Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsssubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsssubg 19179
 Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lsssubg.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lsssubg ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssubg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 lsssubg.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
31, 2lssss 19159 . . 3 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
43adantl 473 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
52lssn0 19163 . . 3 (𝑈𝑆𝑈 ≠ ∅)
65adantl 473 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ≠ ∅)
7 eqid 2760 . . . . . . 7 (+g𝑊) = (+g𝑊)
87, 2lssvacl 19176 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑥(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
98anassrs 683 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑥𝑈) ∧ 𝑦𝑈) → (𝑥(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
109ralrimiva 3104 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑥𝑈) → ∀𝑦𝑈 (𝑥(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
11 eqid 2760 . . . . . 6 (invg𝑊) = (invg𝑊)
122, 11lssvnegcl 19178 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑥𝑈) → ((invg𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈)
13123expa 1112 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑥𝑈) → ((invg𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈)
1410, 13jca 555 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑥𝑈) → (∀𝑦𝑈 (𝑥(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑈 ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈))
1514ralrimiva 3104 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → ∀𝑥𝑈 (∀𝑦𝑈 (𝑥(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑈 ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈))
16 lmodgrp 19092 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
1716adantr 472 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑊 ∈ Grp)
181, 7, 11issubg2 17830 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑈 (∀𝑦𝑈 (𝑥(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑈 ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈))))
1917, 18syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑈 (∀𝑦𝑈 (𝑥(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑈 ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈))))
204, 6, 15, 19mpbir3and 1428 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  Grpcgrp 17643  invgcminusg 17644  SubGrpcsubg 17809  LModclmod 19085  LSubSpclss 19154 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-subg 17812  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-lmod 19087  df-lss 19155 This theorem is referenced by:  lsssssubg  19180  islss3  19181  islss4  19184  lspsnsubg  19202  lmhmima  19269  lmhmpreima  19270  reslmhm  19274  reslmhm2  19275  reslmhm2b  19276  lsmcl  19305  lsmelval2  19307  phssip  20225  frlm0  20320  frlmsubgval  20330  frlmgsum  20333  frlmsslsp  20357  lssnlm  22726  islshpat  34825  lsatcv1  34856  dia2dimlem13  36885  dihvalcqat  37048  dihmeetlem16N  37131  dihmeetlem19N  37134  dochsat  37192  dihjat1lem  37237  dihjat1  37238  dvh3dimatN  37248  dvh2dimatN  37249  dochkrsm  37267  dochexmid  37277  mapdh6dN  37548  hdmap1l6d  37623  pwssplit4  38179  gsumlsscl  42692
 Copyright terms: Public domain W3C validator