Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0n0n1ge2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0n0n1ge2b 11549
 Description: A nonnegative integer is neither 0 nor 1 if and only if it is greater than or equal to 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0n0n1ge2b (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem nn0n0n1ge2b
StepHypRef Expression
1 nn0n0n1ge2 11548 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁)
213expib 1117 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁))
3 ianor 510 . . . 4 (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 1))
4 nne 2934 . . . . 5 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0)
5 nne 2934 . . . . 5 𝑁 ≠ 1 ↔ 𝑁 = 1)
64, 5orbi12i 544 . . . 4 ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 1) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
73, 6bitri 264 . . 3 (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
8 2pos 11302 . . . . . . . . 9 0 < 2
9 breq1 4805 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → (𝑁 < 2 ↔ 0 < 2))
108, 9mpbiri 248 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → 𝑁 < 2)
1110a1d 25 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2))
12 1lt2 11384 . . . . . . . . 9 1 < 2
13 breq1 4805 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 → (𝑁 < 2 ↔ 1 < 2))
1412, 13mpbiri 248 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → 𝑁 < 2)
1514a1d 25 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2))
1611, 15jaoi 393 . . . . . 6 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1) → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2))
1716impcom 445 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → 𝑁 < 2)
18 nn0re 11491 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
19 2re 11280 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
2018, 19jctir 562 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ))
2120adantr 472 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ))
22 ltnle 10307 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝑁 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 𝑁))
2321, 22syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → (𝑁 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 𝑁))
2417, 23mpbid 222 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → ¬ 2 ≤ 𝑁)
2524ex 449 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1) → ¬ 2 ≤ 𝑁))
267, 25syl5bi 232 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → ¬ 2 ≤ 𝑁))
272, 26impcon4bid 217 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1630   ∈ wcel 2137   ≠ wne 2930   class class class wbr 4802  ℝcr 10125  0cc0 10126  1c1 10127   < clt 10264   ≤ cle 10265  2c2 11260  ℕ0cn0 11482 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-2 11269  df-n0 11483 This theorem is referenced by:  xnn0n0n1ge2b  12156
 Copyright terms: Public domain W3C validator