Theorem normlem5 28875

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	⊢ 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2	⊢ 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3	⊢ 𝐺 ∈ ℋ
normlem2.4	⊢ 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
normlem3.5	⊢ 𝐴 = (𝐺 ·ih 𝐺)
normlem3.6	⊢ 𝐶 = (𝐹 ·ih 𝐹)
normlem4.7	⊢ 𝑅 ∈ ℝ
normlem4.8	⊢ (abs‘𝑆) = 1

Assertion

Ref	Expression
normlem5	⊢ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶)

Proof of Theorem normlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem1.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ ℋ
2		normlem1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ∈ ℂ
3		normlem4.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 ∈ ℝ
4	3	recni 10641	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 ∈ ℂ
5	2, 4	mulcli 10634	. . . . 5 ⊢ (𝑆 · 𝑅) ∈ ℂ
6		normlem1.3	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ ℋ
7	5, 6	hvmulcli 28775	. . . 4 ⊢ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺) ∈ ℋ
8	1, 7	hvsubcli 28782	. . 3 ⊢ (𝐹 −ℎ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺)) ∈ ℋ
9		hiidge0 28859	. . 3 ⊢ ((𝐹 −ℎ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺)) ∈ ℋ → 0 ≤ ((𝐹 −ℎ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 −ℎ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺))))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ 0 ≤ ((𝐹 −ℎ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 −ℎ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺)))
11		normlem2.4	. . 3 ⊢ 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
12		normlem3.5	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝐺 ·ih 𝐺)
13		normlem3.6	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐹 ·ih 𝐹)
14		normlem4.8	. . 3 ⊢ (abs‘𝑆) = 1
15	2, 1, 6, 11, 12, 13, 3, 14	normlem4 28874	. 2 ⊢ ((𝐹 −ℎ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 −ℎ ((𝑆 · 𝑅) ·ℎ 𝐺))) = (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶)
16	10, 15	breqtri 5077	1 ⊢ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑅↑2)) + (𝐵 · 𝑅)) + 𝐶)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5052  ‘cfv 6341  (class class class)co 7142  ℂcc 10521  ℝcr 10522  0cc0 10523  1c1 10524   + caddc 10526   · cmul 10528   ≤ cle 10662  -cneg 10857  2c2 11679  ↑cexp 13419  ∗ccj 14440  abscabs 14578   ℋchba 28680   ·_ℎ csm 28682   ·_ih csp 28683   −_ℎ cmv 28686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600  ax-pre-sup 10601  ax-hfvadd 28761  ax-hv0cl 28764  ax-hfvmul 28766  ax-hvmulass 28768  ax-hvmul0 28771  ax-hfi 28840  ax-his1 28843  ax-his2 28844  ax-his3 28845  ax-his4 28846

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7567  df-2nd 7676  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-sup 8892  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-div 11284  df-nn 11625  df-2 11687  df-3 11688  df-n0 11885  df-z 11969  df-uz 12231  df-rp 12377  df-seq 13360  df-exp 13420  df-cj 14443  df-re 14444  df-im 14445  df-sqrt 14579  df-abs 14580  df-hvsub 28732

This theorem is referenced by:  normlem6  28876