Theorem pf1id 20505

Description: The identity is a polynomial function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pf1const.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pf1const.q	⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pf1id	⊢ (𝑅 ∈ CRing → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑄)

Proof of Theorem pf1id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2820	. . . 4 ⊢ (eval1‘𝑅) = (eval1‘𝑅)
2		eqid 2820	. . . 4 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
3		pf1const.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 2, 3	evl1var 20494	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((eval1‘𝑅)‘(var1‘𝑅)) = ( I ↾ 𝐵))
5		eqid 2820	. . . . . 6 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
6		eqid 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
7	1, 5, 6, 3	evl1rhm 20490	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
8		eqid 2820	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
9		eqid 2820	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
10	8, 9	rhmf 19473	. . . . 5 ⊢ ((eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → (eval1‘𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
11		ffn 6507	. . . . 5 ⊢ ((eval1‘𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) → (eval1‘𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)))
12	7, 10, 11	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (eval1‘𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)))
13		crngring 19303	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
14	2, 5, 8	vr1cl 20380	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
16		fnfvelrn 6841	. . . 4 ⊢ (((eval1‘𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ (var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((eval1‘𝑅)‘(var1‘𝑅)) ∈ ran (eval1‘𝑅))
17	12, 15, 16	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((eval1‘𝑅)‘(var1‘𝑅)) ∈ ran (eval1‘𝑅))
18	4, 17	eqeltrrd 2913	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ( I ↾ 𝐵) ∈ ran (eval1‘𝑅))
19		pf1const.q	. 2 ⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)
20	18, 19	eleqtrrdi 2923	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   I cid 5452  ran crn 5549   ↾ cres 5550   Fn wfn 6343  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  Basecbs 16478   ↑_s cpws 16715  Ringcrg 19292  CRingccrg 19293   RingHom crh 19459  var₁cv1 20339  Poly₁cpl1 20340  eval₁ce1 20472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7402  df-ofr 7403  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-supp 7824  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-2o 8096  df-oadd 8099  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8455  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506  df-fsupp 8827  df-sup 8899  df-oi 8967  df-card 9361  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12890  df-fzo 13031  df-seq 13367  df-hash 13688  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-ghm 18351  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19235  df-ur 19247  df-srg 19251  df-ring 19294  df-cring 19295  df-rnghom 19462  df-subrg 19528  df-lmod 19631  df-lss 19699  df-lsp 19739  df-assa 20080  df-asp 20081  df-ascl 20082  df-psr 20131  df-mvr 20132  df-mpl 20133  df-opsr 20135  df-evls 20281  df-evl 20282  df-psr1 20343  df-vr1 20344  df-ply1 20345  df-evl1 20474

This theorem is referenced by: (None)