Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nsssmfmbf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsssmfmbf 40281
 Description: The sigma-measurable functions (w.r.t. the Lebesgue measure on the Reals) are not a subset of the measurable functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
nsssmfmbf.1 𝑆 = dom vol
Assertion
Ref Expression
nsssmfmbf ¬ (SMblFn‘𝑆) ⊆ MblFn

Proof of Theorem nsssmfmbf
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vitali2 40202 . . . . 5 dom vol ⊊ 𝒫 ℝ
21pssnssi 38754 . . . 4 ¬ 𝒫 ℝ ⊆ dom vol
3 nss 3647 . . . 4 (¬ 𝒫 ℝ ⊆ dom vol ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol))
42, 3mpbi 220 . . 3 𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol)
5 nsssmfmbf.1 . . . . 5 𝑆 = dom vol
6 elpwi 4145 . . . . . 6 (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑥 ⊆ ℝ)
76adantr 481 . . . . 5 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol) → 𝑥 ⊆ ℝ)
85eleq2i 2696 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑆𝑥 ∈ dom vol)
98bicomi 214 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ dom vol ↔ 𝑥𝑆)
109notbii 310 . . . . . . 7 𝑥 ∈ dom vol ↔ ¬ 𝑥𝑆)
1110biimpi 206 . . . . . 6 𝑥 ∈ dom vol → ¬ 𝑥𝑆)
1211adantl 482 . . . . 5 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol) → ¬ 𝑥𝑆)
13 eqid 2626 . . . . 5 (𝑦𝑥 ↦ 0) = (𝑦𝑥 ↦ 0)
145, 7, 12, 13nsssmfmbflem 40280 . . . 4 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol) → ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn))
1514exlimiv 1860 . . 3 (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol) → ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn))
164, 15ax-mp 5 . 2 𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn)
17 nss 3647 . 2 (¬ (SMblFn‘𝑆) ⊆ MblFn ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn))
1816, 17mpbir 221 1 ¬ (SMblFn‘𝑆) ⊆ MblFn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 384   = wceq 1480  ∃wex 1701   ∈ wcel 1992   ⊆ wss 3560  𝒫 cpw 4135   ↦ cmpt 4678  dom cdm 5079  ‘cfv 5850  ℝcr 9880  0cc0 9881  volcvol 23134  MblFncmbf 23284  SMblFncsmblfn 40203 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cc 9202  ax-ac2 9230  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-omul 7511  df-er 7688  df-ec 7690  df-qs 7694  df-map 7805  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-acn 8713  df-ac 8884  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12118  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-rlim 14149  df-sum 14346  df-rest 15999  df-topgen 16020  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-cmp 21095  df-ovol 23135  df-vol 23136  df-mbf 23289  df-salg 39823  df-smblfn 40204 This theorem is referenced by:  mbfpsssmf  40285
 Copyright terms: Public domain W3C validator