Theorem lspsncmp 19164

Description: Comparable spans of nonzero singletons are equal. (Contributed by NM, 27-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsncmp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsncmp.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsncmp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsncmp.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspsncmp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lspsncmp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspsncmp	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))

Proof of Theorem lspsncmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsncmp.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspsncmp.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		lspsncmp.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		lspsncmp.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
6		lspsncmp.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑌 ∈ 𝑉)
8		eqid 2651	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
9		lveclmod 19154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
10	4, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
11	1, 8, 3	lspsncl 19025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
12	10, 6, 11	syl2anc 694	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
13		lspsncmp.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	13	eldifad 3619	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
15	1, 8, 3, 10, 12, 14	lspsnel5 19043	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})))
16	15	biimpar 501	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
17		eldifsni 4353	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
18	13, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ≠ 0 )
20	1, 2, 3, 5, 7, 16, 19	lspsneleq 19163	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
21	20	ex 449	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
22		eqimss 3690	. 2 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
23	21, 22	impbid1 215	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   ∖ cdif 3604   ⊆ wss 3607  {csn 4210  ‘cfv 5926  Basecbs 15904  0_gc0g 16147  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980  LSpanclspn 19019  LVecclvec 19150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lvec 19151

This theorem is referenced by:  lspsnne1  19165  lspabs2  19168  lspabs3  19169  lsatfixedN  34614  mapdindp0  37325  hdmaprnlem4N  37462