Theorem mrsubf 31119

Description: A substitution is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrsubccat.s	⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
mrsubccat.r	⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mrsubf	⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝐹:𝑅⟶𝑅)

Proof of Theorem mrsubf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 3896	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ¬ ran 𝑆 = ∅)
2		mrsubccat.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
3		fvprc 6142	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → (mRSubst‘𝑇) = ∅)
4	2, 3	syl5eq 2667	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → 𝑆 = ∅)
5	4	rneqd 5313	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → ran 𝑆 = ran ∅)
6		rn0 5337	. . . . . 6 ⊢ ran ∅ = ∅
7	5, 6	syl6eq 2671	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → ran 𝑆 = ∅)
8	1, 7	nsyl2 142	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝑇 ∈ V)
9		eqid 2621	. . . . 5 ⊢ (mVR‘𝑇) = (mVR‘𝑇)
10		mrsubccat.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
11	9, 10, 2	mrsubff 31114	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ V → 𝑆:(𝑅 ↑pm (mVR‘𝑇))⟶(𝑅 ↑𝑚 𝑅))
12		frn 6010	. . . 4 ⊢ (𝑆:(𝑅 ↑pm (mVR‘𝑇))⟶(𝑅 ↑𝑚 𝑅) → ran 𝑆 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 𝑅))
13	8, 11, 12	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ran 𝑆 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 𝑅))
14		id 22	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝐹 ∈ ran 𝑆)
15	13, 14	sseldd 3584	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑅))
16		elmapi 7823	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑅) → 𝐹:𝑅⟶𝑅)
17	15, 16	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝐹:𝑅⟶𝑅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186   ⊆ wss 3555  ∅c0 3891  ran crn 5075  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ↑_𝑚 cmap 7802   ↑_pm cpm 7803  mVRcmvar 31063  mRExcmrex 31068  mRSubstcmrsub 31072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240  df-s1 13241  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-frmd 17307  df-mrex 31088  df-mrsub 31092

This theorem is referenced by:  elmrsubrn  31122  mrsubco  31123  mrsubvrs  31124  msubco  31133  msubvrs  31162