MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnel5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsnel5 18914
Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnel5.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnel5.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsnel5.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnel5.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lspsnel5.a (𝜑𝑈𝑆)
lspsnel5.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspsnel5 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))

Proof of Theorem lspsnel5
StepHypRef Expression
1 lspsnel5.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lspsnel5.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3 lspsnel5.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 lspsnel5.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 lspsnel5.a . . 3 (𝜑𝑈𝑆)
61, 2, 3, 4, 5lspsnel6 18913 . 2 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
7 lspsnel5.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
87biantrurd 529 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈 ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
96, 8bitr4d 271 1 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3555  {csn 4148  cfv 5847  Basecbs 15781  LModclmod 18784  LSubSpclss 18851  LSpanclspn 18890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891
This theorem is referenced by:  lspsnel5a  18915  lspprid1  18916  lspsnss2  18924  lsmelpr  19010  lspsncmp  19035  lspsnne1  19036  lspsnne2  19037  lspsneq  19041  lspindpi  19051  islbs2  19073  lindsenlbs  33036  lsatelbN  33773  lsmsat  33775  lsatfixedN  33776  l1cvpat  33821  dia2dimlem5  35837  dochsncom  36151  dihjat1lem  36197  dvh4dimlem  36212  lclkrlem2a  36276  lcfrlem6  36316  lcfrlem20  36331  lcfrlem26  36337  lcfrlem36  36347  mapdval2N  36399  mapdrvallem2  36414  mapdindp  36440  mapdh6aN  36504  lspindp5  36539  mapdh8ab  36546  mapdh8e  36553  hdmap1l6a  36579  hdmaprnlem3eN  36630  hdmapoc  36703
  Copyright terms: Public domain W3C validator