MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1expd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1expd 19637
Description: Polynomial evaluation builder for an exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1addd.q 𝑂 = (eval1𝑅)
evl1addd.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
evl1addd.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1addd.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1addd.1 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evl1addd.2 (𝜑𝑌𝐵)
evl1addd.3 (𝜑 → (𝑀𝑈 ∧ ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
evl1expd.f = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
evl1expd.e = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
evl1expd.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
evl1expd (𝜑 → ((𝑁 𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑁 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 𝑉)))

Proof of Theorem evl1expd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evl1addd.1 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
2 crngring 18486 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 evl1addd.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
54ply1ring 19546 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
6 eqid 2621 . . . . 5 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
76ringmgp 18481 . . . 4 (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
83, 5, 73syl 18 . . 3 (𝜑 → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
9 evl1expd.4 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
10 evl1addd.3 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝑈 ∧ ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
1110simpld 475 . . 3 (𝜑𝑀𝑈)
12 evl1addd.u . . . . 5 𝑈 = (Base‘𝑃)
136, 12mgpbas 18423 . . . 4 𝑈 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
14 evl1expd.f . . . 4 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
1513, 14mulgnn0cl 17486 . . 3 (((mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑈) → (𝑁 𝑀) ∈ 𝑈)
168, 9, 11, 15syl3anc 1323 . 2 (𝜑 → (𝑁 𝑀) ∈ 𝑈)
17 evl1addd.q . . . . . . . . 9 𝑂 = (eval1𝑅)
18 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
19 evl1addd.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑅)
2017, 4, 18, 19evl1rhm 19624 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)))
211, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)))
22 eqid 2621 . . . . . . . 8 (mulGrp‘(𝑅s 𝐵)) = (mulGrp‘(𝑅s 𝐵))
236, 22rhmmhm 18650 . . . . . . 7 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑂 ∈ ((mulGrp‘𝑃) MndHom (mulGrp‘(𝑅s 𝐵))))
2421, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑂 ∈ ((mulGrp‘𝑃) MndHom (mulGrp‘(𝑅s 𝐵))))
25 eqid 2621 . . . . . . 7 (.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))
2613, 14, 25mhmmulg 17511 . . . . . 6 ((𝑂 ∈ ((mulGrp‘𝑃) MndHom (mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑈) → (𝑂‘(𝑁 𝑀)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))(𝑂𝑀)))
2724, 9, 11, 26syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘(𝑁 𝑀)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))(𝑂𝑀)))
28 eqid 2621 . . . . . . 7 (.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
29 eqidd 2622 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))))
30 fvex 6163 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) ∈ V
3119, 30eqeltri 2694 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
32 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
33 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)
34 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))
35 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
36 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))
37 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
3818, 32, 33, 22, 34, 35, 36, 37pwsmgp 18546 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐵 ∈ V) → ((Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
391, 31, 38sylancl 693 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
4039simpld 475 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
41 ssv 3609 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) ⊆ V
4241a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) ⊆ V)
43 ovex 6638 . . . . . . . 8 (𝑥(+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))𝑦) ∈ V
4443a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))𝑦) ∈ V)
4539simprd 479 . . . . . . . 8 (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
4645oveqdr 6634 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))𝑦))
4725, 28, 29, 40, 42, 44, 46mulgpropd 17512 . . . . . 6 (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
4847oveqd 6627 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))(𝑂𝑀)) = (𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂𝑀)))
4927, 48eqtrd 2655 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘(𝑁 𝑀)) = (𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂𝑀)))
5049fveq1d 6155 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑁 𝑀))‘𝑌) = ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂𝑀))‘𝑌))
5132ringmgp 18481 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
523, 51syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
5331a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
54 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘(𝑅s 𝐵))
5512, 54rhmf 18654 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
5621, 55syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
5756, 11ffvelrnd 6321 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝑀) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)))
5822, 54mgpbas 18423 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))
5958, 40syl5eq 2667 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
6057, 59eleqtrd 2700 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝑀) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
61 evl1addd.2 . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
62 evl1expd.e . . . . . 6 = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
6333, 35, 28, 62pwsmulg 17515 . . . . 5 ((((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑂𝑀) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ 𝑌𝐵)) → ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ((𝑂𝑀)‘𝑌)))
6452, 53, 9, 60, 61, 63syl23anc 1330 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ((𝑂𝑀)‘𝑌)))
6510simprd 479 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉)
6665oveq2d 6626 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ((𝑂𝑀)‘𝑌)) = (𝑁 𝑉))
6764, 66eqtrd 2655 . . 3 (𝜑 → ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂𝑀))‘𝑌) = (𝑁 𝑉))
6850, 67eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑁 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 𝑉))
6916, 68jca 554 1 (𝜑 → ((𝑁 𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑁 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3189  wss 3559  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  0cn0 11243  Basecbs 15788  +gcplusg 15869  s cpws 16035  Mndcmnd 17222   MndHom cmhm 17261  .gcmg 17468  mulGrpcmgp 18417  Ringcrg 18475  CRingccrg 18476   RingHom crh 18640  Poly1cpl1 19475  eval1ce1 19607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-ofr 6858  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7860  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-sup 8299  df-oi 8366  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-seq 12749  df-hash 13065  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-hom 15894  df-cco 15895  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-prds 16036  df-pws 16038  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-mhm 17263  df-submnd 17264  df-grp 17353  df-minusg 17354  df-sbg 17355  df-mulg 17469  df-subg 17519  df-ghm 17586  df-cntz 17678  df-cmn 18123  df-abl 18124  df-mgp 18418  df-ur 18430  df-srg 18434  df-ring 18477  df-cring 18478  df-rnghom 18643  df-subrg 18706  df-lmod 18793  df-lss 18861  df-lsp 18900  df-assa 19240  df-asp 19241  df-ascl 19242  df-psr 19284  df-mvr 19285  df-mpl 19286  df-opsr 19288  df-evls 19434  df-evl 19435  df-psr1 19478  df-ply1 19480  df-evl1 19609
This theorem is referenced by:  evl1varpwval  19654  plypf1  23885  lgsqrlem1  24984  idomrootle  37281
  Copyright terms: Public domain W3C validator