Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pf1const Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pf1const 19638
 Description: Constants are polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pf1const.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
pf1const.q 𝑄 = ran (eval1𝑅)
Assertion
Ref Expression
pf1const ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝐵 × {𝑋}) ∈ 𝑄)

Proof of Theorem pf1const
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . 4 (eval1𝑅) = (eval1𝑅)
2 eqid 2621 . . . 4 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
3 pf1const.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2621 . . . 4 (algSc‘(Poly1𝑅)) = (algSc‘(Poly1𝑅))
51, 2, 3, 4evl1sca 19626 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ((eval1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
6 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
71, 2, 6, 3evl1rhm 19624 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → (eval1𝑅) ∈ ((Poly1𝑅) RingHom (𝑅s 𝐵)))
87adantr 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (eval1𝑅) ∈ ((Poly1𝑅) RingHom (𝑅s 𝐵)))
9 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
10 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘(𝑅s 𝐵))
119, 10rhmf 18654 . . . . 5 ((eval1𝑅) ∈ ((Poly1𝑅) RingHom (𝑅s 𝐵)) → (eval1𝑅):(Base‘(Poly1𝑅))⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
12 ffn 6007 . . . . 5 ((eval1𝑅):(Base‘(Poly1𝑅))⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)) → (eval1𝑅) Fn (Base‘(Poly1𝑅)))
138, 11, 123syl 18 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (eval1𝑅) Fn (Base‘(Poly1𝑅)))
14 crngring 18486 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
1514adantr 481 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
162, 4, 3, 9ply1sclf 19583 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘(Poly1𝑅)):𝐵⟶(Base‘(Poly1𝑅)))
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (algSc‘(Poly1𝑅)):𝐵⟶(Base‘(Poly1𝑅)))
18 ffvelrn 6318 . . . . 5 (((algSc‘(Poly1𝑅)):𝐵⟶(Base‘(Poly1𝑅)) ∧ 𝑋𝐵) → ((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
1917, 18sylancom 700 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
20 fnfvelrn 6317 . . . 4 (((eval1𝑅) Fn (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ ((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → ((eval1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ ran (eval1𝑅))
2113, 19, 20syl2anc 692 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ((eval1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ ran (eval1𝑅))
225, 21eqeltrrd 2699 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝐵 × {𝑋}) ∈ ran (eval1𝑅))
23 pf1const.q . 2 𝑄 = ran (eval1𝑅)
2422, 23syl6eleqr 2709 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝐵 × {𝑋}) ∈ 𝑄)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  {csn 4153   × cxp 5077  ran crn 5080   Fn wfn 5847  ⟶wf 5848  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  Basecbs 15788   ↑s cpws 16035  Ringcrg 18475  CRingccrg 18476   RingHom crh 18640  algSccascl 19239  Poly1cpl1 19475  eval1ce1 19607 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-ofr 6858  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7860  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-sup 8299  df-oi 8366  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-seq 12749  df-hash 13065  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-hom 15894  df-cco 15895  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-prds 16036  df-pws 16038  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-mhm 17263  df-submnd 17264  df-grp 17353  df-minusg 17354  df-sbg 17355  df-mulg 17469  df-subg 17519  df-ghm 17586  df-cntz 17678  df-cmn 18123  df-abl 18124  df-mgp 18418  df-ur 18430  df-srg 18434  df-ring 18477  df-cring 18478  df-rnghom 18643  df-subrg 18706  df-lmod 18793  df-lss 18861  df-lsp 18900  df-assa 19240  df-asp 19241  df-ascl 19242  df-psr 19284  df-mvr 19285  df-mpl 19286  df-opsr 19288  df-evls 19434  df-evl 19435  df-psr1 19478  df-ply1 19480  df-evl1 19609 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator