Theorem nsgacs 18314

Description: Normal subgroups form an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgacs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nsgacs	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (NrmSGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem nsgacs

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgacs.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 18280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑠 ⊆ 𝐵)
3		velpw 4544	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑠 ⊆ 𝐵)
4	2, 3	sylibr 236	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
5		eleq2w 2896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
6	5	raleqbi1dv 3403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
7	6	ralbidv 3197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
8	7	elrab3 3681	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
9	4, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
10	9	bicomd 225	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠 ↔ 𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}))
11	10	pm5.32i 577	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}))
12		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
13		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
14	1, 12, 13	isnsg3 18312	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
15		elin 4169	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}))
16	11, 14, 15	3bitr4i 305	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ 𝑠 ∈ ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}))
17	16	eqriv 2818	. 2 ⊢ (NrmSGrp‘𝐺) = ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧})
18	1	fvexi 6684	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
19		mreacs 16929	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
20	18, 19	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
21	1	subgacs 18313	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
22		simpl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
23	1, 12	grpcl 18111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
24	23	3expb 1116	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
25		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
26	1, 13	grpsubcl 18179	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
27	22, 24, 25, 26	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
28	27	ralrimivva 3191	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
29		acsfn1c 16933	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐵) → {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ∈ (ACS‘𝐵))
30	18, 28, 29	sylancr 589	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ∈ (ACS‘𝐵))
31		mreincl 16870	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}) ∈ (ACS‘𝐵))
32	20, 21, 30, 31	syl3anc 1367	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}) ∈ (ACS‘𝐵))
33	17, 32	eqeltrid 2917	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (NrmSGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  {crab 3142  Vcvv 3494   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  𝒫 cpw 4539  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565  Moorecmre 16853  ACScacs 16856  Grpcgrp 18103  -_gcsg 18105  SubGrpcsubg 18273  NrmSGrpcnsg 18274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-nsg 18277

This theorem is referenced by: (None)