∈ DivRing))
16	5, 14, 15	sylanbrc 585	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  Scalarcsca 16568  opp_rcoppr 19372  DivRingcdr 19502  LModclmod 19634  LVecclvec 19874  LDualcld 36274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-tpos 7892  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-drng 19504  df-lmod 19636  df-lvec 19875  df-lfl 36209  df-ldual 36275

This theorem is referenced by:  lkreqN  36321  lkrlspeqN  36322  lcdlvec  38742