Theorem pcdvdstr 16212

Description: The prime count increases under the divisibility relation. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcdvdstr	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) → (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵))

Proof of Theorem pcdvdstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 11993	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		zq 12355	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℚ
4		pcxcl 16197	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt 0) ∈ ℝ*)
5	3, 4	mpan2 689	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) ∈ ℝ*)
6	5	xrleidd 12546	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) ≤ (𝑃 pCnt 0))
7	6	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → (𝑃 pCnt 0) ≤ (𝑃 pCnt 0))
8		simpr 487	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
9	8	oveq2d 7172	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → (𝑃 pCnt 𝐴) = (𝑃 pCnt 0))
10		simplr3 1213	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 ∥ 𝐵)
11	8, 10	eqbrtrrd 5090	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → 0 ∥ 𝐵)
12		simplr2 1212	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐵 ∈ ℤ)
13		0dvds 15630	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
15	11, 14	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐵 = 0)
16	15	oveq2d 7172	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → (𝑃 pCnt 𝐵) = (𝑃 pCnt 0))
17	7, 9, 16	3brtr4d 5098	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵))
18		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℙ)
19		simplr1 1211	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
20		simpr 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
21		pczdvds 16199	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
22	18, 19, 20, 21	syl12anc 834	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
23		simplr3 1213	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∥ 𝐵)
24		prmnn 16018	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
25	24	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℕ)
26		pczcl 16185	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
27	18, 19, 20, 26	syl12anc 834	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
28	25, 27	nnexpcld 13607	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 12087	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ)
30		simplr2 1212	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℤ)
31		dvdstr 15646	. . . . 5 ⊢ (((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴 ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐵))
32	29, 19, 30, 31	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴 ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐵))
33	22, 23, 32	mp2and 697	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐵)
34		pcdvdsb 16205	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐵))
35	18, 30, 27, 34	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐵))
36	33, 35	mpbird 259	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵))
37	17, 36	pm2.61dane 3104	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) → (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  0cc0 10537  ℝ^*cxr 10674   ≤ cle 10676  ℕcn 11638  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982  ℚcq 12349  ↑cexp 13430   ∥ cdvds 15607  ℙcprime 16015   pCnt cpc 16173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-fl 13163  df-mod 13239  df-seq 13371  df-exp 13431  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-dvds 15608  df-gcd 15844  df-prm 16016  df-pc 16174

This theorem is referenced by:  pcgcd1  16213  pc2dvds  16215  dvdsppwf1o  25763