Theorem mrsubf 31692

Description: A substitution is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrsubccat.s	⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
mrsubccat.r	⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mrsubf	⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝐹:𝑅⟶𝑅)

Proof of Theorem mrsubf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4051	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ¬ ran 𝑆 = ∅)
2		mrsubccat.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
3		fvprc 6334	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → (mRSubst‘𝑇) = ∅)
4	2, 3	syl5eq 2794	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → 𝑆 = ∅)
5	4	rneqd 5496	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → ran 𝑆 = ran ∅)
6		rn0 5520	. . . . . 6 ⊢ ran ∅ = ∅
7	5, 6	syl6eq 2798	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → ran 𝑆 = ∅)
8	1, 7	nsyl2 142	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝑇 ∈ V)
9		eqid 2748	. . . . 5 ⊢ (mVR‘𝑇) = (mVR‘𝑇)
10		mrsubccat.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
11	9, 10, 2	mrsubff 31687	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ V → 𝑆:(𝑅 ↑pm (mVR‘𝑇))⟶(𝑅 ↑𝑚 𝑅))
12		frn 6202	. . . 4 ⊢ (𝑆:(𝑅 ↑pm (mVR‘𝑇))⟶(𝑅 ↑𝑚 𝑅) → ran 𝑆 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 𝑅))
13	8, 11, 12	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ran 𝑆 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 𝑅))
14		id 22	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝐹 ∈ ran 𝑆)
15	13, 14	sseldd 3733	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑅))
16		elmapi 8033	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑅) → 𝐹:𝑅⟶𝑅)
17	15, 16	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝐹:𝑅⟶𝑅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1620   ∈ wcel 2127  Vcvv 3328   ⊆ wss 3703  ∅c0 4046  ran crn 5255  ⟶wf 6033  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801   ↑_𝑚 cmap 8011   ↑_pm cpm 8012  mVRcmvar 31636  mRExcmrex 31641  mRSubstcmrsub 31645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-pm 8014  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8926  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-seq 12967  df-hash 13283  df-word 13456  df-concat 13458  df-s1 13459  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-0g 16275  df-gsum 16276  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-submnd 17508  df-frmd 17558  df-mrex 31661  df-mrsub 31665

This theorem is referenced by:  elmrsubrn  31695  mrsubco  31696  mrsubvrs  31697  msubco  31706  msubvrs  31735