Theorem nn0n0n1ge2 11396

Description: A nonnegative integer which is neither 0 nor 1 is greater than or equal to 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
nn0n0n1ge2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0n0n1ge2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 11340	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
2		1cnd 10094	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2, 2	subsub4d 10461	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
4		1p1e2 11172	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
5	4	oveq2i 6701	. . . . 5 ⊢ (𝑁 − (1 + 1)) = (𝑁 − 2)
6	3, 5	syl6req 2702	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
7	6	3ad2ant1 1102	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
8		3simpa 1078	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
9		elnnne0 11344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
10	8, 9	sylibr 224	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 𝑁 ∈ ℕ)
11		nnm1nn0 11372	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
13	1, 2	subeq0ad 10440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) = 0 ↔ 𝑁 = 1))
14	13	biimpd 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) = 0 → 𝑁 = 1))
15	14	necon3d 2844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 − 1) ≠ 0))
16	15	imp 444	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 1) ≠ 0)
17	16	3adant2 1100	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 1) ≠ 0)
18		elnnne0 11344	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ≠ 0))
19	12, 17, 18	sylanbrc 699	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
20		nnm1nn0 11372	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ0)
21	19, 20	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ0)
22	7, 21	eqeltrd 2730	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
23		2nn0 11347	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24	23	jctl 563	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
25	24	3ad2ant1 1102	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
26		nn0sub 11381	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0))
27	25, 26	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0))
28	22, 27	mpbird 247	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   ≤ cle 10113   − cmin 10304  ℕcn 11058  2c2 11108  ℕ₀cn0 11330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2b  11397  umgrclwwlkge2  26957  clwwisshclwwslem  26971  nnne1ge2  39818  iccpartiltu  41683