Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcnp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metcnp 22286
 Description: Two ways to say a mapping from metric 𝐶 to metric 𝐷 is continuous at point 𝑃. (Contributed by NM, 11-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metcn.4 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
metcnp ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑤,𝑧,𝐹   𝑤,𝐽,𝑦,𝑧   𝑤,𝐾,𝑦,𝑧   𝑤,𝑋,𝑦,𝑧   𝑤,𝑌,𝑦,𝑧   𝑤,𝐶,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑦,𝑧   𝑤,𝑃,𝑦,𝑧

Proof of Theorem metcnp
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
2 metcn.4 . . 3 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
31, 2metcnp3 22285 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦))))
4 ffun 6015 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑋𝑌 → Fun 𝐹)
54ad2antlr 762 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → Fun 𝐹)
6 simpll1 1098 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
7 simpll3 1100 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑃𝑋)
8 rpxr 11800 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ*)
98ad2antll 764 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
10 blssm 22163 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ⊆ 𝑋)
116, 7, 9, 10syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ⊆ 𝑋)
12 fdm 6018 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑋𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
1312ad2antlr 762 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → dom 𝐹 = 𝑋)
1411, 13sseqtr4d 3627 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ⊆ dom 𝐹)
15 funimass4 6214 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹 ∧ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)(𝐹𝑤) ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)))
165, 14, 15syl2anc 692 . . . . . . 7 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → ((𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)(𝐹𝑤) ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)))
17 elbl 22133 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑤) < 𝑧)))
186, 7, 9, 17syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → (𝑤 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑤) < 𝑧)))
1918imbi1d 331 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → ((𝑤 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) → (𝐹𝑤) ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)) ↔ ((𝑤𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑤) < 𝑧) → (𝐹𝑤) ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦))))
20 impexp 462 . . . . . . . . . 10 (((𝑤𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑤) < 𝑧) → (𝐹𝑤) ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)) ↔ (𝑤𝑋 → ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → (𝐹𝑤) ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦))))
21 simpl2 1063 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
2221ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
23 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝑋) → 𝑦 ∈ ℝ+)
2423rpxrd 11833 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝑋) → 𝑦 ∈ ℝ*)
25 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝑋) → 𝐹:𝑋𝑌)
267adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝑋) → 𝑃𝑋)
2725, 26ffvelrnd 6326 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝑋) → (𝐹𝑃) ∈ 𝑌)
28 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐹:𝑋𝑌)
2928ffvelrnda 6325 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝑋) → (𝐹𝑤) ∈ 𝑌)
30 elbl2 22135 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝑌 ∧ (𝐹𝑤) ∈ 𝑌)) → ((𝐹𝑤) ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦))
3122, 24, 27, 29, 30syl22anc 1324 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝑋) → ((𝐹𝑤) ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦))
3231imbi2d 330 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝑋) → (((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → (𝐹𝑤) ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)) ↔ ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦)))
3332pm5.74da 722 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → ((𝑤𝑋 → ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → (𝐹𝑤) ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦))) ↔ (𝑤𝑋 → ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦))))
3420, 33syl5bb 272 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → (((𝑤𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑤) < 𝑧) → (𝐹𝑤) ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)) ↔ (𝑤𝑋 → ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦))))
3519, 34bitrd 268 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → ((𝑤 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) → (𝐹𝑤) ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)) ↔ (𝑤𝑋 → ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦))))
3635ralbidv2 2980 . . . . . . 7 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → (∀𝑤 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)(𝐹𝑤) ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∀𝑤𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦)))
3716, 36bitrd 268 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → ((𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∀𝑤𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦)))
3837anassrs 679 . . . . 5 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∀𝑤𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦)))
3938rexbidva 3044 . . . 4 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦)))
4039ralbidva 2981 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦)))
4140pm5.32da 672 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) → ((𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦))))
423, 41bitrd 268 1 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2908  ∃wrex 2909   ⊆ wss 3560   class class class wbr 4623  dom cdm 5084   “ cima 5087  Fun wfun 5851  ⟶wf 5853  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  ℝ*cxr 10033   < clt 10034  ℝ+crp 11792  ∞Metcxmt 19671  ballcbl 19673  MetOpencmopn 19676   CnP ccnp 20969 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-inf 8309  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-topgen 16044  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-top 20639  df-topon 20656  df-bases 20690  df-cnp 20972 This theorem is referenced by:  metcnp2  22287  metcn  22288  metcnpi  22289  txmetcnp  22292  abelth  24133  qqhcn  29859
 Copyright terms: Public domain W3C validator