Theorem ressbasss 16556

Description: The base set of a restriction is a subset of the base set of the original structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbasss	⊢ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem ressbasss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbas.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
2		ressbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	1, 2	ressbas 16554	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
4		inss2 4206	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
5	3, 4	eqsstrrdi 4022	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵)
6		reldmress 16550	. . . . . 6 ⊢ Rel dom ↾s
7	6	ovprc2 7196	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) = ∅)
8	1, 7	syl5eq 2868	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝑅 = ∅)
9	8	fveq2d 6674	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘∅))
10		base0 16536	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
11		0ss 4350	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
12	10, 11	eqsstrri 4002	. . 3 ⊢ (Base‘∅) ⊆ 𝐵
13	9, 12	eqsstrdi 4021	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵)
14	5, 13	pm2.61i 184	1 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483   ↾_s cress 16484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-1cn 10595  ax-addcl 10597

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-nn 11639  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491

This theorem is referenced by:  funcres2c  17171  resscatc  17365  submnd0  17940  resscntz  18462  subcmn  18957  resspsrvsca  20198  subrgpsr  20199  ply1bascl  20371  evpmss  20730  phlssphl  20803  frlmplusgval  20908  frlmvscafval  20910  lsslindf  20974  islinds3  20978  ressprdsds  22981  cphsubrglem  23781  cphsscph  23854