MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnne1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsnne1 18879
Description: Two ways to express that vectors have different spans. (Contributed by NM, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnne1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnne1.o 0 = (0g𝑊)
lspsnne1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnne1.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspsnne1.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lspsnne1.y (𝜑𝑌𝑉)
lspsnne1.e (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lspsnne1 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))

Proof of Theorem lspsnne1
StepHypRef Expression
1 lspsnne1.e . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2 lspsnne1.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 eqid 2604 . . . . 5 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
4 lspsnne1.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5 lspsnne1.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
6 lveclmod 18868 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
8 lspsnne1.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
92, 3, 4lspsncl 18739 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
107, 8, 9syl2anc 690 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
11 lspsnne1.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1211eldifad 3546 . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
132, 3, 4, 7, 10, 12lspsnel5 18757 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})))
1413notbid 306 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})))
15 lspsnne1.o . . . . 5 0 = (0g𝑊)
162, 15, 4, 5, 11, 8lspsncmp 18878 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
1716necon3bbid 2813 . . 3 (𝜑 → (¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
1814, 17bitrd 266 . 2 (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
191, 18mpbird 245 1 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2774  cdif 3531  wss 3534  {csn 4119  cfv 5785  Basecbs 15636  0gc0g 15864  LModclmod 18627  LSubSpclss 18694  LSpanclspn 18733  LVecclvec 18864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-tpos 7211  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-er 7601  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-ndx 15639  df-slot 15640  df-base 15641  df-sets 15642  df-ress 15643  df-plusg 15722  df-mulr 15723  df-0g 15866  df-mgm 17006  df-sgrp 17048  df-mnd 17059  df-grp 17189  df-minusg 17190  df-sbg 17191  df-mgp 18254  df-ur 18266  df-ring 18313  df-oppr 18387  df-dvdsr 18405  df-unit 18406  df-invr 18436  df-drng 18513  df-lmod 18629  df-lss 18695  df-lsp 18734  df-lvec 18865
This theorem is referenced by:  lspsnnecom  18881  lsatfixedN  33112  baerlem5amN  35821  baerlem5bmN  35822  baerlem5abmN  35823  mapdh6dN  35844  hdmaplem4  35879  hdmap1l6d  35919  hdmaprnlem3N  35958
  Copyright terms: Public domain W3C validator