Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nsgacs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsgacs 17829
 Description: Normal subgroups form an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgacs.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
nsgacs (𝐺 ∈ Grp → (NrmSGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem nsgacs
Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgacs.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐺)
21subgss 17794 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑠𝐵)
3 selpw 4307 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠𝐵)
42, 3sylibr 224 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
5 eleq2w 2821 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑠 → (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
65raleqbi1dv 3283 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑠 → (∀𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑦𝑠 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
76ralbidv 3122 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑠 → (∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝑠 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
87elrab3 3503 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝑠 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
94, 8syl 17 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝑠 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
109bicomd 213 . . . . 5 (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (∀𝑥𝐵𝑦𝑠 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑠𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}))
1110pm5.32i 672 . . . 4 ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝑠 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}))
12 eqid 2758 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
13 eqid 2758 . . . . 5 (-g𝐺) = (-g𝐺)
141, 12, 13isnsg3 17827 . . . 4 (𝑠 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝑠 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
15 elin 3937 . . . 4 (𝑠 ∈ ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}))
1611, 14, 153bitr4i 292 . . 3 (𝑠 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ 𝑠 ∈ ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}))
1716eqriv 2755 . 2 (NrmSGrp‘𝐺) = ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧})
18 fvex 6360 . . . . 5 (Base‘𝐺) ∈ V
191, 18eqeltri 2833 . . . 4 𝐵 ∈ V
20 mreacs 16518 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
2119, 20mp1i 13 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
221subgacs 17828 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
23 simpl 474 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
241, 12grpcl 17629 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
25243expb 1114 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
26 simprl 811 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥𝐵)
271, 13grpsubcl 17694 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵𝑥𝐵) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
2823, 25, 26, 27syl3anc 1477 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
2928ralrimivva 3107 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
30 acsfn1c 16522 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵) → {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ∈ (ACS‘𝐵))
3119, 29, 30sylancr 698 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ∈ (ACS‘𝐵))
32 mreincl 16459 . . 3 (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}) ∈ (ACS‘𝐵))
3321, 22, 31, 32syl3anc 1477 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}) ∈ (ACS‘𝐵))
3417, 33syl5eqel 2841 1 (𝐺 ∈ Grp → (NrmSGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1630   ∈ wcel 2137  ∀wral 3048  {crab 3052  Vcvv 3338   ∩ cin 3712   ⊆ wss 3713  𝒫 cpw 4300  ‘cfv 6047  (class class class)co 6811  Basecbs 16057  +gcplusg 16141  Moorecmre 16442  ACScacs 16445  Grpcgrp 17621  -gcsg 17623  SubGrpcsubg 17787  NrmSGrpcnsg 17788 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-iin 4673  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-oadd 7731  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-2 11269  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-0g 16302  df-mre 16446  df-mrc 16447  df-acs 16449  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-submnd 17535  df-grp 17624  df-minusg 17625  df-sbg 17626  df-subg 17790  df-nsg 17791 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator