Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nsssmfmbflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsssmfmbflem 40309
 Description: The sigma-measurable functions (w.r.t. the Lebesgue measure on the Reals) are not a subset of the measurable functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nsssmfmbflem.s 𝑆 = dom vol
nsssmfmbflem.x (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
nsssmfmbflem.n (𝜑 → ¬ 𝑋𝑆)
nsssmfmbflem.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ 0)
Assertion
Ref Expression
nsssmfmbflem (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑆,𝑓   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem nsssmfmbflem
StepHypRef Expression
1 0red 9988 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ∈ ℝ)
2 nsssmfmbflem.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ 0)
31, 2fmptd 6343 . . 3 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
4 reex 9974 . . . . 5 ℝ ∈ V
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ V)
6 nsssmfmbflem.x . . . 4 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
75, 6ssexd 4767 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ V)
83, 7fexd 38802 . 2 (𝜑𝐹 ∈ V)
9 nsssmfmbflem.s . . 3 𝑆 = dom vol
10 nsssmfmbflem.n . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑆)
119, 6, 10, 2smfmbfcex 40291 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝐹 ∈ MblFn))
12 eleq1 2686 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆)))
13 eleq1 2686 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∈ MblFn ↔ 𝐹 ∈ MblFn))
1413notbid 308 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (¬ 𝑓 ∈ MblFn ↔ ¬ 𝐹 ∈ MblFn))
1512, 14anbi12d 746 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn) ↔ (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝐹 ∈ MblFn)))
1615spcegv 3280 . 2 (𝐹 ∈ V → ((𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝐹 ∈ MblFn) → ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn)))
178, 11, 16sylc 65 1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480  ∃wex 1701   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186   ⊆ wss 3556   ↦ cmpt 4675  dom cdm 5076  ‘cfv 5849  ℝcr 9882  0cc0 9883  volcvol 23145  MblFncmbf 23296  SMblFncsmblfn 40232 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cc 9204  ax-ac2 9232  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-disj 4586  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-2o 7509  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-pm 7808  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-sup 8295  df-inf 8296  df-oi 8362  df-card 8712  df-acn 8715  df-ac 8886  df-cda 8937  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-q 11736  df-rp 11780  df-xadd 11894  df-ioo 12124  df-ico 12126  df-icc 12127  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-fl 12536  df-seq 12745  df-exp 12804  df-hash 13061  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-clim 14156  df-rlim 14157  df-sum 14354  df-rest 16007  df-xmet 19661  df-met 19662  df-ovol 23146  df-vol 23147  df-mbf 23301  df-salg 39852  df-smblfn 40233 This theorem is referenced by:  nsssmfmbf  40310
 Copyright terms: Public domain W3C validator