Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1eulem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap1eulem 35930
Description: Lemma for hdmap1eu 35932. TODO: combine with hdmap1eu 35932 or at least share some hypotheses. (Contributed by NM, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1eulem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1eulem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eulem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1eulem.s = (-g𝑈)
hdmap1eulem.o 0 = (0g𝑈)
hdmap1eulem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1eulem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eulem.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1eulem.r 𝑅 = (-g𝐶)
hdmap1eulem.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmap1eulem.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1eulem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eulem.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eulem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap1eulem.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
hdmap1eulem.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1eulem.f (𝜑𝐹𝐷)
hdmap1eulem.y (𝜑𝑇𝑉)
hdmap1eulem.l 𝐿 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
Assertion
Ref Expression
hdmap1eulem (𝜑 → ∃!𝑦𝐷𝑧𝑉𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
Distinct variable groups:   𝐶,   𝑥,,𝑦,𝑧,𝐷   ,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   ,𝐽,𝑥   ,𝐿,𝑥,𝑦,𝑧   ,𝑀,𝑥   ,𝑁,𝑥,𝑦,𝑧   0 ,,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑄   𝑅,,𝑥   ,,𝑥   𝑇,,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,,𝑧   ,𝑉,𝑦,𝑧   ,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑄(𝑦,𝑧,)   𝑅(𝑦,𝑧)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑧,)   𝐽(𝑦,𝑧)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,)   𝑀(𝑦,𝑧)   (𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,)

Proof of Theorem hdmap1eulem
StepHypRef Expression
1 hdmap1eulem.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap1eulem.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap1eulem.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmap1eulem.s . . 3 = (-g𝑈)
5 hdmap1eulem.o . . 3 0 = (0g𝑈)
6 hdmap1eulem.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7 hdmap1eulem.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmap1eulem.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐶)
9 hdmap1eulem.r . . 3 𝑅 = (-g𝐶)
10 hdmap1eulem.q . . 3 𝑄 = (0g𝐶)
11 hdmap1eulem.j . . 3 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12 hdmap1eulem.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13 hdmap1eulem.l . . 3 𝐿 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
14 hdmap1eulem.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
15 hdmap1eulem.f . . 3 (𝜑𝐹𝐷)
16 hdmap1eulem.mn . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
17 hdmap1eulem.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18 hdmap1eulem.y . . 3 (𝜑𝑇𝑉)
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18mapdh9a 35896 . 2 (𝜑 → ∃!𝑦𝐷𝑧𝑉𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
20 hdmap1eulem.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
2114ad2antrr 757 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2217ad2antrr 757 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2315ad2antrr 757 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → 𝐹𝐷)
24 simplr 787 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → 𝑧𝑉)
251, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 13hdmap1valc 35910 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) = (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩))
2625oteq2d 4343 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → ⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)
2726fveq2d 6088 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))
28 elun1 3737 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})))
2928con3i 148 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
3014ad2antrr 757 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
31 eqid 2605 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
321, 2, 14dvhlmod 35216 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
3332ad2antrr 757 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑈 ∈ LMod)
3417eldifad 3547 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝑉)
3534ad2antrr 757 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑋𝑉)
363, 31, 6lspsncl 18740 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3733, 35, 36syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
38 simplr 787 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑧𝑉)
39 simpr 475 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
403, 5, 31, 33, 37, 38, 39lssneln0 18715 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4115ad2antrr 757 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝐹𝐷)
4216ad2antrr 757 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
4317ad2antrr 757 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
443, 6, 33, 38, 35, 39lspsnne2 18881 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
4544necomd 2832 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑧}))
4610, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 30, 41, 42, 43, 38, 45mapdhcl 35833 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩) ∈ 𝐷)
4718ad2antrr 757 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑇𝑉)
481, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 20, 30, 40, 46, 47, 13hdmap1valc 35910 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))
4929, 48sylan2 489 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))
5027, 49eqtrd 2639 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))
5150eqeq2d 2615 . . . . 5 (((𝜑𝑧𝑉) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩) ↔ 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
5251pm5.74da 718 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑉) → ((¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
5352ralbidva 2963 . . 3 (𝜑 → (∀𝑧𝑉𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∀𝑧𝑉𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
5453reubidv 3098 . 2 (𝜑 → (∃!𝑦𝐷𝑧𝑉𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ ∃!𝑦𝐷𝑧𝑉𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐿‘⟨𝑧, (𝐿‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
5519, 54mpbird 245 1 (𝜑 → ∃!𝑦𝐷𝑧𝑉𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wral 2891  ∃!wreu 2893  Vcvv 3168  cdif 3532  cun 3533  ifcif 4031  {csn 4120  cotp 4128  cmpt 4633  cfv 5786  crio 6484  (class class class)co 6523  1st c1st 7030  2nd c2nd 7031  Basecbs 15637  0gc0g 15865  -gcsg 17189  LModclmod 18628  LSubSpclss 18695  LSpanclspn 18734  HLchlt 33454  LHypclh 34087  DVecHcdvh 35184  LCDualclcd 35692  mapdcmpd 35730  HDMap1chdma1 35898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-riotaBAD 33056
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-ot 4129  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-iin 4448  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-tpos 7212  df-undef 7259  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-0g 15867  df-mre 16011  df-mrc 16012  df-acs 16014  df-preset 16693  df-poset 16711  df-plt 16723  df-lub 16739  df-glb 16740  df-join 16741  df-meet 16742  df-p0 16804  df-p1 16805  df-lat 16811  df-clat 16873  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-submnd 17101  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-sbg 17192  df-subg 17356  df-cntz 17515  df-oppg 17541  df-lsm 17816  df-cmn 17960  df-abl 17961  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-oppr 18388  df-dvdsr 18406  df-unit 18407  df-invr 18437  df-dvr 18448  df-drng 18514  df-lmod 18630  df-lss 18696  df-lsp 18735  df-lvec 18866  df-lsatoms 33080  df-lshyp 33081  df-lcv 33123  df-lfl 33162  df-lkr 33190  df-ldual 33228  df-oposet 33280  df-ol 33282  df-oml 33283  df-covers 33370  df-ats 33371  df-atl 33402  df-cvlat 33426  df-hlat 33455  df-llines 33601  df-lplanes 33602  df-lvols 33603  df-lines 33604  df-psubsp 33606  df-pmap 33607  df-padd 33899  df-lhyp 34091  df-laut 34092  df-ldil 34207  df-ltrn 34208  df-trl 34263  df-tgrp 34848  df-tendo 34860  df-edring 34862  df-dveca 35108  df-disoa 35135  df-dvech 35185  df-dib 35245  df-dic 35279  df-dih 35335  df-doch 35454  df-djh 35501  df-lcdual 35693  df-mapd 35731  df-hdmap1 35900
This theorem is referenced by:  hdmap1eu  35932
  Copyright terms: Public domain W3C validator