Theorem hdmap1eulem 38973

Description: Lemma for hdmap1eu 38975. TODO: combine with hdmap1eu 38975 or at least share some hypotheses. (Contributed by NM, 15-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap1eulem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1eulem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eulem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1eulem.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
hdmap1eulem.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmap1eulem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1eulem.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eulem.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1eulem.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
hdmap1eulem.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
hdmap1eulem.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1eulem.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eulem.i	⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eulem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap1eulem.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
hdmap1eulem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1eulem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
hdmap1eulem.y	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
hdmap1eulem.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))

Assertion

Ref	Expression
hdmap1eulem	⊢ (𝜑 → ∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))

Distinct variable groups:   𝐶,ℎ   𝑥,ℎ,𝑦,𝑧,𝐷   ℎ,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝐿,𝑥,𝑦,𝑧   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥,𝑦,𝑧   0 ,ℎ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑄   𝑅,ℎ,𝑥   − ,ℎ,𝑥   𝑇,ℎ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,ℎ,𝑧   ℎ,𝑉,𝑦,𝑧   ℎ,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,ℎ,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑄(𝑦,𝑧,ℎ)   𝑅(𝑦,𝑧)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,ℎ)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑧,ℎ)   𝐽(𝑦,𝑧)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,ℎ)   𝑀(𝑦,𝑧)   − (𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,ℎ)

Proof of Theorem hdmap1eulem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap1eulem.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap1eulem.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap1eulem.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmap1eulem.s	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑈)
5		hdmap1eulem.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		hdmap1eulem.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		hdmap1eulem.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmap1eulem.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
9		hdmap1eulem.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
10		hdmap1eulem.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
11		hdmap1eulem.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12		hdmap1eulem.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13		hdmap1eulem.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
14		hdmap1eulem.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15		hdmap1eulem.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
16		hdmap1eulem.mn	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
17		hdmap1eulem.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18		hdmap1eulem.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	mapdh9a 38940	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
20		hdmap1eulem.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
21	14	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
22	17	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
23	15	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → 𝐹 ∈ 𝐷)
24		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → 𝑧 ∈ 𝑉)
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 13	hdmap1valc 38954	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) = (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩))
26	25	oteq2d 4816	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → ⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)
27	26	fveq2d 6674	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))
28		elun1 4152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})))
29	28	con3i 157	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
30	14	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
31		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
32	1, 2, 14	dvhlmod 38261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
33	32	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑈 ∈ LMod)
34	17	eldifad 3948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
35	34	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
36	3, 31, 6	lspsncl 19749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
37	33, 35, 36	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
38		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑧 ∈ 𝑉)
39		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
40	5, 31, 33, 37, 38, 39	lssneln0 19724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
41	15	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝐹 ∈ 𝐷)
42	16	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
43	17	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
44	3, 6, 33, 38, 35, 39	lspsnne2 19890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
45	44	necomd 3071	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑧}))
46	10, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 30, 41, 42, 43, 38, 45	mapdhcl 38878	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) ∈ 𝐷)
47	18	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑇 ∈ 𝑉)
48	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 20, 30, 40, 46, 47, 13	hdmap1valc 38954	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))
49	29, 48	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))
50	27, 49	eqtrd 2856	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))
51	50	eqeq2d 2832	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ↔ 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
52	51	pm5.74da 802	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → ((¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
53	52	ralbidva 3196	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
54	53	reubidv 3389	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
55	19, 54	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  ∃!wreu 3140  Vcvv 3494   ∖ cdif 3933   ∪ cun 3934  ifcif 4467  {csn 4567  ⟨cotp 4575   ↦ cmpt 5146  ‘cfv 6355  ℩crio 7113  (class class class)co 7156  1^st c1st 7687  2^nd c2nd 7688  Basecbs 16483  0_gc0g 16713  -_gcsg 18105  LModclmod 19634  LSubSpclss 19703  LSpanclspn 19743  HLchlt 36501  LHypclh 37135  DVecHcdvh 38229  LCDualclcd 38737  mapdcmpd 38775  HDMap1chdma1 38942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-riotaBAD 36104

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-tpos 7892  df-undef 7939  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-0g 16715  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-p1 17650  df-lat 17656  df-clat 17718  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-oppg 18474  df-lsm 18761  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-dvr 19433  df-drng 19504  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-lvec 19875  df-lsatoms 36127  df-lshyp 36128  df-lcv 36170  df-lfl 36209  df-lkr 36237  df-ldual 36275  df-oposet 36327  df-ol 36329  df-oml 36330  df-covers 36417  df-ats 36418  df-atl 36449  df-cvlat 36473  df-hlat 36502  df-llines 36649  df-lplanes 36650  df-lvols 36651  df-lines 36652  df-psubsp 36654  df-pmap 36655  df-padd 36947  df-lhyp 37139  df-laut 37140  df-ldil 37255  df-ltrn 37256  df-trl 37310  df-tgrp 37894  df-tendo 37906  df-edring 37908  df-dveca 38154  df-disoa 38180  df-dvech 38230  df-dib 38290  df-dic 38324  df-dih 38380  df-doch 38499  df-djh 38546  df-lcdual 38738  df-mapd 38776  df-hdmap1 38944

This theorem is referenced by:  hdmap1eu  38975