MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssneln0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssneln0 19174
Description: A vector which doesn't belong to a subspace is nonzero. (Contributed by NM, 14-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssneln0.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssneln0.o 0 = (0g𝑊)
lssneln0.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssneln0.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lssneln0.u (𝜑𝑈𝑆)
lssneln0.x (𝜑𝑋𝑉)
lssneln0.n (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
Assertion
Ref Expression
lssneln0 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Proof of Theorem lssneln0
StepHypRef Expression
1 lssneln0.x . 2 (𝜑𝑋𝑉)
2 lssneln0.n . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
3 lssneln0.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lssneln0.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑆)
5 lssneln0.o . . . . . . 7 0 = (0g𝑊)
6 lssneln0.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
75, 6lss0cl 19169 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 0𝑈)
83, 4, 7syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑0𝑈)
9 eleq1a 2834 . . . . 5 ( 0𝑈 → (𝑋 = 0𝑋𝑈))
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 = 0𝑋𝑈))
1110necon3bd 2946 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝑋𝑈𝑋0 ))
122, 11mpd 15 . 2 (𝜑𝑋0 )
13 eldifsn 4462 . 2 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋𝑉𝑋0 ))
141, 12, 13sylanbrc 701 1 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  cdif 3712  {csn 4321  cfv 6049  Basecbs 16079  0gc0g 16322  LModclmod 19085  LSubSpclss 19154
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-plusg 16176  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-lmod 19087  df-lss 19155
This theorem is referenced by:  lspexchn1  19352  lvecindp  19360  lshpne0  34794  baerlem5amN  37525  baerlem5bmN  37526  baerlem5abmN  37527  mapdh6iN  37553  hdmaplem3  37582  mapdh8ad  37588  mapdh8e  37593  mapdh9a  37599  mapdh9aOLDN  37600  hdmap1l6i  37628  hdmap1eulem  37633  hdmap1eulemOLDN  37634  hdmapval3lemN  37649  hdmap10lem  37651  hdmap11lem1  37653  hdmaprnlem3N  37662  hdmap14lem11  37690
  Copyright terms: Public domain W3C validator