Theorem lspsncmp 18883

Description: Comparable spans of nonzero singletons are equal. (Contributed by NM, 27-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsncmp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsncmp.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsncmp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsncmp.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspsncmp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lspsncmp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspsncmp	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))

Proof of Theorem lspsncmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsncmp.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspsncmp.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		lspsncmp.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		lspsncmp.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5	4	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
6		lspsncmp.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
7	6	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑌 ∈ 𝑉)
8		eqid 2609	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
9		lveclmod 18873	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
10	4, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
11	1, 8, 3	lspsncl 18744	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
12	10, 6, 11	syl2anc 690	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
13		lspsncmp.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	13	eldifad 3551	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
15	1, 8, 3, 10, 12, 14	lspsnel5 18762	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})))
16	15	biimpar 500	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
17		eldifsni 4260	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
18	13, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
19	18	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ≠ 0 )
20	1, 2, 3, 5, 7, 16, 19	lspsneleq 18882	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
21	20	ex 448	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
22		eqimss 3619	. 2 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
23	21, 22	impbid1 213	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 194   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∈ wcel 1976   ≠ wne 2779   ∖ cdif 3536   ⊆ wss 3539  {csn 4124  ‘cfv 5790  Basecbs 15641  0_gc0g 15869  LModclmod 18632  LSubSpclss 18699  LSpanclspn 18738  LVecclvec 18869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-tpos 7216  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-0g 15871  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-oppr 18392  df-dvdsr 18410  df-unit 18411  df-invr 18441  df-drng 18518  df-lmod 18634  df-lss 18700  df-lsp 18739  df-lvec 18870

This theorem is referenced by:  lspsnne1  18884  lspabs2  18887  lspabs3  18888  lsatfixedN  33117  mapdindp0  35829  hdmaprnlem4N  35966