Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaplkr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmaplkr 36706
 Description: Kernel of the vector to dual map. Line 16 in [Holland95] p. 14. TODO: eliminate 𝐹 hypothesis. (Contributed by NM, 9-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaplkr.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaplkr.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaplkr.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaplkr.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaplkr.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
hdmaplkr.y 𝑌 = (LKer‘𝑈)
hdmaplkr.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaplkr.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmaplkr.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
hdmaplkr (𝜑 → (𝑌‘(𝑆𝑋)) = (𝑂‘{𝑋}))

Proof of Theorem hdmaplkr
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6150 . . . . 5 (𝑋 = (0g𝑈) → (𝑆𝑋) = (𝑆‘(0g𝑈)))
21fveq2d 6154 . . . 4 (𝑋 = (0g𝑈) → (𝑌‘(𝑆𝑋)) = (𝑌‘(𝑆‘(0g𝑈))))
3 sneq 4160 . . . . 5 (𝑋 = (0g𝑈) → {𝑋} = {(0g𝑈)})
43fveq2d 6154 . . . 4 (𝑋 = (0g𝑈) → (𝑂‘{𝑋}) = (𝑂‘{(0g𝑈)}))
52, 4sseq12d 3615 . . 3 (𝑋 = (0g𝑈) → ((𝑌‘(𝑆𝑋)) ⊆ (𝑂‘{𝑋}) ↔ (𝑌‘(𝑆‘(0g𝑈))) ⊆ (𝑂‘{(0g𝑈)})))
6 hdmaplkr.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmaplkr.k . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
96, 7, 8lcdlmod 36382 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
10 hdmaplkr.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
11 hdmaplkr.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑈)
12 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
13 hdmaplkr.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
14 hdmaplkr.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑉)
156, 10, 11, 7, 12, 13, 8, 14hdmapcl 36623 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
16 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (LSpan‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (LSpan‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
1712, 16lspsnid 18915 . . . . . . . . 9 ((((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod ∧ (𝑆𝑋) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑆𝑋) ∈ ((LSpan‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))‘{(𝑆𝑋)}))
189, 15, 17syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ ((LSpan‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))‘{(𝑆𝑋)}))
19 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
20 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 ((mapd‘𝐾)‘𝑊) = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
216, 10, 11, 19, 7, 16, 20, 13, 8, 14hdmap10 36633 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) = ((LSpan‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))‘{(𝑆𝑋)}))
22 hdmaplkr.o . . . . . . . . . 10 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
23 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
24 hdmaplkr.y . . . . . . . . . 10 𝑌 = (LKer‘𝑈)
256, 22, 20, 10, 11, 19, 23, 24, 8, 14mapdsn 36431 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝑌𝑓)})
2621, 25eqtr3d 2657 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((LSpan‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))‘{(𝑆𝑋)}) = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝑌𝑓)})
2718, 26eleqtrd 2700 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝑌𝑓)})
286, 7, 12, 10, 23, 8, 15lcdvbaselfl 36385 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ (LFnl‘𝑈))
29 fveq2 6150 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑆𝑋) → (𝑌𝑓) = (𝑌‘(𝑆𝑋)))
3029sseq2d 3614 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑆𝑋) → ((𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝑌𝑓) ↔ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝑌‘(𝑆𝑋))))
3130elrab3 3348 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑋) ∈ (LFnl‘𝑈) → ((𝑆𝑋) ∈ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝑌𝑓)} ↔ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝑌‘(𝑆𝑋))))
3228, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆𝑋) ∈ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝑌𝑓)} ↔ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝑌‘(𝑆𝑋))))
3327, 32mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝑌‘(𝑆𝑋)))
3433adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ (0g𝑈)) → (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝑌‘(𝑆𝑋)))
35 eqid 2621 . . . . . 6 (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
366, 10, 8dvhlvec 35899 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
3736adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ (0g𝑈)) → 𝑈 ∈ LVec)
38 eqid 2621 . . . . . . 7 (0g𝑈) = (0g𝑈)
398adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ (0g𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4014anim1i 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ≠ (0g𝑈)) → (𝑋𝑉𝑋 ≠ (0g𝑈)))
41 eldifsn 4289 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}) ↔ (𝑋𝑉𝑋 ≠ (0g𝑈)))
4240, 41sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ (0g𝑈)) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
436, 22, 10, 11, 38, 35, 39, 42dochsnshp 36243 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ (0g𝑈)) → (𝑂‘{𝑋}) ∈ (LSHyp‘𝑈))
4428adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ (0g𝑈)) → (𝑆𝑋) ∈ (LFnl‘𝑈))
45 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
46 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
47 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
486, 10, 11, 45, 46, 7, 47, 8lcd0v 36401 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}))
4948eqeq2d 2631 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆𝑋) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ (𝑆𝑋) = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})))
506, 10, 11, 38, 7, 47, 13, 8, 14hdmapeq0 36637 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆𝑋) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑋 = (0g𝑈)))
5149, 50bitr3d 270 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆𝑋) = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ↔ 𝑋 = (0g𝑈)))
5251necon3bid 2834 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆𝑋) ≠ (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ↔ 𝑋 ≠ (0g𝑈)))
5352biimpar 502 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ (0g𝑈)) → (𝑆𝑋) ≠ (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑈))}))
5411, 45, 46, 35, 23, 24lkrshp 33893 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LVec ∧ (𝑆𝑋) ∈ (LFnl‘𝑈) ∧ (𝑆𝑋) ≠ (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) → (𝑌‘(𝑆𝑋)) ∈ (LSHyp‘𝑈))
5537, 44, 53, 54syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ (0g𝑈)) → (𝑌‘(𝑆𝑋)) ∈ (LSHyp‘𝑈))
5635, 37, 43, 55lshpcmp 33776 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ (0g𝑈)) → ((𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝑌‘(𝑆𝑋)) ↔ (𝑂‘{𝑋}) = (𝑌‘(𝑆𝑋))))
5734, 56mpbid 222 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ (0g𝑈)) → (𝑂‘{𝑋}) = (𝑌‘(𝑆𝑋)))
58 eqimss2 3639 . . . 4 ((𝑂‘{𝑋}) = (𝑌‘(𝑆𝑋)) → (𝑌‘(𝑆𝑋)) ⊆ (𝑂‘{𝑋}))
5957, 58syl 17 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ (0g𝑈)) → (𝑌‘(𝑆𝑋)) ⊆ (𝑂‘{𝑋}))
606, 10, 8dvhlmod 35900 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
6111, 38lmod0vcl 18816 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LMod → (0g𝑈) ∈ 𝑉)
6260, 61syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝑈) ∈ 𝑉)
636, 10, 11, 7, 12, 13, 8, 62hdmapcl 36623 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆‘(0g𝑈)) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
646, 7, 12, 10, 23, 8, 63lcdvbaselfl 36385 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘(0g𝑈)) ∈ (LFnl‘𝑈))
6511, 23, 24, 60, 64lkrssv 33884 . . . 4 (𝜑 → (𝑌‘(𝑆‘(0g𝑈))) ⊆ 𝑉)
666, 10, 22, 11, 38doch0 36148 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑂‘{(0g𝑈)}) = 𝑉)
678, 66syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘{(0g𝑈)}) = 𝑉)
6865, 67sseqtr4d 3623 . . 3 (𝜑 → (𝑌‘(𝑆‘(0g𝑈))) ⊆ (𝑂‘{(0g𝑈)}))
695, 59, 68pm2.61ne 2875 . 2 (𝜑 → (𝑌‘(𝑆𝑋)) ⊆ (𝑂‘{𝑋}))
7069, 33eqssd 3601 1 (𝜑 → (𝑌‘(𝑆𝑋)) = (𝑂‘{𝑋}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  {crab 2911   ∖ cdif 3553   ⊆ wss 3556  {csn 4150   × cxp 5074  ‘cfv 5849  Basecbs 15784  Scalarcsca 15868  0gc0g 16024  LModclmod 18787  LSpanclspn 18893  LVecclvec 19024  LSHypclsh 33763  LFnlclfn 33845  LKerclk 33873  HLchlt 34138  LHypclh 34771  DVecHcdvh 35868  ocHcoch 36137  LCDualclcd 36376  mapdcmpd 36414  HDMapchdma 36583 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-riotaBAD 33740 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-ot 4159  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-iin 4490  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-tpos 7300  df-undef 7347  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-fz 12272  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-0g 16026  df-mre 16170  df-mrc 16171  df-acs 16173  df-preset 16852  df-poset 16870  df-plt 16882  df-lub 16898  df-glb 16899  df-join 16900  df-meet 16901  df-p0 16963  df-p1 16964  df-lat 16970  df-clat 17032  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-submnd 17260  df-grp 17349  df-minusg 17350  df-sbg 17351  df-subg 17515  df-cntz 17674  df-oppg 17700  df-lsm 17975  df-cmn 18119  df-abl 18120  df-mgp 18414  df-ur 18426  df-ring 18473  df-oppr 18547  df-dvdsr 18565  df-unit 18566  df-invr 18596  df-dvr 18607  df-drng 18673  df-lmod 18789  df-lss 18855  df-lsp 18894  df-lvec 19025  df-lsatoms 33764  df-lshyp 33765  df-lcv 33807  df-lfl 33846  df-lkr 33874  df-ldual 33912  df-oposet 33964  df-ol 33966  df-oml 33967  df-covers 34054  df-ats 34055  df-atl 34086  df-cvlat 34110  df-hlat 34139  df-llines 34285  df-lplanes 34286  df-lvols 34287  df-lines 34288  df-psubsp 34290  df-pmap 34291  df-padd 34583  df-lhyp 34775  df-laut 34776  df-ldil 34891  df-ltrn 34892  df-trl 34947  df-tgrp 35532  df-tendo 35544  df-edring 35546  df-dveca 35792  df-disoa 35819  df-dvech 35869  df-dib 35929  df-dic 35963  df-dih 36019  df-doch 36138  df-djh 36185  df-lcdual 36377  df-mapd 36415  df-hvmap 36547  df-hdmap1 36584  df-hdmap 36585 This theorem is referenced by:  hdmapellkr  36707  hdmapip0  36708  hdmapinvlem1  36711
 Copyright terms: Public domain W3C validator