Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ogrpaddltrbid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ogrpaddltrbid 29695
Description: In a right ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ogrpaddlt.0 𝐵 = (Base‘𝐺)
ogrpaddlt.1 < = (lt‘𝐺)
ogrpaddlt.2 + = (+g𝐺)
ogrpaddltrd.1 (𝜑𝐺𝑉)
ogrpaddltrd.2 (𝜑 → (oppg𝐺) ∈ oGrp)
ogrpaddltrd.3 (𝜑𝑋𝐵)
ogrpaddltrd.4 (𝜑𝑌𝐵)
ogrpaddltrd.5 (𝜑𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
ogrpaddltrbid (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)))

Proof of Theorem ogrpaddltrbid
StepHypRef Expression
1 ogrpaddlt.0 . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 ogrpaddlt.1 . . 3 < = (lt‘𝐺)
3 ogrpaddlt.2 . . 3 + = (+g𝐺)
4 ogrpaddltrd.1 . . . 4 (𝜑𝐺𝑉)
54adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝐺𝑉)
6 ogrpaddltrd.2 . . . 4 (𝜑 → (oppg𝐺) ∈ oGrp)
76adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (oppg𝐺) ∈ oGrp)
8 ogrpaddltrd.3 . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
98adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑋𝐵)
10 ogrpaddltrd.4 . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
1110adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑌𝐵)
12 ogrpaddltrd.5 . . . 4 (𝜑𝑍𝐵)
1312adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑍𝐵)
14 simpr 477 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
151, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14ogrpaddltrd 29694 . 2 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌))
164adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝐺𝑉)
176adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (oppg𝐺) ∈ oGrp)
18 ogrpgrp 29677 . . . . . . 7 ((oppg𝐺) ∈ oGrp → (oppg𝐺) ∈ Grp)
196, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (oppg𝐺) ∈ Grp)
2019adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (oppg𝐺) ∈ Grp)
218adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑋𝐵)
2212adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑍𝐵)
23 eqid 2620 . . . . . . 7 (oppg𝐺) = (oppg𝐺)
24 eqid 2620 . . . . . . 7 (+g‘(oppg𝐺)) = (+g‘(oppg𝐺))
253, 23, 24oppgplus 17760 . . . . . 6 (𝑋(+g‘(oppg𝐺))𝑍) = (𝑍 + 𝑋)
2623, 1oppgbas 17762 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘(oppg𝐺))
2726, 24grpcl 17411 . . . . . 6 (((oppg𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋(+g‘(oppg𝐺))𝑍) ∈ 𝐵)
2825, 27syl5eqelr 2704 . . . . 5 (((oppg𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑍 + 𝑋) ∈ 𝐵)
2920, 21, 22, 28syl3anc 1324 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (𝑍 + 𝑋) ∈ 𝐵)
3010adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑌𝐵)
313, 23, 24oppgplus 17760 . . . . . 6 (𝑌(+g‘(oppg𝐺))𝑍) = (𝑍 + 𝑌)
3226, 24grpcl 17411 . . . . . 6 (((oppg𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌(+g‘(oppg𝐺))𝑍) ∈ 𝐵)
3331, 32syl5eqelr 2704 . . . . 5 (((oppg𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)
3420, 30, 22, 33syl3anc 1324 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)
3523oppggrpb 17769 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp ↔ (oppg𝐺) ∈ Grp)
3620, 35sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝐺 ∈ Grp)
37 eqid 2620 . . . . . 6 (invg𝐺) = (invg𝐺)
381, 37grpinvcl 17448 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
3936, 22, 38syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((invg𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
40 simpr 477 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌))
411, 2, 3, 16, 17, 29, 34, 39, 40ogrpaddltrd 29694 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)) < (((invg𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
42 eqid 2620 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
431, 3, 42, 37grplinv 17449 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍𝐵) → (((invg𝐺)‘𝑍) + 𝑍) = (0g𝐺))
4436, 22, 43syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg𝐺)‘𝑍) + 𝑍) = (0g𝐺))
4544oveq1d 6650 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑋) = ((0g𝐺) + 𝑋))
461, 3grpass 17412 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵𝑍𝐵𝑋𝐵)) → ((((invg𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑋) = (((invg𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)))
4736, 39, 22, 21, 46syl13anc 1326 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑋) = (((invg𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)))
481, 3, 42grplid 17433 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((0g𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
4936, 21, 48syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((0g𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
5045, 47, 493eqtr3d 2662 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)) = 𝑋)
5144oveq1d 6650 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = ((0g𝐺) + 𝑌))
521, 3grpass 17412 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵𝑍𝐵𝑌𝐵)) → ((((invg𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = (((invg𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
5336, 39, 22, 30, 52syl13anc 1326 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = (((invg𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
541, 3, 42grplid 17433 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → ((0g𝐺) + 𝑌) = 𝑌)
5536, 30, 54syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((0g𝐺) + 𝑌) = 𝑌)
5651, 53, 553eqtr3d 2662 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)) = 𝑌)
5741, 50, 563brtr3d 4675 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑋 < 𝑌)
5815, 57impbida 876 1 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988   class class class wbr 4644  cfv 5876  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  +gcplusg 15922  0gc0g 16081  ltcplt 16922  Grpcgrp 17403  invgcminusg 17404  oppgcoppg 17756  oGrpcogrp 29672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-tpos 7337  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-dec 11479  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-plusg 15935  df-ple 15942  df-0g 16083  df-plt 16939  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-oppg 17757  df-omnd 29673  df-ogrp 29674
This theorem is referenced by:  ogrpinvlt  29698
  Copyright terms: Public domain W3C validator